В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1121778 человек которые просмотрели 20476719 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1421

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 3d. дискретный вариант теоремы гирсанова. ii. общий случаи

1. Как уже отмечалось выше, дискретный вариант теоремы Гирсанова для условно-гауссовского случая послужил прототипом соответствующих результатов для стохастических последовательностей Н = (Нп) с hn = АНп более общей структуры, нежели "/г„ = цп + <т„еп"

Чтобынайти "правильную" форму обобщений, проанализируем еще раз проведенное выше доказательство (в условно-гауссовском случае) того, что

 

— 1ос —

"если Р « Р, то E(hn &п-г) = цп => E(hn | &n-i) = 0, п > 1'!

 

Доказательство этого свойства, данное в § ЗЬ, существенно опиралось на формулу пересчета условных математических ожиданий (см. (4) в § За),

— 1ос

которая (в предположении Р С Р) применительно к Y = Нп с ЕНп < со, т = п — 1, имеет такой вид:

 

Е(ЯВ|^„_1) = -=Л-Е(ЯП^„|^П_1) (Р-п.н.),    п>1. (1)

 

Здесь Е - усреднение по мере Р и правая часть считается равной нулю, если Zn_i(w) — 0. Также считаем, что SFq = {0, Щ, Zq(uj)  ■ 1.

Покажем, как из формулы (1) можно легко вывести следующий результат:

— 1ос —

"если Р < Р, то Н Є Ж(Р) <=^ HZE Л(Р)Я, (2)

где Ж(Р) и Ж(Р) обозначают классы мартингалов по мерам Р и Р соответственно (см. § 1с, гл. II).

В самом деле, если Н є Jt(P), то Е(Д"„ | ^n-i) = Нп- (Р-п.н.), и из (1) следует, что #n_i-Zn_i = E(HnZn | &п-) (Р-п.н.). Это равенство, справедливое Р-п.н., будет справедливым и Р-п.н.

Действительно, на множестве {Zn~ = 0} и левая, и правая его части равны нулю, поскольку на этом множестве и Zn — 0 (Р-п.н.). На множестве же {.Zn-i > 0} меры Р и Р эквивалентны (в том смысле, что P({Z„_! > 0} П А) = 0 P({Z„_i >0}ПЛ)=0дляЛє &п-) и, значит, левая и правая части указанного соотношения совпадают и по мере Р. Тем самым, импликация      в (2) доказана.

Аналогично, если HZ Є Ж(Р), то Hn-n- = E(HnZn&n-i) (Р- и Р-п.н.). Так как Zn- > 0 по мере Р, то

= -^—E(HnZn | Jn_!) (Р-п.н.).

 

Отсюда и из формулы (1) следует, что Я Є Ж{Р).

Интересно отметить, что "формулу Байеса" (4) из § За (и, в частности, формулу (1)) можно вывести из импликации =s> в утверждении (2).

В самом деле, пусть ^„-измеримая величина Y такова, что Е|У| < оо и

~ 1ос „

р < Р.

Образуем мартингал (Ят, P)m^n с Нт — Е(У j &т)~ Тогда, согласно (2),

E(YZn | 9т) = HmZm (Р-п.н.).

В частности, E(YZn | 9п-) = Hn-n^ (Р- и Р-п.н.). Отсюда следует, что поскольку P(Zn_i > 0) = 1, то

-=^—E(YZn^n.1)=Hn-1 (Р-п.н.).

 

Вместе с равенством Я„_і = E(Y | J„_i) (Р-п.н.) это доказывает требуемую "формулу Байеса" (4) из § За в "лемме о пересчете":

"если Р « Р, то Ё(У | Jn_a) = —!— E(YZn | ^п_г) (Р-п.н.)'!

 

Таким образом, свойство (2) можно рассматривать как своеобразную "мартингальную" версию "леммы о пересчете" при абсолютно непрерывной замене меры.

2. Целесообразно результат (2), а также некоторую его "локальную" версию сформулировать в виде следующего предложения (ср. § ЗЬ, гл. III в [250]).

~ ІОС

Лемма. Пусть P<CP,Z=(Zn)- процесс плотности,

 

С Рп = Р ] 3"п,   Рп = Р | Jn.

Пусть Н — (Я„, Jn) - стохастическая последовательность.

Последовательность Н является Р-мартингалом (Н Є Ж(Р)) в том и только том случае,  когда последовательность HZ -(HnZn,&„) является Р-мартингалом (HZ є Л?(Р)), т. е. справедливы, импликации (2):

НеЖ{Р) «=> HZ&Jt(P).

Если, к тому же, Р '~ Р, то последовательность Н является локальным Р-мартингалом (Н Є ^іос(Р)) в том и только том случае, когда HZ является локальным Р-мартингалом (HZ Є -Жос(Р)):

 

Яе4,ос(Р) <=Ф HZЂJtloc(P). (3)

 

Доказательство. а) Это утверждение уже было доказано с привлечением формулы (1) (которая интересна и сама по себе). Но его можно доказать также и непосредственно, пользуясь лишь определением мартингала.

Возьмем т < п и А Є Jm. Тогда Е(/дЯ„) = E(lAZnHn) и, значит,

Е{1АНп) = Ё(1АНт) ^ E(IAZnHn) = E(IAZnHm).

Но E{IAZnHm) = E{IAZmHm). Поэтому Н Є ЛІР) <=> HZ є М{Р).

Ь) Пусть (т„) - локализующая последовательность для HZ Є ^іос(Р) и г = lim т„.

Покажем, что HZ € ^ioc(P) ==> Н Є ^іос(Р) (даже только в предпс-

~ 1ос ложении Р <S Р).

Пусть (г„) - локализующая последовательность для HZ. Тогда если

— 1ос

т = 1ітт„, то Р(т = оо) = 1 и (в силу Р -С Р и свойства d) теоремы в §3а) Р(т < оо) = EZtI(t < со) = 0.

Тем самым, Р(т = оо) = 1. Заметим, что

 

(fT»Z)fc = fЈ»Zfc - (Як2к)т« + НТп (Zk - ZTnI(k > rn)).

Отсюда видно, что НТп Z является Р-мартингалом, и, по утверждению а), Яг» є JC{P). Но P(limr„ = оо) = 1. Значит, Н є Жос{Р).

Обратно, покажем, что в предположении Р ~° Р имеет место импликация Я Є ^іос(Р) =► HZ Є^іос(Р).

Пусть (сгп) - локализующая последовательность для Н Є ^іос(Р)-Следовательно, P(limcrn = оо) = 1 и Н"п Є Jt{P). Тогда по свойству а) H"nZ 6 Л^(Р), и поскольку (ср. с вышеприведенной формулой для

 

(HZ)*" = H?Zk - Нап (Zk - ZaJ(k > rn)),

то (HZ)^.n Є Ж(Р). Но, в силу Р '-С Р, вероятность P(lim<7„ = оо) = 1. Следовательно, HZ Є Жос(Р). Лемма доказана.

3. Свойства (1), (2) и (3) играют фундаментальную роль в вопросах проверки мартингальности последовательностей (Нп), (Нп), (Sn),... относительно той или иной меры Р, поскольку дают возможность свести эту проверку к установлению свойств мартингальности последовательностей (HnZn), (HnZn), (SnZn),... относительно исходной, базисной меры Р.

Этим, в сущности, мы уже пользовались при доказательстве дискретного аналога теоремы Гирсанова в условно-гауссовском случае, когда Нп = hi + ■ • • + hn и hn = цп + cr„e„, п ^ N, а конструкция мер Pjv осуществлялась с помощью плотности

*-Ч-£^-ї|©'}- (4)

 

ЯВНО построенной ПО (/ifc) И (сТк). _

Однако в общем случае проблема построения соответствующих мер Pjv становится значительно более сложной. Простота же вида плотности Z^ в условно-гауссовском случае обусловлена, в сущности, простотой задания величин Нп, для которых АНп = hn = /і„ + crne„.

Существуют разные формы обобщенной теоремы Гирсанова для случая дискретного времени.

Для лучшего понимания приводимых далее результатов как обобщений теоремы Гирсанова целесообразно несколько переформулировать приведенный выше результат (теорема в § ЗЬ) для условно-гауссовского случая.

Положим

«„ = /=-/(^п-і > 0). (5)

(6)

 

Тогда

а„=ехр<             Јn~7<[ — ) h

п

и если М„ =      °~к£кі то М = (М„) € ^іос(Р) и нетрудно показать, что fc=i

Е(а„ДМ„|^„_1) = -!лп. (7)

Тем самым, не затрагивая сейчас вопросов интегрируемости, мы можем результат теоремы в § ЗЬ для условно-гауссовского случая представить в следующем виде:

М Є ЛГіос(Р) ^ Е( (ТпЄп | &п—1 ) = 0,   п < N,

<=> Е(/іп + апєп | &п-) = a*n,  п < N, ^=>Е(Л„|^п_1) = /и„, n^N, =>Е(Л„|^„_і) = 0, n^JV, ^Е(ДМ„ +/i„|#„_i) = 0, n^JV, <=> Е(ДМ„ - Е(а„ДМ„ I ^„_i) I ^„_i) =0,  n < N. Иначе говоря, из того, что М Є ^іос(Р), вытекает, что относительно меры P(dw) = Zn(cj) P(dw), последовательность М = (Мп)п^м,

п

Mn=M„-^E(afcAMfc|^fc-i), (8) fc=i

является локальным мартингалом:

М Є ЛГ)ос(Р) =► М Є -*іос(Р). (9) В только что изложенном материале важно выделить следующее обстоятельство, связанное с тем, что здесь при рассмотрении последовательности Н = (Нп) с АНп = /і„ + АМп основной акцент сделан на "мартингаль-ную" составляющую у Н. По-существу, мы "отслеживали" как при абсолютно непрерывной замене меры изменяется мартингальная часть. Как видим, относительно меры Р последовательность (Мп) уже не будет мартингалом - она представима в виде

п

Mn = Y^ E(afcAMfc | ^fc_a) + Мп, где М = (Мп) является Р-мартингалом, а А = (Ап) - некоторый "пред-

п

сказуемый" снос с Ап — £2 Е(<*кАМк 3"к-)- Именно появление этого

к=1

дополнительного "сносового" члена при абсолютно непрерывной замене меры и дает возможность "убивания" сносовых составляющих в исходных последовательностях Н = (Нп) посредством перехода к мерам Р таким,

—           — 1ос

что р «: р или р «: Р.

Изложенный взгляд на формулировку данного выше (для условно-гауссовского случая) дискретного варианта теоремы Гирсанова дает возможность сформулировать следующий общий результат для локальных

п

мартингалов, не конкретизируя, что М„ — £ o"fcЈfc-

fc=i

Теорема 1. Пусть последовательность М Є ^ioc(P), Mo = 0.

— loc dp Предположим, что P <К P с плотностями Zn =     " , п ^ 1 и пусть

Z

ап — „ " I(Zn-i > 0) с Zq = 1. Пусть также

А»—1

 

Е(АМпап | ^„_i) < оо   (Р-п.н.),      п > 1. (10)

 

Тогда определенный в (8) процесс М = (М„) Є ^іос(Р)) яї. е. является локальным Р-мартингалом.

Доказательство. Воспользуемся опять-таки (как и при доказательстве в условно-гауссовском случае, § ЗЬ) "формулой Байеса" (4) из § За:

Ё(Мп|^п_1) = Е(Мпа„|^п_1)

= Е(а„(М„ - М„_і) | ^„_i) + Е(а„М„_і | ^„_i) = Е(апДМ„|^п_1) +Mn_j. (11)

Отсюда, в силу предположения (10), (Р- и Р-п.н.)

Е(|М„| | ^„_0 < Е(|а„ДМ„| | JW-i) + |Afn_!| < оо.

Из (11) и (8) непосредственно находим, что E(|Mn| | ^n-i) < оо и

Ё(М„|^п_а) =МП_!, (12)

 

т.е. М - обобщенный, а, значит (§ 1с, гл. II), и локальный Р-мартингал.

Пусть теперь исходная последовательность if = (Hn)n^i задается следующим образом:

ЯП = А„+МП, (13)

где А = {An)n^i - предсказуемая последовательность (Ап - ^n_j-измеримы, n > 1;     = {0,П}, А0 = 0) иМ = (М„)„^і Є Jtioc(P).

Поскольку для локального мартингала Е(|ДМ„| | ^п-і) < оо, то Е(|ДЯ„|| ^„_і) < ААп + Е(|ДМ„|| Jw-i) < со, и, значит, для Я„, n > 1, справедливы представления

п п

 

k=l k=l

которые мы называли обобщенным разложением Дуба (см. § lb в гл. II) последовательности Я = (Нп)п-^.

Как и в обычном разложении Дуба, представление вида (13) с предсказуемым (Ап) является единственными, следовательно, в (13)

 

Ап = £ Е(ДЯ* | Jfc.j), (15)

k=l п

Mn = Yl [АН" - Е<ля* і ^-o]- (16)

fc=l

Предшествующая теорема 1 допускает следующее легкое обобщение.

Теорема 2. Пусть Я = (Яп)п^і имеет обобщенное разложение Дуба (14) и выполнено условие (10).

~             ~ loc

Тогда по мере Р такой, что Р < Р, последовательность Я = (Я„)п^і допускает представление

Нп = Ап + Мп, (17)

или, равносильно,

п п

Hn = J2 Ё(ДЯЬ | Jfc.x) + £        - Ё(ДЯк | ^fc_i)] (18) k=l fc=l

(обобщенное разложение Дуба), где

п

Ап = Ап + Y^E(atAMfc|^-i), (19) fc=i

а последовательность М = (Мп),

п k=l

является локальным Р-мартингалом (М Є Жос(У))-

 

582

Гл. V. Теория арбитража. Дискретное время

 

Доказательство следует из теоремы 1, примененной к М = (Мп)п^а с М„ = #„ - Ап.

6. В условиях теоремы 2 предположим, что М и Z являются (локально) квадратично интегрируемыми мартингалами. В этом предположении определена их предсказуемая квадратическая ковариация

 

п

(М, Z)n = Y, E(AMkAZk I (21) fc=i

которая в § 5b, гл. Ill, называлась взаимной "угловой скобкой" М и Z. Напомним также, что квадратической ковариацией (взаимной квадратной скобкой) между последовательностями X = (Х„)п^0 и У = (У„)„^о называлась последовательность [X, Y] = ([X, У]п)п^о величин

п

[X,Y}n = Y,AX>*AYb- (22) k=l

Из (21) и (22) следует, что в случае (локально) квадратично интегрируемых мартингалов разность [М, Z] — (М, Z) является локальным мартингалом. (См. [250; гл. I, §4е].) Будем предполагать также, что Р '~ Р. Тогда Zn > 0 (Р- и Р-п.н.) и

- E^"f"'^-1 _ Е[(о. - 1)ДМ„ |

Z„_i

= Е[апДМп|^„_а]. (23)

Заметим, что если квадратическая характеристика (М) (= (М, М)) такова, что (М)п(ш) - 0, то и (М, Z)n(ui) = 0. Поэтому левую часть в (23) можно представить в виде

 

= -а„Д<М,„, (24)

 

где

A(M,Z)n

ап = —

A(M)„Zn_1 '

Таким образом, (19) можно записать в виде

п

Ап=Ап-^акА(М)к. (25) fc=i

Отсюда можно сделать интересный вывод о структуре (по мере Р) исход-ной последовательности Н: если относительно мери г ~ г эта последовательность становится локальним мартингалом (А — 0), то, необходимым образом,

п

Hn = J2 akMM)k +Мп,    п > 1, (26) fc=i

или, в терминах приращений,

АНп = о„А(М)„ + АМ„,    п > 1. (27)

7. До сих пор все наши рассуждения исходили из наличия меры Р без конкретизации ее структуры или структуры последовательности а = («„), определяющей производные Радона-Никодима:

 

5Г=П«ь (28) dKn fc=i

Из (23) и (24) видим, что

опД(М>п=Е[(1-а„)ДМ„|^п_і], (29)

откуда можно усмотреть, что у этого соотношения, рассматриваемого как уравнение относительно (^„-измеримых) а„, есть следующее (вообще говоря, неединственное) решение:

ап = 1-апАМп. (30)

Разумеется, что для наших пелей нас устраивают лишь только такие решения а„, для которых Р(а„ > 0) = 1, п > 1. Если это так, то тогда

Подпись: dP dPсчитая  д^д^ ^" равным) скажем, единице, если А(М)п = 0.

±=f[(l-akAMk)=g(-J2ak&Mk , (31) где £ = (S(R)n) - стохастическая экспонента (см. § 1, гл. II):

в(В)п = ел" П (1 + ARk)e~ARk - Ц (1 + ДЯ*). (32)

 

ПустьР-вероятностнаямера,длякоторойеесуженияРп = Р| J„ строятся по формулам (31). Относительно этой меры исходная последовательность Н = (Нп), подчиняющаясясоотношениям (27), становится локальным мартингалом,поскольку ААп — а„Д(М)„ + Е(а„ДМп | Jn-i) = О, n > 1, и Ао — 0.

Как отмечалось выше, эта вероятностная мера Р, называемая мартин-гальной (риск-нейтральной) мерой, вообще говоря, не единственна. Однако она имеет определенные преимущества: во-первых, явно строится по коэффициентам а = (а„); во-вторых, обладает некоторыми свойствами "минимальности" которые оправдывают для нее название минимальной мартингальной меры, [429]. (См. также п. 6, §3d, гл. VI.)

 

§3е.  Целочисленные случайные меры и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы

1. Пусть Н = (Нп)п^0 - стохастическая последовательность случайных величин Нп = Нп(и>), заданных на фильтрованном вероятностном пространстве (CI, 5Р, (J„)„^o, Р)- Будем предполагать, что Но — 0 и £Ь = {0,П}.

Распределение вероятностей последовательности Н, обозначаемое Law(J?), можно описывать двумя способами: или безусловными распределениями величин Н,Н2,--, Нп:

Law(#i,#2,...,tfn),    п>1, (1)

(равносильно, Law(A#i, АЯ2,..., АЯ„), п ^ 1), или же (регулярными) условными распределениями величин АНп:

Р(ДЯ„Є-| J„_x),    п>1. (2)

Второй способ в определенном смысле более предпочтителен, поскольку, имея условные распределения, можно, конечно, восстановить и безусловные. К тому же условные распределения более наглядно показывают зависимость величин АНп от "прошлого"

Далее, знание условных (относительно Jn— і) распределений дает представление о распределении АНп при знании всей прошлой информации. Безусловные же распределения (1) дают возможность восстановить лишь только условные вероятности Р(ДЯП Є '&п-)і где 3^_х ~ а(иі: Ні,..., Я„_х) и 3&_г С Jn_i (включение может быть и строгим).

2. Пусть

Х = (Хп,$п)п>о (3)

- некоторая et-мерная стохастическая последовательность, заданная на фильтрованном вероятностном пространстве (CI, 5F, (&п)п^о, Р)- Будем считать Хо = 0, Jb = {0,

С последовательностью X свяжем последовательность р. = (цп( ■ ))n>i целочисленных случайных мер, определяемых следующим образом:

fin(A;w) = IA{AXn(w)),    А Є @(Rd),

цп(А;и>) = | q

то есть,

1, если АХп(и>) є А, если АХп(ш) £ А.

Пусть, далее, и = (ип( • ))n^i ~~ последовательность, состоящая из регулярных условных распределений ип( ■) величин АХп относительно Jn-ii т. е. функций vn (А; и>), определенных для А 6 38 (Rd) и ш Є Сі, таких, что

ип( ■; и>) длякаждогош Є Песть вероятностная мера на (Rd, S8(Rd));

і>п(А;и>) для каждого А Є S8(M.d) как функция от ui есть один из вариантов условной вероятности Р(ДХ„ Є А | J„_i )(ш):

vn(A;u>) = Р(АХп Є А | (Р-п.н.).

(Доказательство существования такой версии условных вероятностей см., например, в [439; гл. II, § 7].)

Для регулярных условных вероятностей условные математические ожидания Е[/(ДХП) | J„_i](w) при неотрицательных или ограниченных функциях / могут подсчитываться интегрированием при каждом ш по регулярным условным распределениям vn( •):

Е[/(ДХ„)|^„_і]И= / f(x)un(dx;w) (Р-п.н.).

Тем самым, в рассматриваемом нами случае

 

и, следовательно, для каждого Л Є 5§(Rd) последовательность

 

(цп{А)-ип{А))п^л

с цп{А) — цп(А;ш), ип{А) = i/n(A;w) является мартингал-разностью относительно меры Р и потока (&п)-Если положить

71 П

И(о,п](Аи) = ^2vk(A;u>),     v(0>n](A;u;) = Ј%fc(A;w), fc=i k=i

то.становится понятным, что при каждом А Є e8(Rd) последовательность

 

{Що,п](А;и) -"(о,п](А;и))п>1

будет мартингалом. Это свойство объясняет, почему (случайную) меру и(о,п] (') называют компенсатором (случайной) меры Ц(о,п]{" )■> а последовательность

(0(О,»](О -"((>,»](■

- случайной мартингальной мерой. Полезно заметить, что представление

 

х = и + (ц — и)

для меры/і = (м(о,п])п^і с предсказуемой мерой v = (^(o,n])n^i может рассматриваться как ее разложение Дуба (§ lb, гл. II) на предсказуемую и мартингальную составляющие.

Замечание. С последовательностью X — (Xn, <^п)п^о можно связать также целочисленные случайные меры скачков цх = (/u^j nj( • ))n^i n

cV(0n](A;u)) = £>*(Л;ш),где fc=i

^(А;Ш)=/(ДІк(Ш)ЄЛ, AXfcH ^0). Понятно, что если Л Є ^(Ed {0}),то іл„(А;и>) = цх(А;ш).

Вся разница в значениях этих мер связана лишь с событиями "отсутствия скачка", т.е. событиями {си: АХп(ш) — 0}, и в том случае, когда Р{ш: АХп(ш) = 0} = 0, между мерами ц и цх, по-сушеству, нет разницы.

Заметим, что в случае непрерывного времени при описании свойств скачкообразных компонент случайных процессов с привлечением целочисленных случайных мер основную роль играют именно случайные меры скачков цх, а не меры ц. (См. далее §3а в гл. VII и, подробнее, [250; гл. II, 1.16].)

3. В этом пункте будут рассмотрены стохастические интегралы

 

w * /і,     и> * v,     и>* (// — v)

по введенным случайным мерам x,vt&i — v.

Пусть w = (и>к (ш, х))fc^i - последовательность & <g> 58(Rd)-H3MepHMbrx функций. Через w * ц обозначаем последовательность сумм интегралов Стилтьеса (при каждом ш):

п -

(и> *д)„М = У) /   wk{w,x) nk{dx;<jj).

 

В силу специфики рассматриваемых целочисленных случайных мер fj,k, принимающих лишь два значения, 0 и 1,

 

Wk{u,x) nk(dx;uj) — ь)к{ш;АХк(ш)).

 

Поэтому, на самом деле,

п

(w*fi)„(u)) = ^2wk(w;AXk(u)). k=l

Аналогичным образом посредством интегралов Стилтьеса определяются стохастические интегралы w * v и w * (fx — v) по мерам v и ц — v. При этом для существования соответствующих интегралов надо наложить на функции wk (ш, х) требования интегрируемости:

 

/   wk(uj,x)vk{dxj) < оо

 

для всех (или почти всех) шЄЙиі^І.

Нетрудно видеть, что тот да

 

W * (р — и) = w * р — w* и.

 

(Предостережем читателя от автоматического переноса этого свойства на случай общих целочисленных случайных мер, например, мер скачков случайных процессов с непрерывным временем; может случиться, что интеграл w*(p — v) определен, в то время как и> * р и w * и равны +оо и, следовательно, их разность не имеет смысла; см., подробнее, [250; гл. III].)

ЕСЛИ ДОПОЛНИТеЛЬНО ПреДПОЛОЖИТЬ, ЧТО фуНКЦИИ U)fe(cJ,x) являются

&-к -1 -измеримыми при каждом х є №d, то (w * v)n будут предсказуемыми, т.е. 3-п _ і -измеримыми.

Если к тому же при каждом к ^ 1

 

Е      юк(ш,х)ик((1х;ш) < со, (4)

 

то последовательность w * (р — v) = (w * (р — v)n)n^i будет, как нетрудно видеть, образовывать мартингал. Заменяя условия (4) на условия

 

Е/   wkATn(u,x)vkATn(dx;w) < со,     А; > 1,  n > 1, (4')

 

где (тп) - некоторая локализующая последовательность марковских моментов (г„ < тп+1, т„ t °°), получаем, что последовательность w * (р — и) является локальным мартингалом.

4. Обратимся к разложению Дуба последовательности if = {Hn)n^i, предполагая, что hn = АН„ таковы, что Е|ЛП| < со, п > 1. Тогда (см. § lb в гл. II)

Я„ = Ап + Мп, (5)

где

Ап= J2E(hk&k-i) (6)

fc^n

 

M, = 53[Afc-E(Afc|Jfc_1)]. (7)

fc<n

С помощью введенных мер скачков р — (/i„)n^i и их компенсаторов v = {vn)n> величины Ап и Мп можно записать в таком виде:

Е

/ хик(0х;ш), (8) i Jm.

Мп =       / x(pk(dx;w)-vk(dx;w)). (9) k%J*

Правые части в (8) и (9) для краткости обозначают (см. [250; гл. II]), соответственно,

(х * и)п (10)

и

(X * (р - 1У))п. (П)

Таким образом,

Нп = (х*и)п + (х*(р-и))п, (12)

или, в бескоординатной записи,

Н = х * и + х * (р — и). (13)

Конечно, в рассматриваемом случае Н = х * р. Так что (13) есть не что иное, как равенство

x*p = x*v + x*(p — v),

столь же очевидное, как и разложение Дуба в предположении, что Ehn < оо, n > 1.

Вместо условия "Е|/г„| < со, п > 1" предположим теперь, что (Р-п.н.)

Е(|Л„||^„-г) <оо,    п>1. (14)

При этом условии, очевидно, определены (формулами (6) и (7)) последовательности А — (Ап) и М = (М„), причем М является локальным мартингалом, поскольку Е(|АМ„| | ^„_i) < оо и Е(ДМ„ | &n-i) = 0.

Тем самым, можно утверждать, что пр и выполнении условия (14) имеет место обобщенное разложение Дуба последовательности Н = {Нп):

Н = А+М (15)

с А = (Ап) и М = (М„), определенными в (6) и (7).

При этом А - предсказуемая последовательность и М - локальный мартингал. С использованием мер р и и представление (15) может быть записано в виде (13).

Замечание. Напомним (см. § lb в гл. II), что в формулах (6) и (7) Е(ЛП | &"п-) являются обобщенными условными математическими ожиданиями, определяемыми как E(h+ | ЗРп-) ~ Е(Л„" 13"п-) на множестве {ш: Е(|/г„| | S'n-x) < со} и произвольно (скажем, равными нулю) на множестве {ш: Е(|Л„| | &п-) = °°}-

В общем же случае, когда условие (14) может нарушаться, с пелью получения аналога представления (15) или (13) поступают (как уже объяснялось в § lb, гл. II) следующим образом.

Пусть (р ■ <р(х) - ограниченная функция "урезания" т.е. функция, равная а; в окрестности нуля и имеющая компак тный носитель. Типичным примером может служить "стандартная функция урезания"

 

ф)=х1(х^1). (16)

 

Тогда

п             п п

# „ =   hk = И л) +  (hk - ^(hk))

к=1         fc=l fc=l

n

= ЈEHbfc)|^-a]

k=l

n n

+ £ МЛ*) - Е(фк) I          +     (hk - фь))

fc=i fc=i

=       / <p{x)vk{dx) + ^2    (p(x)(/j,k(dx) - vk(dx))

k=         fc=l •*

+ J2 f(x-<p(x))pk(dx). (17) fc=i J

Пользуясь теми же обозначениями, что ив(12)и(13), мы получаем следующее представление:

 

Нп = (ф) * и)п + (ф) * (р, - v))n + ((х - ф)) * /і)п, (18)

(19)

 

или, в бескоординатной форме,

 

Я = (р * v + <р * (р. — v) + (х — <р) * р..

Определение. Представления (18) и (19) называют каноническими представлениями последовательности Я = (Я„)п^о, Яо = 0, с функцией урезания (р = ір(х).

Полезно, имея в виду случай непрерывного времени, сравнить это определение с каноническим представлением семимартингалов, данным в § 2с, гл. II, в монографии [250] и далее в § За, гл. VI.

5. Пусть Я = (Яп)п^і имеет обобщенное разложение Дуба

Нп = Ап + Мп

и выполнено условие (10) из §3d. Тогда, в силу теоремы 2 из этого § 3d,

~ 1ос

имеет место представление по мере Р С Р:

 

Я„ =

An + J2E(akAMk^k.1)

n

+ Mn-^E(afcAMfc|^fc-i)

fc=i

= An+Mn, (20)

 

гдеМе Дос(Р).

Запишем для Я канонические представления по мерам Р и Р, соответственно:

H = (p*i/ + (p*(p — и) + (х — <р) * р    (по мере Р) (21)

 

H = (p*v + ip*(p — v) + (х — (р) *р    (помереР), (22)

где р - мера скачков последовательности Я.

Во многих проблемах стохастического анализа, основанного на канонических представлениях (21) и (22), важно знать, как пересчитываются компенсаторы и по компенсаторам v и характеристикам процесса плотности Z = (Zn). В частности, интересен вопрос о том, как преобразуются при замене меры "сносовые" члены <р * v и fp*v.

~ 1ос

Остановимся на этом подробнее, предполагая Р <§С Р и обозначая v„(-;w) = P(fc„e-|^n-i)M

 

?п(-;у) = Р(Л„є.|^п-і)И

- регулярные варианты соответствующих условных вероятностей.

(23)

"ФормулаБайеса" (4)из§За,примененнаякУ - IA{hn),A Є ^(R{0}), т = п — 1, и имеющая здесь следующий вид:

 

Е(/а(Лп) I &n-i) = Е /а(Л„)^-—

(24)

 

делает весьма правдоподобной гипотезу о том, что для каждого ш Є £1 условные распределения vn( • ;и>) абсолютно непрерывны относительно vn( ■ ;и>), т.е. существует такая SS(R {0})-измеримая (прикаждом ш Є її) функция У„ = У„(х,ш),что

 

йп(Аш)= Yn(x,u})i/n(dx;u)). j а

(25)

dun{-;ui)

Если это действительно так, то тогда

 

(х) = Yn(x,ui),

Обозначим Mn(dx,dw) - pn(dx;u;)(P Jn_1)(cL;) - "косое произведение мер" на щш {0}) ® J„_i и пусть емп{ ■ ЩЖ {0}) ® J„_i) -условное (относительно 88(R {0}) ® Jn-i) "математическое ожидание" по мере М„ = Mn(dx, dui), определяемое, как обычно, (см., например, [439; гл. II, § 7]), с помощью теоремы Радона-Никодима.

Тогда из (26) по теореме Фубини

 

їв е(/а(/1п)£г I *п_1)И (Р 1

Jbxa zn-iM = /      EMnf^_ І ^(К{0})®^„_і)(х,а;)М„(гіх;гіш)

= 1віаЕМп(г~у |*(R{°})®^n-i)(*,w)Ai„(di;W) (P|#,_i)(du) = L[Iaem"{^^ |«(K{0})e*:n-i)(i,«)^(«fa;«) (P|^„_i)(dw). В силу произвольности J9 Є Jn-i > отсюда находим, что (Р-п.н.)

т. е. функция У„ (х, ui) играет роль плотности одной меры (точнее - регулярного условного распределения) по другой.

Приведем доказательство справедливости формулы (24) (в предположе-

~ 1ос

ний Р Р), дав одновременной "явный" вид для плотности Уп = Yn(x,uj), п > 1.

Рассмотрим условное математическое ожидание в правой части в (23). Согласно его определению, для любого В Є Jn-i

 

= / /д(Л„)/^т(Р|9п-0(м

= [[ /^m«k;")l(P|^»-i)(<*«0

J в U a Zn-l(u)

= 1      ?n{"»n{dx^){P$n_1){cLo). (26) Jbxa 4n-i(w)

 

где

Уп(х)Ш) = ЕМп(д^- |a(R{0})®^n-i)(x,w). (28)

Сопоставляя (23), где E(/a(/i„) | J„_i) = /А Р„(е?х; ш), с (27), (28) видим, что ?„( •; ш) <С ип(-;и>) для каждого ш Є (1и имеет место формула (25).

(29)

Из этой формулы получаем ответ на поставленный выше вопрос: "смо-совые" слагаемые у? *v и ip *v в (22) и (21) связаны (по крайней мере, в предположении, что {ip(x)iY — 1)| * и)п < оо, n > 1) соотношением

 

<р *v = ip * и + ip(Y — 1) * v.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010