В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1047623 человек которые просмотрели 19713595 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли

Автор: Натенберг Ш.

Жанр: Хеджирование, фьючерсы и опционы

Рейтинг:

Просмотров: 2092

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |




Расчет волатильности

Историческая волатильиость

Историческая волатильиость определяется как стандартное отклонение логарифмических изменений цены, взятых через равные интервалы времени. Поскольку наиболее надежными обычно считаются расчетные цены, самый распространенный метод определения волатильности предполагает использование изменений расчетной цены. Мы определяем каждое изменение цены х. как:

X: - 1п

А. 3-1

 

Рассчитаем сначала стандартное отклонение логарифмических изменений цены:

а = /(0,005778/9) = = /0,000642 = = Л/0,025338.

Рассчитаем затем годовую волатильность, умножив стандартное отклонение на квадратный корень из интервала времени между изменениями цены. Поскольку мы взяли недельные изменения цены, временной интервал равен 365/7:

годовая волатильность = 0,025338 х 7(365/7) =

= 0,025338x752,141 = = 0,025338x7,22 = = 0,1829(18,29%).

Волатильность акций можно рассчитать так же, как на илл. 5.2, только следует помнить, что волатильность рассчитывается на основе форвардной цены. В связи с этим потребуются два изменения. Чтобы рынок теоретически оставался безарбитражным, мы должны ожидать, что за любой интервал времени цена акций вырастет на сумму затрат на поддержание позиции. Если мы регистрируем недельные изменения цены, то можно ожидать, что цена повысится на г/52, где г — безрисковая процентная ставка в годовом исчислении. Поэтому изменения цены определяются го формуле:

 

1а+г/52)Р;^

Рассуждение о том, что волатильность акций рассчитывается на основе форвардной цены, не очень понятно. Если в выражении для х убрать постоянный множитель {1 + г/52), то получится та же волатильность, поскольку по известному свойству логарифма этот множитель может быть вынесен из-под знака логарифма в виде постоянного смещения, которое не влияет на стандартное отклонение. — Прим. науч. ред.

 

В экс-дивидендную дату акции дешевеют на величину дивидендов по сравнению с предыдущим днем, однако это не следует рассматривать как изменение цены, связанное с волатильностью. Поэтому при расчете изменения цены за такой период мы включаем дивиденды В в цену акций:

На коротких отрезках времени или при низких процентных ставках влияние последних на форвардную цену незначительно и обычно при расчете исторической волатильности цены акций может не учитываться.

Метод экстремальных значений8

Если расчетные цены неизвестны, рассчитать историческую волатильность поможет метод экстремальных значений. При этом используются максимальная и минимальная цены за период, и каждое значение х равно:

х = 0,601 х 1п(Н/1(),

где   Я,—максимальная цена за период г; 1г—минимальная цена за период г.

Волатильность — это стандартное отклонение всехх., пересчитанное на год путем умножения на квадратный корень из числа периодов времени С в году. Если продолжительность периода С —■ один день, то умножают на квадратный корень из числа торговых дней в году (приблизительно 253); если продолжительность периода I —■ неделя, то умножают на квадратный корень из числа недель в году, т. е. на квадратный корень из 52.

Расчет рыночной волатильности

Формула Блэка-Шоулза не может быть обращена таким образом, чтобы дать готовое выражение в явном виде для рыночной волатильности по известной цене опциона, но быстро получить эту величину позволяет метод Ньютона-Рафсона. Сначала мы берем некоторое начальное приближение для рыночной волатильности опциона, а затем используем вегу опциона (его чувствительность к изменению волатильности), чтобы получать все более точные значения рыночной волатильности. Этот метод представлен на илл. В.4.

Поскольку вега опциона меняется примерно линейно, этот метод дает результат очень быстро, обычно за четыре итерации, даже если начальное приближение было неудачным. (Под линейностью веги здесь, по-видимому, понимается слабая искривленность графика. Если бы он был линейным, то точный результат получался за одну итерацию. — Прим. науч. ред.) Итеративная процедура выглядит следующим образом:

где р— х —

 

V.       

цена опциона; в олатильность;

теоретическая стоимость опциона при волатильности х; вега опциона при волатильности х..

Илл. В.4. Использование метода Ньютона-Рафсона для определения рыночной волатил ь ности

 

Теоретическая стоимость при начальном значении волатильности

 

Теоретическая стоимость после первой итерации

/ Вега при начальном, значении волатильности

Вега после первой итерации

Рыночная волатильность

Волатильность

 

Мы выбираем желаемую степень точности £ и повторяем процедуру до тех пор, пока не достигнем < £. На этом шаге х. и будет результирующей рыночной волатильностью.

 

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЛОГАРИФМА

Поскольку натуральный логарифм Ьт(х) и экспоненциальная функция ех играют в большинстве рассматриваемых нами методов оценки опционов большую роль, рассмотрим вкратце их использование. Пусть:

 

г ■— годовая процентная ставка в виде десятичной дроби; I—сумма инвестиций;

с—период времени, на который делаются инвестиции, в годах.

 

Если г—непрерывно начисляемая процентная ставка, то стоимость V инвестиций на конец периода £ составляет:

Если г — непрерывно начисляемая процентная ставка, первоначальные инвестиции I, необходимые для получения стоимости инвестиции V в конце периода, составляют:

/ = е-"хУ.

/ называют приведенной стоимостью V, т.е. это V, дисконтированная по ставке затрат на поддержание позиции.

Доходность^, которую дает непрерывно начисляемая процентная ставка г за период С, равна:

у - еп-1.

Доходность в годовом исчислении равна у/г.

Пример: если г—10% (0,10), то стоимость инвестиций в размере 2000 долл. через три месяца (г. = 0,25) при условии, что г ■— непрерывно начисляемая процентная ставка, составит:

V- 2000 долл.х ег' = 2000 долл. х е0-10'0'25 = 2000 долл. х е0'025 = 2000долл.х

х 1,0253 =2050,63 долл.

Пример: если непрерывно начисляемая процентная ставка г-—6% (0,06), то сумма, которую нужно инвестировать для получения через восемь месяцев (с = 0,667) 5000 долл., равна:

1 = 5000долл.х е~" = 5000долл.х е-а№*а&л = 5000долл.х е-0-"4 = 5000долл.х

х 0,9608 = 4803,95 долл.

Пример: если непрерывно начисляемая процентная ставка г—-15% (0,15), то совокупная доходность б-месячных (С = 0,5) инвестиций составит:

у = еп_1 = ео.»ко,5_1 = еп,?5 _1 = 0,0779 (7,79%). Доходность в годовом исчислении равна:

уА = 0,0779/0,5 = 0,1558 (15,58%).

Если / ■— первоначально вложенная сумма, то для достижения через период £ стоимости V непрерывно начисляемая процентная ставка т должна составлять:

г,= 1п(У/Я.

Если V больше I, то ставка будет величиной положительной. Если У меньше I, то ставка будет величиной отрицательной. Ставка в годовом исчислении равна:

т = т/г = 1п(УД)/г.

Пример: непрерывно начисляемая процентная ставка, необходимая для превращения первоначальных инвестиций в размере 3000 долл. через девять месяцев (г = 0,75) в 3200 долл., равна:

 

г = 1п(3200/3000)/0,75 - 1п(1,0бб7)/0,75 = 0,0645/0,75 - 0,0861 (8,61%).

 

Обратите внимание на то, что экспоненциальная функция обратна логарифмической:

 

1п(е*) = е1пМ = х.

Поскольку волатильность — это также доходность, которая считается непрерывно начисляемой, экспоненциальная и логарифмическая функции могут использоваться для расчета ожидаемых изменений цены базового контракта.

Пример: предположим, что фьючерсный контракт торгуется по цене Р, равной 50, а его годовая волатильность у равна 12%. Повышательное изменение цены, равное одному стандартному отклонению, составляет:

е х р = ео,12 х 5о = 1,1275 х 50 - 56,37.

Понижательное изменение цены, равное одному стандартному отклонению, составляет:

 

е-'хр = е-°'12х 50 = 0,8869х 50 = 44,35.

 

Поскольку одно стандартное отклонение наблюдается примерно в 68% всех случаев, мы знаем, что в случае правильности выбранного значения вола-тильности (12%) через год тот же фьючерсный контракт будет торговаться в диапазоне 44,35-56,37 с вероятностью 68%.

А если взять два стандартных отклонения? При росте цены получим:

водах г х 50 = ео,Мх 50 = 22712 х 50 = 63,56. При падении цены:

е-о,:2х2х 50 = е-о,24х 5о = 0,7866х 50 -39,33.

Поскольку два стандартных отклонения наблюдаются примерно в 95% всех случаев, мы знаем, что в случае правильности выбранного значения вола-тильности (12%) через год тот же фьючерсный контракт будет торговаться в диапазоне 39,33-63,56 с вероятностью 95%.

Для периодов времени, отличных от одного года, нужно также учесть связь между временем и волатильностью, определяемую функцией корень квадратный из Бремени. Если изменение цены за период, равное одному стандартному отклонению, задает V, то одно стандартное отклонение изменения цены за вдвое больший период равно V. В общем виде это можно выразить следующим образом:

 

волатильность (стандартное отклонение) за период г = V х -Л,

где   V—это волатильность в годовом исчислении, а г—период времени в годах.

Это позволяет выразить изменение цены в п стандартных отклонений за период с либо как:

"""^Рх е (повышательное изменение),

 

либо как:

-п</-Ярх £ (понижательноеизменение), где   Р—текущая цена контракта.

Пример: если цена базового контракта—84,00, а годовая волатильность — 16%, то отклонения цены в одно и два стандартных отклонения за 3-месячный период составят:

е0.1^0^5 х 840о = 8400х ео,1б*о,5_ 84оох е0-08 = 84,00х 1,0833 - 91,00 (одно стандартное отклонение вверх);

е2одбД25 х 845оо х = 84,00 хе2-0-16х°-5 = 84,00хе°'16= 84,00х 1,1735 = 98,57 (два стандартных отклонения вверх);

е-о,1бЛ25х 84,00 х =84,00хе-°.16"°.5 = 84,00хе-^08= 84,00х 0,9231 = 77,54 (одно стандартное отклонение вниз);

е-2одбД25 х 84,00х = 84,00х е"2"0'16"05 = 84,00х е-0-16 = 84,00х 0,8521 = 71,58 (два стандартных отклонения вниз).

 

Имея волатильность и период времени, мы можем всегда рассчитать количество стандартных отклонений, требуемых для достижения того или иного результата. При наличии таблицы стандартных отклонений и связанных с ними вероятностей можно найти вероятность, связанную с этим результатом.

В случае опционов нас нередко интересует вероятность того, что опцион с определенной ценой исполнения окажется при экспирации в деньгах. Выраженное в стандартных отклонениях изменение цены, требуемое для того, чтобы цена базового контракта Р достигла при экспирации цены исполнения Е, определяется из выражения:

Подпись: 517
Расчет стоимости опциона

Подпись:

количество стандартных отклонений = ■■    г—.

уЛ

Пример: при таких же, как в последнем примере, условиях (у = 0,16, Р -= 84,00), выраженное в стандартных отклонениях изменение цены, требуемое для того, чтобы 95 колл через три месяца оказался в деньгах, равно:

1п(95/84)/0Д6х %/0725 = Щ( 1,1310)/0,08 = 0,1231/0,08 = +1,5383

стандартных отклонений.

 

По таблице стандартных отклонений найдем, что вероятность повышательного изменения цены в 1,5383 стандартных отклонений примерно равна 6,2% (или один к шестнадцати).

В случае акций необходима небольшая модификация, поскольку теперь во-латильность — это отклонение от форвардного курса. Если Р-— текущий курс акций, t — период времени, г-— безрисковая процентная ставка, а I) — сумма ожидаемых в этот период дивидендов, то форвардная цена Р, акций равна:

 

Р=Рхе"-1>.

 

Пример. Предположим, что процентная ставка — 8%. Если акции, дивиденды по которым не выплачиваются, торгуются по 38 и имеют 27%-ную годовую волатильность, то изменение их цены в стандартных отклонениях, необходимое для того, чтобы 35 пут оказался через шесть месяцев ([ = 0,5) в деньгах, равно:

 

1п[35/38х еп>П8*°'У0,27х ,/0,5 = 1п(35/39,55)/0,191 - -0,122/0,191= -0,64

стандартных отклонений.

По таблице стандартных отклонений находим, что вероятность понижательного изменения цены в 0,64 стандартных отклонений примерно равна 26% (или один к четырем).

 

❖ Приложение С ❖

Характеристики спредов по волатильности

Илл. С.1. Характеристики спредовпо волатильности (все с преды считаются примерно дельта-нейтральными)

Вид спреда

Перво-            Перво-            Пер во- Перво-

начальная    начальная    начальная начальная

дельта            гамма тета вега

Кол л бэкспред Пут бэкспред

Пропорциональный вертикальный копл-спред

Пропорциональный вертикальный пут-сп ре д

Длинный стрэдп Короткий стрэдл Длинный стрэнгл Короткий стрэнгл Длинная бабочка Короткая бабочка

Длинный временной спред (в отношении 1:1)

Короткий временной спред [в отношении 1:1)

Значительное изменение цены базового контракта сказывается

Положительно Положительно Отрицательно Отрицательно Положительно Отрицательно Положительно Отрицательно Отрицательно Положительно Отрицательно Положительно

Рост (падение)          Предельная   Предельная

рыночной      Фактор времени       позиция позиция

волатильности          сказывается   в случае роста       в случае

Длинная

Отрицательно Отрицательно О Положительно Короткая

сказывается   цены   падения цены

Короткая О

Длинная Короткая Длинная Короткая Длинная О

 

Положительно (отрицательно)

Положительно (отрицательно)

Положительно

О

Длинная Короткая Длинная Короткая О

Отрицательно (положительно)

Отрицательно

Отрицательно (положительно)

Положительно

Положительно (отрицательно)

Отрицательно

Отрицательно (положительно)

Положительно

Положительно (отрицательно)

Положительно

Отрицательно (положительно)

Отрицательно

Отрицательно (положительно)

Положительно

Положительно (отрицательно)

Отрицательно

Положительно (отрицательно)

Отрицательно (положительно)

❖ Приложение В ❖ Что такое правильная стратегия

 

Приведенная ниже таблица поможет читателю выбрать стратегии, которые имеют наибольшие шансы оказаться прибыльными при наличии у трейдера определенного мнения о направлении рынка и волатильности. Хотя при одних и тех же условиях на рынке может использоваться несколько стратегий, у каждой стратегии будет свое соотношение риска и вознаграждения. Более подробный анализ каждой стратегии представлен в основном тексте книги.

Решение о том, низка или высока рыночная волатильность, трейдер принимает на основе сравнения ее с собственным прогнозом волатильности. При 15%-ном прогнозе рыночная волатильность в 13% будет низкой. При 20%-ном прогнозе рыночная волатильность в 24% будет высокой. Если прогноз трейдера примерно совпадает с рыночной волатильностью, то рыночная волатильность умеренна.

Любая из перечисленных стратегий может быть проведена синтетически. Вместо того чтобы купить (продать) колл, трейдер может купить (продать) пут с той же ценой исполнения и купить (продать) базовый контракт (синтетический длинный или короткий колл). Вместо того чтобы купить (продать) пут, трейдер может купить (продать) колл с той же ценой исполнения и продать (купить) базовый контракт (синтетический длинный или короткий пут).

Подходящую стратегию невозможно выбрать только в том случае, если у трейдера нет своего мнения ни о рыночной волатильности, ни о направлении рынка. В этом случае осмотрительный трейдер предпочтет посидеть в сторонке, пока условия для торговли не станут более благоприятными.

Бабочки на коллах и временные колл-спреды считаются в деньгах, а бабочки на путах и временные пут-спреды считаются вне денег, если все цены исполнения ниже текущей цены базового контракта. Бабочки на коллах и временные колл-спреды считаются вне денег, а бабочки на путах и временные пут-спреды считаются в деньгах, если все цены исполнения выше текущей цены базового контракта.

Илл. D.I. Правильная стратегия

ITM — в деньгах;      ATM — на деньгах;  ОТМ — вне денег

 

РЫНОЧНАЯ волдтильность

Низкая

Умеренная

Высокая

 

 

01

S

а

9

г

Купить голые путы

Медвежьи вертикальные спреды:

купить иолл АТМ/продать кол л 1ТМ;

купить пут АТМ/продэть пут ОТМ

Продать бабочки галл (пут] ОТМ (1ТМ)

Купить временные сп рады колл(пут) 1ТМ(0ТМ)

Продать базовый контракт

Продать голые коллы

Медвежьи вертикальные спреды:

купить колл ОТМ/ продать колл ATM;

купить путГТМ/лродагь пут ATM

Купить бабочки колл (пут) ITM (ОТМ)

Продать временные спреды колл (пут) ОТМ (ГШ)

 

о

X

а с

£

X

Бэ кс преды

Купить стрэдлы/стрэнглы

Продать бабочки колл или пут ATM

Купить временные спреды колл или пут ATM

Уйти в отпуск

П роп о рци о нал ь н ые верти кал ь н ые с п ре д ы П родаг ьстрэдлы/стрэнглы Купить бабочки колл или пут ATM Продать временные спреды колл или пут ATM

 

Купить голые коллы

Бычьи вертикальные спреды:

купить колл АТМ/продать колл ОТМ;

купить пут АТМ/продэть пут ГШ

Продать бабочки колл (пут] 1ТМ (ОТМ)

Купить временные спреды колл [пут] 0ТМ(1ТМ)

Купить базовый контракт

Продать голые путы

Бычьи вертикальные слреды:

купить колл ГШ/продать колп ATM;

купить пут ОТ№продать пут ATM

Купить бабочки колл (пут) ОТМ (ГШ]

Продать временные с преды колл (пут) ITM (ОТМ)

❖ Приложение Е ❖

Синтетические и арбитражные соотношения




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010