В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1070318 человек которые просмотрели 19912341 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1378

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 2е.  расширенный вариант первой фундаментальной теоремы

5 В

1. Обозначим через ^(Р) и ^ioc(P) множества всех вероятностных мер Р ~ Р, относительно которых дисконтируемые цены

(т)

являются мартингалами и локальными мартингалами, соответственно.

Через ^ь(Р) обозначаем множество тех мер Р из ^(Р), для которых производные Радона-Никодима — являются ограниченными сверху:

 

dP          ~ ~

— (ш) ^ С(Р)  (Р-п.н.) для некоторой константы С(Р).

 

Теореме А (первой фундаментальной теореме; § 2Ь) можно придать следующую форму: условия

(В, S)-puhok является безарбитражным

и

множество мартингальных мер 9>(Р) непусто (^(Р) ф 0) равносильны.

Приводимая ниже теорема А* представляет естественное расширение формулировки первой фундаментальной теоремы, давая разные эквивалентные характеризации безарбитражности и проясняя структуру множества мартингальных мер. (Формулировка и доказательство этой теоремы даются, следуя работе [251].)

Введем, прежде всего, некоторые обозначения.

Пусть Q = Q(dx) - вероятностная мера на (ffid, ЈS(Rd)) и

K(Q) - топологический носитель Q (т. е. наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена мера Q; [335; т. 5]); L(Q) - замкнутая выпуклая оболочка множества К(Q); H(Q) - наименьшая аффинная гиперплоскость, содержащая К(Q)

(ясно, что L(Q) С Я(<Э)); L°(Q) - "относительная" внутренность L(Q) (в топологии гиперплоскости Н (Q)).

Если, например, мера Q сосредоточена в одной точке а, то H(Q) совпадает с этой точкой и L(Q) — L°(Q) = {а}. В противном случае H(Q) имеет размерность между 1 и d. Если H(Q) имеет размерность, равную 1, то L(Q) является замкнутым сегментом, a L°(Q) - открытым.

Будем обозначать через Q„ (ш, ■) и Q„ (uj, ■) регулярные условные

распределения Р(А5„ Є  ■ &п-г)(ш) и Р^Д^Ц^ Є ■ &п-і^(и),

Отметим, что, поскольку Вп > 0, 0 ^ п ^ N, и Вп являются ^n_i-измеримыми, то множества К(Q), L(Q) и L°(Q) одни и те же для Q = Qn и Q = Q„. Поэтому, без ограничения общности и упрощения в обозначениях, в приводимых далее формулировках и доказательствах будет предполагаться, что Вп = 1, п < N.

Теорема А* (расширенный вариант первой фундаментальной теоремы; [251]). Пусть выполнены условия теоремы А. Следующие утверждения равносильны:

(В, в)-рынок является безарбитражным;

а') (В, S)-рынок является слабо безарбитражным; а") (В,5)-рынок является сильно безарбитражным;

множество ^ь(Р) ф 0

множество ^(Р) ф 0;

множество ^іос(Р) Ф 0

для всех п Є {1,2,...,N} и Р-почти всех ш Є П точка О Є L°(Qn(u,-)).

Сделаем прежде всего ряд общих замечаний относительно сформулированных утверждений.

По поводу определений безарбитражных, слабо и сильно безарбитражных рынков см. § 2а.

Из леммы в § 1с, гл. II, следует, что, на самом деле, £Р(Р) = Ј?ioc(P), и, тем самым,

с) d).

Далее, если свойства а), а'), а", с) или е) выполнены относительно некоторой меры Р, эквивалентной мере Р, то они выполнены и относительно меры Р. Если свойство Ь) выполнено относительно меры Р ~ Р (т.е.

— dP ^ь(Р) Ф 0) и производная — ограничена, то свойство Ь) выполнено и

относительно исходной меры Р.

Заметим теперь, что всегда можно найти меру Р ~ Р такую, что отно-

сительно нее все величины о„, п ^ N, интегрируемы и производная —

тт rfP

ограничена. Достаточно, например, положить

n

dP = Cexp(-ЈЈ|S;|)dP,

^    j=lп=1 '

где С - нормирующая константа.

Тем самым, при доказательстве теоремы сразу можно предполагать, что исходная мера Р такова, что ESn < оо, п ^ N.

Тогда, поскольку импликации

а") => а) =^ а')

и

Ь) =» с) очевидны, то надо лишь доказать, что

а') => е) Ъ)

и

с) =Ф а").

2. Введем ряд объектов, нужных для доказательства этих трех импликаций и сформулируем два вспомогательных утверждения (леммы 1 и 2). Пусть Q = Q(da;) - некоторая мера на (Rd,SB(Rd) такая, что

[ xQ(dx) < оо. (1)

(Далее в качестве Q будут браться регулярные условные распределения Q„(o), dx), п ^ N, и для них условие (1) будет (Р-п.н.) выполнено в силу предположения Е|5„| < оо, п ^ N.)

Пусть х' = (х, v) Є Е = Ш.а х (0,оо) и Q' = Q'(dx') - некоторая мера на борелевской ег-алгебре § пространства Е, ассоциированная с мерой Q = Q(dx) в том смысле, что Q есть "первый маргинал" меры Q', т.е. Q(dx) - Q'(dx,(0,oo)).

Через Z(Q') будем обозначать семейство положительных борелевских функций z = z(x, v) на Е с

 

/ xz(x,v)Q'{dx;dv) < 00, (2)

Ie

J Е

z(x,v)Q'(dx;dv) = 1, (3)

обладающих тем свойством, что функции vz(x, v) ограничены.

Пусть В(а, є) - замкнутый шар в Rd с центром в точке а и радиусом є. Обозначим G — множество всех семейств

д - (к, (oj,Јi,ai,Q!i)«=i,...,fe) (4)

таких, что к Є {1,2,... }, <ц Є Rd, є, > 0, с*і > 0, а > 0. Свяжем с д Є G положительную функцию (на Е)

1 fe

*э(Ж'и) = max(«, 1) ]С[а'7в(а„£,-)(*) +»^вс(а„£і)(4 (5) где Вс = Rd Б.

Если Eq/z3 = 1, то в силу (1) видим, что zg Є Z(Q'). Тем самым, для таких функций zg определены векторы (барицентры)

 

(6)

J Е

Обозначим

ф(<У) = {f(g)--geG, eq*zs = i}. (7)

Лемма 1. Имеют место следующие соотношения:

L(Q) = *(Q'), (8) L°(Q) С Ф(о'). (9)

Дели 0    Jj°(Q), mo найдется вектор j в M.d такой, что

Q(x: (7, г) >0) =1   «   Q(a: (7,х) > 0) > 0. (10)

Доказательство. Установим сначала, что L(Q) С Ф(0/).

Пусть у Є K(Q). Покажем, что найдется последовательность точек у„ из Ф(Q') такая, что уп —* у. Иначе говоря, каждая точка у из топологического носителя меры Q может быть получена как предел некоторой последовательности уп — <р{дп) с дп є G, п ^ 1.

Пусть Ап = В {у А/п) ~ шар радиуса 1/п с центром в у. Положим

 

ап = Q"(An),    асп = Q"(Acn)

 

и

Ьп= [   xQ"(dx),    Ьп= [ xQ"(dx),

где

Q"(A)= f IA        l-—Q'(dx,dv),     Лб§(1"). (11)

JE     max(u, 1)

ac

Выберем 5n таким, что Sna,n H—— ~ 1-

n

Поскольку у Є if (Q), то an > 0. Ясно также, что sup ап < оо. Поэтому

п

заведомо 5п > 0, по крайней мере, для больших значений п. Следовательно, еслидп = (1, (у, ^,     ^)), то для больших п

eq'29n = <*na„ + ^ = 1- (12) 6е

Положим у„ = ip(gn)- Тогда уп = 5пЬп + —, где sup n < оо.

п п

Поскольку 5пап ~* 1 и 6„ — уап —> 0, то уп У-

Тем самым, K(Q) содержится в замыкании Ф(С}') множества Ф(0/):

 

K(Q) С Ф(0/). (13)

 

Заметим теперь, что множество Ф(0/) является выпуклым множеством. Поэтому из (13) следует, что

 

L(Q)cҐ(Q'). (14)

 

С другой стороны, всякая точка у Є Ф(о') есть среднее значение вероятностной меры, эквивалентной мере Q (см. (6), (7) и (11)), и, значит, у принадлежит замкнутой выпуклой оболочке L(Q) множества K(Q).

Таким образом, Ф(0/) С L(Q), и поэтому Ф(0/) С L(Q), что вместе с (14) устанавливает равенство L(Q) = Ф(Q').

Воспользуемся теперь тем, что каждое выпуклое множество содержит внутренность его замыкания. Применяя это свойство к выпуклому множеству Ф(0/) (в относительной топологии на H(Q)), находим, что L°(Q) С V(Q').

Итак, свойства (8) и (9) установлены.

Перейдем к доказательству последнего утверждения леммы.

Пусть точка 0 $ L° (Q). Тогда возможны следующие три случая, разбираемые с помощью стандартной техники "отделимости" в выпуклом анализе; см., например, [406].

Первый: 0 ^ Я(0). В этом случае в качестве 7 берем вектор, выходящий из нуля по направлению к множеству H(Q) и ему ортогональный. Тогда (7, ж) > 0 для ж Є H(Q), что влечет, разумеется, свойство Q(x: (7, ж) > 0) = 1.

Второй: 0 Є H(Q), но 0 $ L(Q). Тогда понятно, что можно найти вектор 7 Є H(Q) такой, что (7, ж) > 0 для всех х Є L(Q), и, следовательно, Q(x: (7,я) > 0) = 1.

Третий: 0 Є H(Q), но 0 Є L(Q) L°(Q). Тогда на H(Q) оба множества L(Q) и K(Q) лежат по одну сторону гиперплоскости, скажем, Я', содержащей 0 и имеющей размерность q — 1, где q есть размерность H(Q). (Если q = 1, то Я' сводится к точке {0}.) По определению, H(Q) есть минимальная гиперплоскость, содержащая К(Q). Поэтому K(Q) не содержит-сявЯ'.

Требуемый вектор 7 строится в этом случае следующим образом.

Возьмем какой-то ненулевой вектор 7 в Я(0), ортогональный к Я и такой, что (7, ж) ^ 0 для всех х Є L(Q) и, значит, Q(x: (7, ж) ^ 0) = 1.

Заметим теперь, что найдется точка ж Є K(Q) такая, что скалярное произведение (7, ж) > 0. Поэтому с учетом того, что K(Q) - топологический носитель меры Q, находим, что Q(x: (7,ж) > 0) > 0.

Лемма 1 доказана.

3. Следующий нужный нам результат относится к проблематике существования "измеримого выбора"

Лемма 2. Пусть (Е, g, /л) - некоторое вероятностное пространство u (G,^) - польское пространство с борелевской а-алгеброй

Пусть А является g <8> ^-измеримым подмножеством в Е х G.

Тогда существует G-значная g-измеримая функция Y — Y(x), ж є Е, называемая селектором, такая, что (ж, У (ж)) Є А для ц-почти всех ж, принадлежащих Е-проекции

7г(Л) = {ж: Зу Є G с (ж,у) Є А}.

 

Замечание 1. Прежде всего отметим, что в данной формулировке под польским пространством понимается топологическое пространство, которое является сепарабелъным и таким, что на нем существует метрика, совместимая с рассматриваемой топологией, относительно которой это пространство является полным.

В литературе, посвященной проблематике "измеримого выбора" можно найти (см., например, [11]) разнообразные формулировки теорем о существовании измеримых селекторов при различных предположениях относительно измеримых пространств (Е, S) и (G, CS). Для наших целей проще всего будет здесь сослаться, например, на [102; гл. III, теорема 82] или [11; Appendix I, теорема 1], в соответствии с которыми имеет место (с некоторыми модификациями в формулировке) следующее

Предложение. Пусть [Е,§) - произвольное измеримое простран-

ство и (G, У) - польское пространство. Если              то сущест-

вует универсально измеримая функция У = Y(x), ж Є Е, такая, что

(ж,У(ж)) Є А для всех ж Є т(А).

Напомним, что G-значная функция У = Y(x), заданная на (Е, g), называется универсально измеримой, если она является S/^-измеримой, где g = Г) g есть пересечение (по всем конечным мерами на (E,g)) ег-алгебр gft, каждая из которых есть пополнение g по мере ц.

Таким образом, из сформулированного предложения следует, что существует g/^-измеримая функция У = У(ж), х Є Е, такая, что для всех ж Є 7г(А) имеем (ж, У (ж)) Є А. ^

Поскольку § — р| §ц, то для каждой конечной меры fj, функция У будет, конечно, g^/^-измеримой. Пользуясь тем, что (G, - польское пространство, а <од есть сг-алгебра, являющаяся пополнением g по мере ц, отсюда нетрудно заключить (аппроксимируя Y простыми функциями), что существует (о /^-измеримая функция Y такая, что Y — Y (/л-п.н.).

Тем самым, утверждение леммы 2 следует из сформулированного выше предложения.

4. Доказательство а') ==> е). Пусть рынок является безарбитражным, но е) не имеет места. Тогда найдется п Є {1,2,..., N} и ^"„_і-изме-римое множество В с Р(В) > 0 такое, что для почти всех ш Є В точка 0 не принадлежит L°(Qn(ш, •)).

Множество

 

А = {(из,у) Є fi х Rd: из Є В, Qn (w, {x: (j,x) ^ 0» = 1,

Qn(u3,{x:(7,x) >0}) >0}

 

является ^"„_i <8> S3 (Kd)-измеримым и его проекция ж(А) равна В согласно последнему утверждению в лемме 1.

По лемме 2 об измеримом выборе, найдется SFn—і -измеримый вектор д - д(из) такой, что

 

Qn(W,{i:(sH,x)^0}) =1,     Qn(u3,{x:(g(u3),x) > 0}) > 0

 

для Р-почти всех U3 Є В.

Поскольку множество В является 3"п _ і -измеримым, то функция д(из) — д(ш)1в{ш) будет &п-і-измеримойи, согласно (15), (д, А5„) ^ 0 (Р-п.н.) и Р((3,А5„)>0)>0.

Положим 7j = gli=n, і = 1,.. •, iV, и по ним определим с&мо^гшамси-руемую стратегию я- - (/3,7), у которой капитал X* таков, что Xq = 0 и

ах* = (л, ASi). ^Элементы/3j определяются, скажем, в случае Ві = 1,

из тех соображений, что капитал X* = (7^, Si) + Pi должен быть в то же

самое время равен Yl ilj > AS,-) Л

3=1 J

Ясно, что построенная стратегия 7г такова, что Xq — 0, X? — 0 для і < п X* = Х£ ^ 0 для всех і > п; и P(Jf]v > 0) > 0, что противоречит условию а').

5. Доказательство е) ==> Ь). Будем строить мартингальную меру Р Є 5аь(Р) по формуле dP = ZdP, где

 

n

Z=l[zn, (16)

n=l

 

с некоторыми ^„-измеримыми функциями zn. Рассмотрим регулярную условную вероятность

 

Qn(w,dx) = P(ASnedx&n-1)(w), которую называют также переходной вероятностью (из (П, ^„_i) в (Rd,Se(Rd))). Ниже по Qn(ui,dx) будут сконструированы специальным образом новые переходные вероятности Q'n(u3,dx,dv) (из (Cl,^n—i) в (Е, §) с Е = Rd х (0,00)) такие, что

 

Q'n(u;,da:,(0,oo)) =Q„(w,(to). (17)

Воспользуемся теперь рассмотрениями из п. 2, беря там в качестве меры Q'(dx, dv) меру Q'n(u3,dx, dv) (п = 1,... ,N, из є f2). Обозначим (см. (5)-(7))

 

Л = |(w,5) Є ft х G: J^zg(x,v)Q'n(u3,dx,dv) = 1, </j(g) = oj.

Заметим, что введенное выше пространство G, состоящее из элементов д, определенных в (4), является польским пространством (с топологией прямого произведения). Пусть 'ё - его борелевская ег-алгебра.

Множество А является &n—i ® ^-измеримым, и его проекция ir(A) на Сі совпадает (по предположению е)) с Сі, т.е. тг(А) = Q.

Тогда, по лемме 2, найдется G-значная ,^„_і-измеримая функция 9п = 9п (ш) такая, что (из, дп (из)) Є А для Р-почти всех из Є П.

Определим на Сі х Е функцию

zn(u3,x,v) = zgn^(x,v). (18) Эта функция является &n—i ® ^-измеримой и такой, что (Р-п.н.)

 

/ zn(u3,x,v) Q'(u3,dx,dv) = 1 (19) Je

и

/ хгп(из,х, v) Q'(u3,dx,dv) — 0. (20) Je

В силу (5), Р-п.н.

supvzn(u3,x,v) < 00.

v

Снова применяя лемму 2, находим, что существует 3-п _i-измеримая положительная функция V„_i = V„_i (из) такая, что для всех (ж, v) и Р-почти всех из Є CI

vzn(u),x,v) < Vn-i(u>). (21)

Перейдем теперь к конструированию (индукцией назад) последовательности мер Q'n = Q'n (ш, dx, dv) и построенной для них соответствующей последовательности функцийzn(w,x,v), п — N,N — 1,... .

С этой целью возьмем п = N и положим Vjv(a>) = 1, <*» Є d. Пусть Q'N = Q'N (ш, dx, dv) - регулярная &п- і -измеримая условная вероятность вектора (ASn, Vn)- Понятно, что "первый маргинал" этой меры есть, в точности, Qn = QN(w,dx).

Пусть zpt (и), х, v) определяется по Q'N в соответствии с описанной выше конструкцией (18) и Vn-i(u)) определяется по zn(u,x,v) в соответствии с (21). Тогда Qjv_i определяем как регулярное З-n —2-измеримое условное распределение вектора (ASn-i,Vn-г), и, вообще, если определено, то затем определяем zn (ш, х, v) согласно (18), a V„_ і(cj) - в соответствии с неравенством (21).

После этого определяем QJ,_! как ^"„_2-условное распределение вектора (AS,,-!, Vn_i) и т. д.

Обозначим

zn (w) = zn (ш, ASn (и), Vn (ш)) (22)

 

n

Z{u>) = fj zn{ui). (23)

n=l

Тогда, в силу (21) и (22),

 

™<Щ$г- <24>

 

Из (23), (24) и с учетом Vn (w) = Wn (w) — 1, находим, что

 

Z(u) < VQ(ui), (25)

 

где V0(w) < oo (Р-п.н.). Поскольку 3-q = {0, Щ, то V0{lj) есть константа (Р-п.н.).

Далее, из определения Q'n, и условий (19) и (20) находим, что (Р-п.н.)

 

Е(2п|^п-і)И-1 (26)

 

и

E(A5„Jn|^n_I)H =0. (27)

Из (26) следует, что EZ(cj) = 1 и, значит, можно определить новую вероятностную меру Р, полагая

 

Р(сМ = Z(u) P(dw). (28)

Из (25) ясно, что Р ~ Р. Поскольку

Е|А5„| = EZASn< V0EASn < oo и по "формуле Байеса" (см. формулу (4) в §3а) и (27)

Ё(Д5„ | 2п-х) = Е(А5П?„ | ^„_0 = 0,

 

то по мере Р последовательность S = (Sn) является мартингалом.

Из проведенной конструкции меры Р получаем, что Р Є ^ь(Р). Тем самым, импликация е) ==> Ь) установлена.

6. Доказательство е) =► а")- Пусть Р Є @>(Р) ф 0. Тогда S = (Sn)n^.n является Р-мартингалом. Предположим, что 7Г - самофинансируемая стратегия с Xq — 0 и Xn ^ 0.

Поскольку АХп = 7„ ASn, то Xr = (X„)n^n является мартингаль-ным преобразованием и, значит, по лемме из § 1с, гл. II, Хп является мартингалом. Поэтому EXN = EXq = 0 и, значит, XN = 0 (Р-п.н.), что и доказывает импликацию с) => а").

Теорема А* доказана.

Замечание 2. Если не предполагать Вп = 1, п ^ N, то вместо оперирования с регулярными условными вероятностями

 

Qn{u,dx) = Р(А5„ є dx

 

надо иметь дело непосредственно с регулярными версиями условных вероятностей

 

Соответствующие рассуждения с учетом того, что Вп > 0 и Вп - ЗРп -і-из-меримы, п ^ N, остаются теми же самыми, без каких-либо существенных изменений.

 

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010