В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1032170 человек которые просмотрели 19572936 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях

Автор: Недосекин А.О.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1257

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |




3.3.      нечетко-множественная оптимизация модельного портфеля

 

Исторически первым методом оптимизации фондового портфеля был метод,

предложенный Гарри Марковицем в [134]. Суть его в следующем.

 

Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из которых характеризуется пятью параметрами:

 

-           начальной ценой Wi0 одной бумаги перед помещением ее в портфель;

-           числом бумаг ni в портфеле;

-           начальными инвестициями Si0 в данный портфельный сегмент, причем

 

Si0 = Wi0        ni;         (3.10)

 

-           среднеожидаемой доходностью бумаги ri;

-           ее стандартным отклонением          i от значения ri.

 

Из перечисленных условий ясно, что случайная величина доходности бумаги имеет нормальное распределение с первым начальным моментом ri  и вторым центральным моментом   i. Это распределение не обязательно должно быть нормальным, но из условий винеровского случайного процесса нормальность вытекает автоматически.

 

Сам портфель характеризуется:

 

-           суммарным объемом портфельных инвестиций S;

-           долевым  ценовым  распределением  бумаг  в  портфеле  {xi},  причем  для исходного портфеля выполняется

 

 

x

 

 

,

 

Si0

i

 

 

N

x i         1,

 

 

 

i           1,..., N ;           (3.11)

 

S          1i

 

-           корреляционной  матрицей  {  ij},  коэффициенты  которой  характеризуют связь между доходностями i-ой и j-ой бумаг. Если   ij = -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если   ij = 1 - имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется   ii = 1, так как ценная бумага полно положительно коррелирует сама с собой.

 

Таким образом, портфель описан системой статистически связанных случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда, согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле

 

N

r           x          r

1i

 

 

 

,           (3.12)

 

а стандартное отклонение портфеля           -

 

 

N     N

у          i           x

 

 

1

i           i           у j ) 2

 

 

 

.           (3.13)

 

1i1j

 

Задача управления таким портфелем имеет следующее описание: определить вектор {xi}, максимизирующий целевую функцию r вида (3.12) при заданном ограничении на уровень риска   , оцениваемый (3.13):

 

 

{x opt }

 

 

{x} | r

 

 

max, у =const   M,        (3.14)

 

 

 

где   M – риск бумаги с максимальной среднеожидаемой доходностью. Запись (3.14) есть не что иное, как классическая задача квадратичной оптимизации, которая может решаться любыми известными вычислительными методами.

 

Замечание. В подходе Марковица к портфельному выбору под риском понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого  дохода  по  портфелю,  причем  как  в  меньшую,  так  и  в  большую сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (3.14) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня.

 

Если задаваться различным уровнем ограничений по     , решая задачу (3.14),

то можно получить зависимость макимальной доходности от    вида

 

rmax = rmax (  )           (3.15)

 

Выражение (3.15), именуемое эффективной границей портфельного множества, в координатах «риск-доходность» является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая

 

тому    случаю,           когда   в          портфеле        оказывается    одна    бумага с          максимальной среднеожидаемой доходностью.

 

Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной величиной с известными параметрами. То же относится и корелляции.

 

Если же мы рассматриваем портфель из модельных классов, а ценовую предысторию индексов модельных классов - как квазистатистику, то нам следует моделировать эту квазистатистику многомерным нечетко-вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел. Тогда условия (3.12) – (3.13) запиываются в нечетко-множественной форме, и задача квадратичной оптимизации  также  решается  в  этой  форме.  Решением  задачи  является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида.

 

Каждому отрезку на эффективной границе, отвечающей абсциссе портфельного риска, соответствует нечеткий вектор оптимальных портфельных долей.

 

И, наконец, если нам заданы контрольные нормативы по доходности и риску (бенчмарк   модельного   портфеля),   которые   нам   следует   соблюсти   в   нашем портфеле, увеличивая доходность и одновременно снижая риск. Если бенчмарк попадает в полосу эффективной границы, то возникает дабл-риск (по факторам доходности и волатильности), что модельный портфель «не переиграет» бенчмарк. Этот риск можно оценить по методу из [53, 56, 59].

 

Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено. Далее по тексту статьи мы считаем, что имеем дело с квазистатистикой модельных индексов в портфеле, которая моделируется нами посредством N-мерного нечетко- вероятностного распределения. Оценив параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную границу в форме криволинейной полосы.

 

Рассмотрим  простейший  пример  американского  модельного  портфеля  из двух модельных классов: правительственных долгосрочных облигаций (Класс 1, характеризующийся индексом LB Govt Bond) и высококапитализированных акций (Класс 2, характеризующийся индексом S&P500). Сводные данные по обоим индексам приведены в таблице 3.4.

 

 

Таблица 3.4. Исходные данные по модельным классам

Номер

модельног о класса

Ожидаемая     доходность

r1,2 ,

% год

Ожидаемая     волатильность

s1,2,

% год

мин

средн

макс

мин

средн

макс

1

Облигации

6.0

6.1

6.2

0.6

0.7

0.8

2 Акции

10

12.5

15

20

25

30

 

Нам следовало бы еще оценить корреляцию двух индексов. Но, как я покажу далее, в нашем случае этого не потребуется. Пока же для общности обозначим коэффициент корреляции   12.

 

Надо сразу оговориться, что случай портфеля из двух компонент является вырожденным  с  точки  зрения  оптимизации.  Здесь  полное  множество портфельных решений представляет собой участок в общем случае кривой линии на плоскости, и он же является эффективной границей. Так что в настоящем примере мы не сколько решаем оптимизационную задачу, сколько ищем аналитический вид эффективной границы в координатах «риск-доходность».

 

Запишем (3.12) – (3.13) в частном виде

 

 

xr2       r2

 

 

(3.16)

 

у 2       x 2       у 2

 

 

2x xуу

 

 

с          x 2       у 2

 

 

(3.17)

 

1          1          21

 

 

1          2          12        2          2

 

x2 = 1- x1        (3.18)

 

Все «постоянные» коэффициенты в (3.16) - (3.17) являются треугольными нечеткими числами. Можно было бы как-то отличить треугольные параметры от обычных скалярных, вводя специальную запись, но, честно говоря, мне не хочется загромождать формулы. И, поскольку в нашем случае   2 >>   1, то имеет место приближенное равенство:

 

 

у          x          у

 

 

,           (3.19)

 

 

 

и справедливо

 

 

r           r           r

у 2

 

 

 

у          r1

 

 

 

-           (3.20)

 

 

 

уравнение эффективной границы в виде полосы с прямолинейными границами (см.

рис. 3.4).

 

 

16.00

 

14.00

 

m in

 

 

 

Подпись: Доходность, % год12.00

 

 

av

 

m ax

 

 

 

10.00

 

8.00

 

6.00

 

 

4.00

 

 

 

0          5          10        15        20        25        30        35

Риск, % год

 

 

Рис. 3.4. Эффективная граница в виде полосы с линейными границами

 

Коэффициент пропорциональности в (3.20) есть не что иное, как хорошо известный в портфельном менеджменте показатель Шарпа [146] – отношение доходности индекса (за вычетом безрисковой составляющей доходности) к волатильности индекса. Только в нашем случае он имеет нечеткий вид, сводимый к треугольному по правилу:

 

 

( r2min

 

 

r1max

 

 

, r2av

 

 

r1av

 

 

, r2max

 

 

r1min   )

 

 

 

 

(3.21)

 

у 2max

 

 

у 2av

 

 

у 2min

 

 

 

В          таблицу          3.5       сведены          границы         для      модельного    класса облигаций      в структуре модельного портфеля для различных уровней риска.

 

Таблица 3.5. Оптимальная доля облигаций в портфеле

Риск

1

5

10

15

20

25

30

портфеля, %

 

 

 

 

 

 

 

год

 

 

 

 

 

 

 

Доля    max

0.967

0.833

0.667

0.500

0.333

0.167

0.000

облигаци av

0.960

0.800

0.600

0.400

0.200

0.000

0

й в       min

0.950

0.750

0.500

0.250

0.000

0

0

портфеле

 

 

 

 

 

 

 

Разброс

0.067

0.083

0.167

0.250

0.333

0.167

0

 

По краям полосы разброс портфельных границ ниже, чем в середине. Это объясняется тем, что на краях полосы эффективной границы портфель обладает вполне определенным стилем: большей доходности отвечает модельный класс акций, а меньшему риску – модельный класс облигаций.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010