В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1045691 человек которые просмотрели 19701255 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1362

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 3b.  дискретный вариант теоремы гирсанова. i. условно-гауссовский случай

1. Рассмотрение общих вопросов конструкции вероятностных мер Р, (локально) абсолютно непрерывных или эквивалентных исходной "базисной" мере Р, входящей в определение фильтрованного пространства

 

целесообразно начать с дискретного (во времени) варианта теоремы, установленной И. В. Гирсановым в работе [183] для процессов диффузионного типа и послужившей прототипом разнообразных теорем - для мартингалов, локальных мартингалов, случайных мер, семимартинга-лов,.... (См., например, гл. II в [250].)

Пусть временной параметр п S> 1 и є = (єі, єз,...) — последовательность    -измеримых случайных величин с распределением

 

Law(e„|^„_i;P) = ^(0,l). (1)

В частности, это означает, что последовательность є состоит из независимых, стандартных нормально распределенных величин, є„ ~ Jf(0,1).

Пусть наряду с последовательностью є = (є„)„^і заданы предсказуемые последовательности /і = (/і„)„^і и а = (<7n)n^i> т-е- такие, что /іп и ап являются 9п—-измеримыми (&q = {0, П}), причем будем считать сг„ > 0, что оправдывается смыслом этого параметра как "волатильности" и тем, что наблюдения с ап = 0 можно просто исключить из рассмотрения.

Подпись: Лемма. 1) Последовательность Z = (Zn)n^i является (Р, (&п))-мартингалом с EZn — 1, п ^ 1.
2) Пусть 3- = V' 3"п и выполнено "условие Новикова"

Положим h = (hn)n^i, где

hn = /і„ + сг„є„. (2)

 

Из (1) следует, что (регулярное) условное распределение P(hn ^ ■ |^„_i) определяется формулой

 

1              Г* (В-Мп)2

Р(Лп<а:|^п_1) = —== /     е        dy, (3)

у/2тга^ J-oo

или, в символической форме,

 

■ Law(An|^B_i;P)=^Oi„,ff*), (4)

что дает основание назвать последовательность h = (hn) условно-гауссов ской (по мере Р), имеющей (условные) среднее и дисперсию

Е(Л„|^„_і)=/і„, (5) D(M^n_i) = <Ј. (6)

Из (4) или (5) и (6) находим, что

E(A„-/i„| #„_i)= О, (5') D(A„-/i„|#„_i) = ff*. (6')

Если обозначить

п             п п

 

fe=l        fe=l fc=l

то можно сказать, что в условно-гауссовском случае величины Н„ представлены в виде

Нп=Ап+ Мп,

где А — (Ап) - предсказуемая последовательность иМ = (Мп)- условно-гауссовский локальный мартингал с квадратической характеристикой

 

fc=i

3. Конструкция мартингальных мер 563 п

Обозначим Wn = ]fj gfc, А = 1. Тогда (2) можно переписать в разност-ной форме

АНп = цпА + anAWn,

что естественно рассматривать как дискретный аналог стохастического дифференциала (см., например, [303; гл. 4] и § 3d, гл. III)

 

dHt = Htdt + at dWt

 

некоторого "процесса Ито" Н = (Ht), порожденного винеровскимпроцессом W — (Wt)t>o> с локальным сносом (/it)t>o и локальной волатильнос-тью (crt)t>o-

Применительно к рассматриваемому случаю у с ловно-гаусс овской последовательности (2) дискретный аналог "теоремы Гирсанова" (полученной, как уже отмечалось, И. В. Гирсановымв случае непрерывного времени) связан с вопросом о том, можно ли найти такую меру Р, абсолютно непрерывную или эквивалентную мере Р, относительно которой последовательность h = (hn) становится (локальной) мартингал-разностью. В этой связи полезно подчеркнуть, что правая часть в (2) содержит два члена: "снос" цп и "дискретную диффузию" <т„є„, являющуюся (по мере Р) мартингал-разностью. Сформулированный вопрос состоит, в сущности, в том, нельзя ли найти такую меру Р -С Р, относительно которой (hn) не имеет "сносовой" компоненты, а является лишь "дискретной диффузией", т.е. (hn) есть (локальная) мартингал-разность.

(8)

E«p(ig©')<~

2. При конструировании меры Р ключевую роль играет последовательность (положительных) случайных величин

 

Тогда Z = (Zn)n-^i - равномерно интегрируемый мартингал с предельным (Р-п.н.) значением Zoo = lim Zn таким, что

^expj-f^-ifr^)2}, (9)

 

Zn = E(Zoa&n). (10)

Доказательство. 1) Это утверждение очевидно, поскольку для любого k > 1 (Jb = {0,Щ)

Е«р{^-і(^)а|^-Л = 1, (П)

 

что следует из Jfc_i -измеримости — и условной гауссовости (1).

0~к

2) Доказательство равномерной интегрируемости семейства (Zn) при условии (8) достаточно сложно и может быть найдено и в оригинальной работе А. А. Новикова, [368], и во многих руководствах (см., например, [303; гл. 7], [402]).

Однако, при несколько более сильном условии: для некоторого є > 0

 

доказательство равномерной интегрируемости семейства (Zn)n~^i сравнительно элементарно. Поэтому представляется целесообразным привести это доказательство, что мы и делаем в конце параграфа (см. п. 5).

3. Зафиксируем некоторое N ^ 1 и будем рассматривать последовательность (hn) только для n ^ N. Для простоты обозначений будем считать 3" = &•]$, так что Pjv = РI      — Р-

Поскольку Zn > 0 и EZs = 1, то на (П, 9) можно ввести вероятностную меру Р = P(dui), полагая

P(du) = ZN(u>)P(du>). (13)

 

Подчеркнем, что здесь не только Р <С Р, но и Р <С Р. Поэтому Р ~ Р.

Рассмотрим свойства последовательности (/in)n^iv относительно меры Р.

По "формуле Байеса" (4) из § За для всякого А Є К и п < N имеем (Р-п.н.)

Ё(е'ЛЛ" | #,_а) = Е(е(ІЛ^--)£"+ІЛ""-И^)2 J J^) = Е(Є(ІЛ""-^)£"-5(ІЛ-"-^)2

хеі(^--^)а-Н^-і(»)а|*я_1) = е—**, (14)

где использовано то, что

Ее(<А"»-£)в»-И<Л'»-£)а = і

и ст^ - 3-п _1 -измеримы. Полученное равенство

Е(еІЛЛ" |J„-i) =е"^  (Р-п.н.) (15)

говорит о том, что относительно новой меры Р последовательность h = (hn) осталась условно-гауссовской, но уже с нулевым "сносовым" членом:

Law(ftn|^n-r,P)=^(0,a*), (16)

и, таким образом, аналогом соотношений (5) и (6) здесь являются следующие:

Ё(ЛИ 1^,-0 = 0, (17) б(Л„|^п_1) = а*. (18)

С наглядной точки зрения можно сказать, что переход от меры Р к мере Р аннулирует ("убивает") снос ц = (цп)п^.ы У последовательности h = (hn)n^.Ni оставляя той же самой условную дисперсию.

(19)

Из (16) можно заключить также, что если є = (en)n^.N - последовательность 3"п -измеримых величин с распределением

Law(e„|^n_i;P) = Jf(0,l) (такую последовательность всегда можно построить, быть может, правда, за счет расширения исходного вероятностного пространства), то

 

Law(/i„, п < NP) =Law(crnen, n <7V| р). (20)

 

Отсюда видно, что по новой мере р последовательность (hn)n^ jv ведет себя как локальная мартингал-разность (сг„єп)п^^, в то время как относительно исходной меры р аналогичное (20) свойство имеет такой вши

 

Law(/i„ -/і„, п < N р) = Law(crnЈn, п < NP). (21)

 

Изменим сейчас порядок рассмотрений.

Будем исходными считать меру р и последовательность h — (hn), для которых имеет место свойство (20). Тогда при переходе от меры р к мере р (в соответствии с формулой (13)) получим свойство (21), которое можно интерпретировать как появление сноса у локальной мартингал-разности (<т„ £„) n . Именно эта интерпретация и оказывается наиболее удобной для формулировки соответствующего общего результата о преобразовании локальных мартингалов при абсолютно непрерывной замене меры (см. далее § 3d).

Перед тем как резюмировать полученные результаты, заметим следующее.

Пусть <т„ (uj) не зависят от uj (= ап). Тогда из (14) индуктивным образом находим, что для Afc Є R с к Є {1,..., N}

 

Е(е*£"=1 А*Ль) =Ё(е{^=1 XkhkE(eiX"h" I J^-i))

X%*N ~ ,              ■.   .    .  1 ч2„2

= e          2^Е(е1^-:*=1 X*h*) = ... = e-5ifcl Afc°fc.

 

Тем самым, относительно меры р последовательность (/гп)п<лг является последовательностью независимых нормально распределенных, hn ~ «yV(0, стп), случайных величин с нулевыми средними. (Это можно было также заключить из (17)-(20).)

Итак, сведем полученные результаты в виде следующей теоремы, которую естественно назвать дискретным аналогом теоремы Гирсанова.

Теорема. Пусть h — (/i„)„^jv _ условно-гауссовская последовательность такая, что

Law(fc„|^n_i;P)=.yVOin,ffЈ), n^N.

Пусть J^jv = 3" и мера Р определена формулой (13) с плотностью Zfj, задаваемой формулой (7). Тогда:

относительно меры Р последовательность h = (/in)„^jv является условно-гауссовской:

Law(fcB|^B_1;P) = ^(0,a^),       п < N;

если а = ап(и>), п ^ N, не зависят от и), то по мере Р последовательность h = (/in)n^jv является последовательностью независимых гауссовских величин:

Law(fc„|P)=^(0,«jn), n^N;

если &• = V-^n и выполнено условие (8), то свойства 1) и 2) остаются справедливыми для всех п > 1 с мерой Р такой, что P(du>) — Zoo(u;) P(dui), где Zoo(^) определено в (9).

4. Заметим, что в конструкции меры по формулам (13) и (7) непосредственно участвовали последовательности (рп) и (<тп)і входящие в определение hn (= р-п + о-пєп). В этой связи, а также с целью установления связи с процедурой специального выбора значений ап (и>) при рассмотрении преобразований Эшера (см. § 2d), рассмотрим семейство процессов Z(b) = (Zn^)i^n<JV, определяемое величинами

ZnbHu>)=exp{-JTbkek-1-J2bl}' (22)

fc=i        fc=i J

где bk = bk(u)) - ^-і-измеримн.

Поскольку EZpp(ui) = 1,тона^лг — 3 определена вероятностная мера

P(b)(dw) = Z^{u)P(du). (23) Относительно этой меры условное математическое ожидание

Е(ь>(М^п-і) = -&»- — • (24)

Отсюда ясно, что выбор в "теореме Гирсанова" специальных значений Ьп = — —, п ^ N, диктуется тем, что именно при таком выборе

последовательность h — (/in)n<jv становится локальной мартингал-разностью.

Далее, если Хп = /і„ + єп, то функция

<pn(a;u>) = Е(еаХ« | JUi) = еІ-3—м». Отсюда видим, что

Ы(рп(а;и)) = ipn(an(u));u)),

если ап(ш) = fin, п ^. N.

Именно эти "экстремальные" значения а п (и>) и были использованы в § 2d при построении меры с помощью "преобразования Эшера" относительно которой последовательность (Хп) становится мартингал-разностью.

Тем самым, в рассматриваемом случае (ап = 1) и "преобразование Гирсанова" и "преобразование Эшера" приводят к одной и той же мере Р.

5. Приведем доказательство того, что при условии (12) семейство Z = {Zn)n^ с Zn, определенными в (7), является равномерно интегрируемым.

Пусть /Зп =        . Тогда условие (12) примет следующий вид: сущест-

вуст 8 > 0 такое, что

 

EexpjQ<оо. (25)

 

В соответствии с (7)

Ґ "          1  " 1

Zn = ехрі ]Г/Зкєк - - V Pk ,     п > 1. (26)

Ч=і         1 fc=i i

Пусть є > 0 ир > 1. Положим

tf> =ехр{(1 +£)£>£,«(27)

^_Ц(Й^-1+£)|;Л}" Р8,

Для требуемой равномерной интегрируемости семейства (Zn)n^i достаточно показать (см., например, [439; гл. II, §6, лемма 3]), что при некотором є > О

sup EZl+e < оо. (29)

п

Поскольку

 

то, в силу неравенства Гёльдера (1/р+1/д = 1),

EZI+' = E*Јty« < ШГ}1/РМ№У]1/Ч = Шт1/Я, (30) где мы воспользовались тем, что (см. (11))

е(ф£Г = і.

 

Положим р = 1 + 8, q = (1 + 8)/8, где 8 > 0 таково, что выполнено условие (25). Выберем є > 0 таким, что

£(1 + £К (! + *)(! +З*)"

 

<$2

(31)

2(g -1)

 

Тогда

1    єд(1 +є)(1 +g) + 1

{(И£*М(Иё*}

 

fe=l

< exp

оо       -, l/q 2

»ирЕ(Й2)Г]""<[Еехр(і+і)Х;Й

и, значит, в силу условия (25), supEZ^ ^

< ОО,

 

что и доказывает требуемую равномерную интегрируемость семейства (Zn).




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010