В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1016849 человек которые просмотрели 19404338 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1340

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§2с.  мартингальный критерий

отсутствия арбитражных возможностей. II. Доказательство достаточности

Мы должны доказать, что существование мартингальной меры Р, эквивалентной мере Р, относительно которой последовательность

 

является (Р, (і?„))-мартингалом, гарантирует на (В, 5)-рынке отсутствие арбитражных возможностей.

Как было отмечено выше (см. конец §2а), условие Вп > 0, n 0, которое предполагается выполненным, позволяет считать Вп = 1.

Воспользуемся формулой (2) из § 2а, согласно которой

п

XZ=XZ + GZ,    Gl = Y,-ykASk,

fc=i где S — (5„) является Р-мартингалом.

Чтобы доказать требуемое утверждение, надо показать, что если стратегия тг Є SF такова, что Х£ = 0 и Р{Х^ > 0) = 1, т.е.

n

GJ, =^lkASk>0 (2) fc=i

(Р-п.н., или, равносильно, Р-п.н.), то GJf = 0 (Р-п.н., или, равносильно, Р-п.н.).

Воспользуемся леммой из § 1с, гл. II.

Относительно меры Р последовательность (<-?Ј)o^n<iV является мар-тингальным преобразованием, а значит, и локальным мартингалом. Поскольку GJf ^ 0, то по упомянутой лемме, (GЈ)o^n^iV является, на самом деле, Р-мартингалом, и, тем самым, EpG^ = Gq = 0. Следовательно, XJr — G^ = 0 (Р-п.н. и Р-П.Н.).

 

§2d.  Мартингальный критерий

отсутствия арбитражных возможностей. III.

Доказательство необходимости

(с использованием

условного преобразования Эшера)

1. Нам надо теперь доказать, что отсутствие арбитражных возможностей приводит к тому, что на (Q, $■) существует вероятностная мера Р ~ Р, относительно которой последовательность S = (Sn)o<n<JV является Р-мартингалом.

Существуют несколько доказательств этого результата, а также соответствующего его обобщения на случай непрерывного времени (см., например, [92], [100], [171], [215], [259], [443], [455]), все, так или иначе, ап-пелирующие к идеям и результатам функционального анализа (теорема Хана-Банаха, теорема об отделимости в конечномерном евклидовом пространстве, методы гильбертова пространства, ...).

В то же самое время эти доказательства носят характер "доказательств существования" мартингальных мер, без явной их конструкции и уж, конечно, без явного описания всех мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р.

В этом смысле интересно дать такое доказательство необходимости условий теоремы, которое давало бы и явную конструкцию, если уж не всех мартингальвых мер, то, по крайней мере, некоторого их подкласса, что существенно, если иметь в виду, что, например, отыскание верхних и нижних мер требует рассмотрения sup и inf по классу всех мер Р, эквивалентных исходной мере Р (см. § 1с).

Именно на этом пути явного построения мартингальной меры и будет далее строиться доказательство, следуя идеям работы Роджерса (L. С. G. Rogers) [407] и методам построения эквивалентных мер, основанным на "условных преобразованиях Эшера"

2. Для пояснения идеи построения рассмотрим сначала одношаговую модель (N = 1), считая, для простоты, d = 1, Bq = В = 1, S'q = {0, П}. Мы будем считать также, что P{S ^ So) > 0. В противном случае мы имели бы неинтересный тривиальный рынок и в качестве требуемой мартингальной меры могли бы взять исходную меру Р.

В рассматриваемом случае всякий портфель ж - это пара чисел (/3,7). Если Xq = 0, то это означает, что допустимыми являются пары (/3,7) c/3 + 7S0 =0.

(1)

Предположение отсутствия арбитража означает, что на таком (нетривиальном) рынке должны быть выполнены следующие два условия: ■

 

P(A5i > 0) > 0 и Р(Д5і < 0) > 0.

Тем самым, рис. 54 из § 2а здесь "превращается" в такой:

. Р(Д5і < 0) > 0 Рис. 55. Типичная безарбитражная ситуация. Случай N = 1

Из условий (1) нам надо вывести, что существует мера Р ~ Р такая, что

Ejj|ASi| <оо,

EpASi = 0.

Целесообразно сформулировать соответствующий результат безотносительно к "арбитражным" нуждам в виде следующего "чисто вероятностного" утверждения.

Лемма 1. Пусть X - действительнозначная случайная величина с распределением вероятностей Р на (М, £ё(Ш.)) таким, что

Р(Х > 0) > 0   и   Р(Х < 0) > 0. (2)

Тогда существует мера Р ~ Р такая, что для любого обМ

ЕреаХ < оо, (3)

в частности,

Ер|Х|<оо, (4) и имеет место следующее свойство:

ЕрХ = 0. (5)

 

Доказательство. Имея меру Р, построим прежде всего вероятностную меру Q,

Q(dx) = ce~x2P(dx), xeR, где с - нормирующая константа:

с-1 - Ере"*2.

 

Пусть для а Є М

<р(а) = EQeaX (6)

 

Za(x) = ±ri. (7)

Ясно, что Q ~ Р и из конструкции меры Q следует, что ip(a) < 00 для каждого а Є К и, очевидно, <р(а) > 0.

Понятно также, что EqZa(X) = 1, Za(x) > 0. Поэтому для всякого а Є R можно определить вероятностную меру Р0:

 

Pa(dx) = Za(x)Q(dx), (8)

обладающую тем свойством, что PQ ~ Q ~ Р.

Заметим теперь, что функция ip — <р(а), определенная для а € К, является строго выпуклой вниз, поскольку р"(а) > 0.

Положим

уз, = іпї{(р(а): а Є К}.

Видим, что возможны два случая:

существует а» такое, что <р(а*) — ср*

или

такого а» нет. В первом случае, очевидно, tp'(а,) = 0 и

 

Тем самым, в этом случае в качестве искомой меры Р можно взять меру PQ..

Покажем теперь, что вторая возможность 2) исключается предположением (2).

В самом деле, пусть {а„ } - такая последовательность, что

у* < <р(ап) і <pt. (9) Предел этой последовательности равен +со или —со, поскольку, если это не так, то можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и минимум будет достигаться в конечной точке, что несовместимо с предположением 2).

Пусть ип = —_ ии = limu„ (= ±1).

ап |

В силу предположения (2),

Q(uX > 0) > 0.

Отсюда вытекает, что можно найти такое 5 > 0, что

Q(uX >е) = є>0, (10)

причем в качестве 8 можно выбрать точку непрерывности распределения Q, т. е. такую, что

Q(uX = S) = 0.

Поэтому

Q(anX > 5а„) = Q(unX > 5) -»■ є,     n ->• оо, и, значит, при достаточно больших п

¥>(а») = Eqe0"* ^ EQ [еа"х 1{апХ > 8ап)] 2 є ■ ехр(*|а„|) -+ оо,

что противоречит (9), где tp* ^ 1. Лемма доказана.

Замечание.  Изложенный выше способ построения вероятностных ~ еах мер PQ, основанный на "преобразовании Эшера" х ~> —т—т, определяемом

V(o)

формулой (7), хорошо известен в актуарном деле со времен появления статьи Ф. Эшера [144], 1932 г. О применениях этого преобразования в финансовой математике см., например, [177] и [178], апо поводу применений в актуарной математике - книгу [52].

3. Из приведенного доказательства леммы нетрудно усмотреть, как можно обобщить ее утверждение на векторный случай, рассматривая вместо случайной величины X упорядоченную последовательность (Xq, Х,... ,Xn), состоящую из 3>п-измеримых случайных величин Хп, заданных на фильтрованном вероятностном пространстве (q,&, (•^5n)o^n^JV, Р) с граничными условиями &q = {0,П} k&n = &'.

Лемма 2. Пусть при каждом 1 ^ п ^ N

 

Р(Хп >0|^n_i) >0   и   Р(Хп <0|^„_1) >0. (11)

 

Тогда на пространстве (Сі, &) существует вероятностная мера Р, эквивалентная Р, относительно которой последовательность (Xq,Xi, ... ,Xn) является (Р,(&п))-мартингал-разностью.

Доказательство . Если это необходимо, то от меры Р можно сразу перейти к новой вероятностной мере Q такой, что

і=0

n =0

 

Q(dw) =cexpj-]TXt2(w)j P(dw), (12)

 

Г N 1

и относительно которой производящая функция Eqexp-^     OjXj > являет-

ся конечнозначной.

Искомая мера Р = P(duj) строится следующим образом (ср. с (8)). Определим функции

 

ірп(а;ш) =Е(еаХ"|^п_1)И. (13)

 

При каждом фиксированном ш эти функции (в силу (11)) строго выпуклы вниз по а. Как и в лемме 1, показывается, что существует (конечное) единственное значение ап = ап(ш), на котором достигается inf ipn(a; oj).

Поскольку inf совпадает с inf, где О - множество рациональных чисел,

a a&Q

10 <Рп (ш) = inf ipn (а; ш) является ^„-і-измеримой функцией, что позволя-

а

ет утверждать, что ап (о>) также является Э-п _ і -измеримой функцией. Действительно, если [А, В] - замкнутый интервал, то

 

{ш:ап(ш) Є [А,В]} = р)     (J     |ш: <рп(а;ш) < <рп(ш) + ^} Є &п-І7

 

что и доказывает ^n_i-измеримость величин ап(и>).

Определим теперь рекуррентным образом последовательность Zq, Zi(lj), ..., Zn(u), полагая ZQ — 1, и дляп > 1

 

EQ(exp{a„X„} | ^п_г)(ш)

Понятно, что величины Zn (ш) являются ^„-измеримыми и образуют мартингал:

Eq(Zn|^n_1)=Zn_1 (Р-п.н.). Требуемую меру Р определим посредством формулы

P(du) = ZN(u)P(<kj). (15)

Как и в лемме 1, из данного определения легко выводится, что Ejsl-Y,,! <оо, 0 ^N,n

 

Ер(Х„ | ^п-г) = 0,     1 ^ п ^ N. (16)

 

Согласно лемме 1, ЕрХо = 0. Тем самым, по мере Р последовательность (Xq , Xі,.. -, xjv ) является мартингал-разностью, что и доказывает утверждение леммы.

4. В том случае, когда d — 1, доказательство необходимости существования мартингальной меры Р ~ Р (при условии отсутствия на рынке арбитража) вытекает из утверждения леммы 2.

В самом деле, положим Xq = Sq, Хг = AS,... ,XN = ASN. Отсутствие арбитража гарантирует то, что, без ограничения общности, можно считать, что для всех п = 1,..., N

 

Р(Д5„ >0|^„_i) >0 и Р(А5„ < 0|^„_!) >0. (17)

Действительно, если Р(Д5„ = 0) = 1 при некотором п, то этот момент времени п можно просто исключить из рассмотрения, поскольку для любого самофинансируемого портфеля тг соответствующий вклад в X, вносимый в этот момент времени, равен нулю.

Если же при некотором п

Р(А5„ ^ 0) = 1

или P(ASn ^ 0) = 1, то, по условиям отсутствия арбитража, должно быть P(ASn =0) = 1. (Если это не так, то легко построить стратегию 7Г, дающую XJf > 0 с положительной вероятностью.) И тогда опять-таки соответствующий вклад в Xравен нулю.

Тем самым, можно считать, что (17) выполнено для всех п ^ N, и требуемое доказательство необходимости непосредственно вытекает из лемм 1 и 2, примененных к Xq = Sq, Хп = Д5„, 1 ^ п < N.

5. Обратимся теперь к общему случаю d ^ 1. В идейном плане доказательство то же, что и в случае d — 1, и может быть проведено, опираясь на следующее обобщение леммы 2 на векторный случай.

Хп

Лемма 3. Пусть (Xq,Xi,... ,Xn) - последовательность d-мерных ^-измеримых векторов

 

0 < п ^ N,

 

заданных    на    фильтрованном    вероятностном пространстве (^oo^jv.p) с &О = {0,Щ, $N = $. Пусть Хп, 0 ^ п ^ N, таковы, что если для ненулевого ^„—г-из-меримого вектора (Jf— = S'o)

 

In

 

с ограниченными компонентами (ln(u) ^ с < оо, ш € Q) P((4n,*n)>0|^„-i) >0 (Р-п.н.),

то и

Р{Ы,Хп) <0^п-г) >0 (Р-п.н.), где (jn,Xn) - скалярное произведение.

Тогда на (П, существует вероятностная мера Р, эквивалентная

мере Р, относительно которой последовательность (Xo,Xi,..., Xn)

является d-мерной мартингал-разностью: Ер|Х„| < оо, ЕрХо — 0 и

Ер(Х„ |                = 0, 1 ^ п ^ N.

Доказательство. Если топологический носитель регулярной условной вероятности Р (Хп Є • | З'п -1) (w), т. е. наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена эта мера, не содержится в собственном подпространстве пространства Rd, то, как и в случае d = 1, функции

 

уп{ач>) = Е(Є(а'*»> |^„_і)И,     а Є Md,

 

являются строго выпуклыми и inf <рп (а; ш) достигается в единственной точке ап = ап(и>) Є Kd, причемап(ш) являются^n-i-измеримыми.

Несколько более деликатной является ситуация, когда регулярное условное распределение Р(Хп Є -^п~і){^) содержится в собственном подпространстве пространства Md. В работе [407] показывается, что и в этом случае может быть выбрано единственное 3-п _ і -измеримое значение а„ = ап(ш), на котором достигается inf tpn (а; ш).

Требуемую меру Р строим так же, как и в (15) и (14), понимая под ап(и/)Хп(и>) (в формуле (14)) скалярное произведение векторов ап(ш) тлХп(ш).

6. Данная выше конструкция мартингальной меры, основанная на "условном преобразовании Эшера" давала лишь одну конкретную меру, хотя класс всех таких мер, эквивалентных исходной, может состоять и из более чем одной найденной меры. Следующий раздел будет посвящен изложению некоторых подходов, в основе которых лежит идея "преобразования Гирсанова" для конструкции семейств мер Р, абсолютно непрерывных или эквивалентных исходной мере Р, относительно которых последовательность нормированных цен оказывается мартингалом.

Преобразование Эшера довольно давно используется в актуарных расчетах страховой математики (см., например, [52]). Менее известны эти преобразования как "преобразования Эшера" в финансовой математике (см., впрочем, уже упомянутые работы [177], [178]), где большую роль играет набор результатов относительно преобразований мер, называемых часто "теоремой Гирсанова"

На самом деле, между этими преобразованиями много общего и это более подробно будет рассмотрено в разделе 3 этой главы. Сейчас же только отметим, в связи с леммой 1, что если X - нормально распределенная слу-

1 2

чайная величина, X ~ jY(0, 1), то <р(а) = ЕреаХ = еЗа и (см. (7))

 

Za{x) =

<f{a)

Читатель, знакомый с теоремой Гирсанова, немедленно заметит, что "гирсановская" экспонента еах 5 а ; участвующая в этой теореме (см. далее §3а), есть не что иное, как преобразование Эшера, определяемое формулой (7).

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010