В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1049226 человек которые просмотрели 19724171 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

Автор: Натенберг Ш.

Жанр: Хеджирование, фьючерсы и опционы

Рейтинг:

Просмотров: 2094

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |




Методы определения теоретической стоимости

 

I. Формула Блэка-Шоулза и ее модификации

В приводимых ниже формулах используются следующие обозначения:

С      —           теоретическая стоимость колла;

Р      —            теоретическая стоимость пута;

и     — цена базового контракта;

Е      —            цена исполнения;

г      — время до экспирации в годах;

V      -—          годовая волатильность (десятичная дробь);

г      — безрисковая процентная ставка (десятичная дробь);

е      —            основание натурального логарифма;

1п    —            натуральный логарифм;

ЛР(х) —         плотность стандартного нормального распределения

1 е(.-хг/2).

 

Ж*) — функция стандартного нормального распределения (площадь под кривой (х)).

 

А. Формула Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов на акции, дивиденды по которым не выплачиваются (£7— цена базовых акций):

С = Ш(Ю - Ее* Ш -V 7г); Р^_Ш(-Л) +Ее-"М(у,Д-К),

 

гдеЬ = I     ) .

Для акций, по которым выплачиваются дивиденды, цену II можно представить как текущую цену за вычетом приведенной стоимости ожидаемых дивидендов:

 

где   й. —- каждая ожидаемая в период действия опциона выплата дивидендов; £ — время в годах до каждой выплаты дивидендов.

 

Показатели чувствительности для формулы Блэка-Шоулза: дельта колла  =   N(11) ; дельта пута    =   -N(-11);

ДНЮ

гамма колла   =   гамма пута =

 

тетаколла     =           + гЕе ^Ыф-у-Л);

 

тета пута       =          ~ гЕе^Щу-Л - к);

 

вегаколла     =   вега пута = V-Л N'01);

роколла        = tЁ'e-гlJVtft-v^/t);

ро пута           =   -ґЕєг'^(у-Л - К).

 

В. Формула Елэка для оценки европейских опционов на фьючерсные контракты (II— цена фьючерсного контракта):

С - ие-"Ы(п)-Ee-nN(h-vЛ); р = -ие-пЫ(~Ю + Ее-'-'Ы^-Л - К),

 

где л = ^^-

Показатели чувствительности для формулы Блэка:

 

дельта колла = е-"ДГ(70; дельта пута = -е-г^(-Н);

Vv-ft '

е~г1№№)

гамма колла = гамма пута - ■

тета колла = -rUe^NQi) + r&r"JV{ft-v-Jt) + Ue-fCvN'(h)/2-Jt, тета пута = rUe-"N(-h)-rE(rr'N(v-Jt-h) + Ue-"vN'Qi)/2-Jt,вега колла = вега пута = Ue~nN '(h) -Л, ро колла = -сС, ро ггута = -tP.

 

С. Формула Гармапа-Колъхагепа для оценки европейских опционов на иностранную валюту (и— количество единиц национальной валюты за единицу иностранной валюты)3:

С = ие^ШЬ.) -Ее^Щп-уЛ); Р = - Ц-ЧЩ-К) + БгШ<уЛ - К],

 

где   /і-            ^-г       '—

 

тА -- безрисковая ставка в национальной валюте; гу— безрисковая ставка в иностранной валюте.

 

Показатели чувствительности для формулы Гармана-Кольхагена:

 

дельта колла = е_г/ЛГ(70; дельта пута   = - е~7ДО(-Л);

 

гамма колла = гамма пута =          =— ;

 

тета колла     =  гуСе-уЛГСЮ - ^Ее^ИЦі -уЛ)- ие^Ы '(К)/2 Л;

тетаггута       = -гре-г/М(-п) + г^е^'Ы^уЛ -Ь.)-ие-г/уЫ'(п)/2Л;

вега колла     =  вега ггута = Ue-'fN '(К) Л,

ро колла на национальную валюту   = ге-г<і'ЕЛГ(7і - Л)',

ро пута на национальную валюту    = -іе"'/ЕЛҐ(Уг - п);

ро колла на иностранную валюту    = -ґе_'/Ш(/і);

ро пута на иностранную валюту      = ге~г/ЕМ(-Ю-

Примечания: В приведенных выше формулах тета показывает обесценение за один полный год. Чтобы тета, как это более принято, показывала дневное обесценение, полученный результат нужно разделить на 365.

Вега показывает чувствительность к изменению волатильности на один полный пункт (на 100 процентных пунктов). Чтобы вега показывала, как это более принято, чувствительность к изменению волатильности на один процентный пункт, полученный результат нужно разделить на 100.

D. Даррен Уилкокс предложил модификацию формулы Блэка, основанную на допущении о нормальном распределении цен базового контракта (U), которые поэтому могут принимать отрицательные значения.

С = e-r'(U-E)N(h) + e-"JV '(ft> Л; Р = e-Ji(U-E)N(h) + e-r,N(h)vJt -e-"(U-E),

Ь-E где   h - —7f- .

 

Примечание: поскольку эта модификация предполагает нормальное, а не логнормальное распределение, волатильность т — это стандартное отклонение абсолютных, а не логарифмических изменений цены.

Единственную сложность в использовании формулы Блэка-Шоулза и ее модификаций представляет расчет JV(х), т. е. функции стандартного нормального распределения. Значения N(x) дают больпшнство статистических таблиц. Кроме того, их можно приблизительно оценить следующим образом:

 

еслих > 0, то:

 

N(x) = 1-JV'O) (0,4361836&-0,120167бк2 + 0,9372980k3),

где   fc= 1/(1 + 0,332367 И);

N'(x) — описанная ранее плотность стандартного нормального распределения;

еслих < 0, то N(x) = 1-N(x).

II. Метод Кокса-Росса-Рубииштейна (биномиальная модель)

5          Cox, John C, Ross, Stephen A. and Rubinstein, Mark, «Option Pricing: simplified Ap-proach». Journal of Financial Economics, No. 7,1979, pp. 229-263.

Подробное обсуждение расчетов см. в; Meisner, James Е. and Labuszewski, John W., «The Cox-Ross-Rubinstein Model for Alternative Underlying Instruments», Advances in Futures and Options Research, Vol. 2,1987, pp. 263-278.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна основана на допущении, что в течение любого периода времени цена базового контракта может повыситься на некоторую величину и или понизиться на некоторую величину d. Вероятность повышательного изменения —р, понижательного — (1 -р). Предположим, что контракт торгуется по 100 и в следующий период его цена повысится до 105 (и = 5) или понизится до 95 (d = -5) и что существует равная 50%-ная вероятность (р = 0,5) повышения или понижения. Если до экспирации остался только этот период времени и проценты учитывать не нужно, то стоимость 100 колла можно рассчитать как доход, ожидаемый от этого колла в конце периода. Стоимость колла равна его внутренней стоимости, если цена базового контракта выше цены исполнения, и равна нулю, если цена базового контракта ниже цены исполнения. Ожидаемая доходность равна:

0,5 х (105 -100) + 0 - 2,50.

Аналогично рассчитывается стоимость 90 колла:

0,5 х (105 - 90) + 0,5 х (95 - 90) - 10.

Этот подход можно сделать более общим, разделив время для экспирации на множество коротких периодов и предположив, что в каждом периоде цена базового контракта обязательно повысится на и или понизится на а". В результате мы получаем биномиальное дерево с множеством возможных цен базового контракта при экспирации. Биномиальное дерево в случае трех периодов показано на илл. БД.

Если предположить, что на каждой ветви биномиального дерева вероятность повышения цены р равна вероятности ее понижения, то нам нужно просто рассчитать вероятность того, что при экспирации цена примет то или иное значение. Ожидаемый доход от опциона — это сумма разниц между каждым из таких значений, при котором опцион находится в деньгах, и ценой базового контракта, умноженных на вероятность такого значения. Значения цены базового контракта, при которых опцион оказывается вне денег, не учитываются.

Чтобы построить биномиальное дерево, примерно соответствующее логнормальному распределению, можно определить следующее:

 

а* = 1/ц.

 

где   п — количество периодов до экспирации;

V — годовая волатильность базового контракта; Г—время до экспирации в годах.

 

При очень больших значениях п терминальные цены биномиального дерева, относящиеся к моменту экспирации, распределяются логнормально.

Вероятность р повышательного движения определяется требованием безарбитражности базового рынка, т. е. отсутствия прибыли от торговли базовым контрактом. Если, как в случае фьючерсных контрактов, проценты учитывать не нужно, мы гарантируем условие безарбитражности базового фьючерсного рынка, определив вероятность повышательного движения р следующим образом:

р-(1-<0/(ц-(0.

На свободном от арбитража рынке акций цена акции должна в каждом периоде увеличиваться на сумму затрат на поддержание позиции. Если г ■— это безрисковая ставка, то гг— ставка, на которую цена акций должна увеличиваться за каждый следующий период, равна:

гг — 1 + г£/гс.

Сделать рынок базовых акций безарбитражным мы можем, определив вероятность р следующим образом:

р = (гг~сї)/(и-ф.

Наконец, мы должны дисконтировать ожидаемый доход от опциона по затратам на поддержание позиции за весь срок действия опциона, умножив ожидаемый доход на 1 / (гг)п.

Базовые формулы модели Кокса-Росса-Рубинштейна выглядят следующим образом:

 

 

Р =

(ггТ 1

(гг)"

Чтобы использовать модель Кокса-Росса-Рубинштейна для оценки американского опциона, нужно выяснить, имеет ли этот опцион в начале каждого периода стоимость, оправдывающую его досрочное исполнение. Например, в нашем примере с двумя периодами и текущей ценой базового контракта, равной 100, мы видели, что ожидаемый доход от 90 колла равнялся 10. Если бы опцион был расчетным, то его теоретическая стоимость равнялась бы 10 минус затраты на поддержание позиции за период владения. Если бы эти затраты составляли 0,25, то теоретическая стоимость опциона равнялась 9,75. Однако, будь этот опцион американским, все трейдеры исполнили бы его, чтобы сразу получить 10 пунктов прибыли. Иными словами, для американского опциона нам следовало бы принять теоретическую стоимость равной 10.

Если мы определим иЦ, ]) как;'-ю базовую цену в конце 1-го периода времени (илл. В.2), а СЦ,}) или Р(1,)) — как стоимость колла или пута при каждой и(1,то нам нужно будет выяснить, является ли каждая С(1,;) меньше, чем 1/(1, _/) -Е, если мы оцениваем американский колл, или каждая Р(1,;) меньше, чем Е - 11(1, ]), если мы оцениваем американский пут. Если да, то опцион становится кандидатом на досрочное исполнение, а мы принимаем стоимость С(1,]) равной иа,])-Е, или стоимость РЦ, ]) равной Я - _/).

Рассчитаем сначала каждую конечную стоимость базового контракта и(п, ]) при / = 0,..., п. По этим значениям можно определить стоимо сть опциона в каждом предыдущем узле, С(п -1,;') или Р(л - 1, Д при; = 0,..., п -1. Если С(п - 1,])окажется меньше U(n-1 j") -Е,или еслиР(гс- l,j) окажется меньше Я- U(n-1 j), то мы примем стоимость опциона равной паритету и продолжим итеративную процедуру. Мы будем двигаться назад к С (0,0) или Р(0,0) (текущей стоимости колла или пута), устанавливая стоимость в каждом узле L/(i,j) равной тахдля колла или тах для пута:

C(i, j) = max P(i, j) - max

pC(i + l,j) + a-p)C(i + i,j + l) " rr

pp(i+i,j)+a-p)P(i+i,j+i) E_mj)

rr

Поскольку дельта опциона ■— это изменение его стоимости, деленное на изменение цены базового контракта, биномиальный метод позволяет рассчитать и дельты колла и пута:

. С(1,1)-С(1,0) Д колла =

L/(1,1)-L7(l,0)' Р(1,1)-Р(1,0)

Дпута =

17(1,1)-!/(1,0)

Чем больше п мы выберем, тем точнее будет рассчитанная этим методом стоимость опциона. К сожалению, с ростом п количество вычислений, требуемых для оценки американского опциона, возрастает в геометрической прогрессии. Большинство пользующихся методом Кокса-Росса-Рубинштейна трейдеров выбирают п Между 25 и 50, что обеспечивает разумный компромисс между точностью и затратами компьютерного времени.

III. Квадратичный метод (метод Уэйлн)

В методе Уэйли уравнение, описывающее стоимость американского опциона, используется для получения приближенной оценки той критической цены, £/*, при которой досрочное исполнение американского опциона является оптимальным. Критическая цена затем используется для определения стоимости опциона.

Чтобы найти и* для колла, необходимо решить уравнение: Е-Ц* = е»-*+ [1/*Л/№)-Ш№-«/г)] + [(1-ей-г"ЛГ(г1-уУс)(^/д2)]

(для удобства мы обозначим левую сторону этого уравнения ШБ, а правую—ИНБ),

где Ъ — затраты на поддержание позиции в базовом инструменте (для фьючерсов Ъ = О, для акций Ь = г), а остальные обозначения —- те же, что и в формуле Блэка-Шоулза;

 

п =

V

 

q2 = [-(N-1) + 7(С«-1)2+4МД)]/2; М = 2г/у2; N = 2Ь/у2; к  = 1-е-".

 

Чтобы найти и*, мы выбираем желательную степень точности, 8, удовлетворяющую требованию:

 

Затем мы выполняем ряд итераций, каждый раз замещая и*, на:

и*г+, = [я + кнэ - ьи]/а - Ь),

где   Ъ. = е^-^ф.Ц*^а - 1/д,) + [1 -е^'ЛГ 'ОйУ(/уЛ Уаг.

Рассчитав £7* с желаемой точностью, находим стоимость американского опциона колла С и его дельту Д, решив следующие уравнения:

 

С-с+А2 (У/и*)4*}, А = Ь+АА2(и/Ц*)Ъ/и,

где   с—стоимость европейского колла, 5 —дельта европейского колла, А,= и*/д2[1-е»-*№/*)3.

 

Чтобы найти I/* для пута, решим уравнение:

 

Е-Ц* - ей-*[ЯЛГ№-^Ус) -Ц*ЖЛ)1 - [(1 -е1Ь-'ШпШ"/Ч1)1

 

(здесь мы снова обозначим левую сторону уравнения Ш5, а правую — ЕЖ),

где Ь — затраты на поддержание позиции в базовом инструменте (для фьючерсов Ь = 0, для акций Ъ = г), а все остальные обозначения — те же, что и в формуле Блэка-Шоулза;

1, = [-{М-1)-7(СМ-1)3+4М//с)]/2;

М = 2г/у2; N = 2Ь/у2; к   = 1-е-*

Чтобы найти [/*, мы выбираем желательную степень точности, £, удовлетворяющую требованию:

(ЦК-МТС) /Я<£.

Затем мы выполняем ряд итераций, каждый раз заменяя [Л на:

[^^^сЯ-КНБ-Ь^^/а-Ь,),

где   Ь, = е»-г"ЛГ(Л^.)С1 - 1/д.) + [1-е№-*лг'№и*г.)/^У£ )]/д.).

Рассчитав и* с желаемой точностью, определим стоимость американского опциона пут Р и его дельту Д, решив следующие уравнения:

Р = р+А1 Ш/и*Уг;

 

где   р — стоимость европейского пута; 6 —дельта европейского пута; Л, = -сР-/ч1[1-е<ь-г>'Ж/1иА)].

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010