В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1029511 человек которые просмотрели 19543267 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1348

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4а. мартингальный критерий полноты рынка. i. формулировка второй фундаментальной теоремы. доказательство необходимости

1. В соответствии с определениями, введенными в § lb, (В, 5)-рынок, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве (О, (S'n), Р), где 0 < п < N, &о = {0,0}, Jjv = называется полным (совершенным), или N-полным (N-совершенным), если всякое Jjv-измеримое ограниченное (конечное) платежное поручение /jv = /jv(w) достижимо. Иначе говоря, найдется самофинансируемый портфель ж и начальный капитал х такие, что Xq = х и

 

XN = fN (Р-п.н.).

 

Будем обозначать через &(Р) совокупность всех мартингальных мер

~ 5 Р ~ Р, относительно которых нормированные пены — являются мартин-

В

галами. Предполагается (см. § 1а, 2а), что В = (Вп)о4.п4. jv - безрисковый актив и 5 = (Sn)o<n4.N является многомерным рисковым активом, причем Sn = (S„,Sn)vi d<co.

Актив В обычно интерпретируют как банковский счет; активы S1 называют акциями.

В дальнейшем предполагается, что В„ > 0, п > 0. Отсюда следует, что без ограничения общности можно считать Вп = 1, п ^ 0.

Следующая теорема настолько важна, что ее естественно назвать "Второй фундаментальной теоремой теории расчетов финансовых активов" ("The second Fundamental Asset Pricing Theorem"; [214], [215]).

Теорема В. Полнота безарбитражного финансового (В,Б)-рынка (с N < оо, d < оо) имеет место тогда и только тогда, когда множество £?(Р) мартингальных мер состоит только из одной меры.

Таким образом, если отсутствие арбитража означает, что

9(Р) ф 0,

то полнота безарбитражного рынка может быть (условно) записана в виде

№)1 = і-

Сделаем некоторые замечания относительно доказательства этой теоремы.

В стохастическом исчислении хорошо известно (см., например, [250; гл. III]), что единственность мартингальной меры самым непосредственным образом связана с вопросами "представимости1'' локальных мартингалов относительно некоторых базисных мартингалов. В "техническом" отношении соответствующие результаты (особенно для случая непрерывного времени; см. далее §2d, гл. VII) относят к числу трудных, поскольку их доказательства существенно опираются на идеи и технику стохастического анализа семимартингалов и случайных мер.

В то же самое время в случае дискретного времени можно дать сравнительно элементарное изложение всего этого круга вопросов, связанных с проблемой "представимости" локальных мартингалов и имеющих к ней самое прямое отношение, - проблемой полноты (В, 5)-рьшка. Мы начнем изложение со случая d = 1 (§ § 4а-4е). Общему случаю d > 1 посвящен §4f.

2. Идея доказательства теоремы В в случае d = 1 состоит в том, чтобы установить справедливость нижеследующей цепочки импликаций, в которой понятия "условное двуточие" и "5-представимость" объясняются ниже в § § 4Ь, 4е, а равенство 3"п = означает, что ст-алгебра 3"п совпадает с точностью до множеств Р-меры нуль с (7-алгеброй

 

^=a(S1,...,Sn),

 

порожденной случайными величинами Si,... ,Sn-

{4}

 

"5-представимость"

 

{5}

 

 

 

"полнота"

 

Импликация {1}, т.е. необходимость в теореме В, доказывается сравнительно просто и проводится следующим образом.

Возьмем множество А Є 3"n и положим /jv = I а (<*>)• В соответствии с предполагаемой "полнотой" существуют само финансируемая стратегия тх и начальный капитал х такие, что Xfi = /jv (Р-п.н.) с Х£ = х.

Если 7Г - самофинансируемая стратегия, то

п

 

*:=і

ПустьРі,і = 1,2,-две мартингальные меры из семейства ^(Р). Тогда [Xn)n^.n является мартингальным преобразованием и, поскольку XJj -/л, то, согласно лемме из § 1с, гл. II, последовательность Хж = (XЈ)„^jv является мартингалом по каждой из мартингальных мер Р,,г = 1,2.

Тогда для г = 1,2

 

х = Х% = EPi(XJ, |30) = EpJa = Рі(А),

 

и, следовательно, Pi (А) = Рг(А), А Є 3n-

Тем самым, меры Pi и Рг на самом деле совпадают, что и доказывает то, что множество ^(Р), являющееся непустым в силу безарбитражности (В, 5)-рынка, состоит не более чем из одного элемента (^(Р)! = 1).

Необходимость (импликация {1}) в теореме В установлена.

В следующем параграфе будут рассмотрены вопросы "представимости", участвующие в импликациях {4} и {5}.

§4Ь.  О представимости локальных мартингалов. I ("5-представимость")

С точки зрения "общей теории мартингалов и стохастического исчисления" (см. [102], [103], [250], [304]) предположение "полноты" равносильно, в сущности, так называемому свойству "S-npедставимости" локальных мартингалов. (По поводу общих вопросов "представимости" см. [250; гл. III]).

Определение. Пусть на фильтрованном вероятностном пространстве (0,3, (Зп), Р) заданы:

(i-мерный (базисный) мартингал S = (S„, Зп, Р)

и

(одномерный) локальный мартингал X = (Хп, Зп, Р)-

Говорят, что локальный мартингал X допускает на (Cl,3,(3n),P) "Б-представление" или представление относительно Р-мартингала S, если найдутся такие предсказуемые 7 = (7n)> 7n = (7п > • - ■ > 7«) >4X0 Р-п.н. для всякого п ^ 1

 

Xn = X0 + J2^ASk  (=X0 + J2(ll^iASi))'

it=i       ^ k=iS'=i

т. е. X есть "мартингальноепреобразование" полученноеиз Р-мартингала5 "интегрированием" предсказуемой последовательности 7; см. § 1с в гл. П.

Следующая лемма относится к импликации {5}, приведенной в цепочке импликаций на предыдущей странице.

Лемма. Пусть (В, S) - безарбитражный рынок с конечным временным горизонтом N, Вп = 1, n < N, &>(Р) - семейство мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р (на (О, 3) с 3 = 3n), относительно которых S = (Sn)n^o является Р-мартингалом.

Для того, чтобы этот рынок был полным, необходимо и достаточно, чтобы нашлась мера PjЈ &(Р) такая, что всякий ограниченный мартингал X =jXn,&n,P) (Xn(w) < С, п < N, w Є О) допускает на (О,3, (&п), Р) "S-представление," или представление относительно Р-мартингала 5.

 

Доказательство. а) Пусть ^безарбитражный) рьшок является полным. В качестве искомой меры Р возьмем произвольную меру из ^(Р). ПустьХ = (X„,^n,P)n<JV-некоторый мартингал с Хп(ш) < С,п < N, ш Є О.

(2)

Положим в определении полноты /jv = -Xjv. Предположение полноты означает, что существуютсамо финансируемый портфель ж и начальный капитал х такие, что (Р- и Р-п.н.)

 

XZ = x+J27k&Sk

fc=i

 

и xn = /аг = *jv- Но поскольку |/дг| < С, то X* = (X*)n^N является Р-мартингалом (лемма из § 1с, гл. II) и, следовательно, Р-мартингалы Хп и X с одним и тем же терминальным значением /jv , на самом деле, совпадают (Р- и Р-п.н.). Тем самым, мартингал X допускает "5-представление" Ь) Пусть теперь /jv = /jv(w) - некоторая 3n -измеримая ограниченная функция, |/jv| < С < оо (Р-п.н.). Надо показать, что найдутся самофинансируемый портфель ж и начальный капитал х такие, что соответствующий капитал Х^ = fN (Р-п.н.).

По предположению^существует мера Р Є S?{P), относительно которой всякий ограниченный Р-мартингал допускает "5-представление"

В качестве такого мартингала возьмем X = {Xn,&n,P)n^N с Хп = Ep(/jv|^„). Поскольку |/jv| < С, то X - это ограниченный мартингал (Леви) и для него справедливо представление (1) с некоторыми ,?к -1 -измеримыми величинами -у£, j = 1,... ,d, к ^. N.

Построим по этим величинам портфель ж* = (/?*,7*) с 7* = у и

 

3 = 1

Из (1) следует, что /?* являются 3"п--измеримыми. При этом

 

Е Sn-Ainj + д/% = Е sLi^ii + (ахп - а (Е7„5„))

 

= Е5п-1а^ + Е^а^-д(Е^5«) =о-

 

Тем самым, 7Г* - самофинансируемый портфель, причем

d

Хп' =/7„ + Еч»5І=*»

 

и, в частности, XJ^* = Xjv = /jv (Р-, Р-п.н.), т.е. (В,5)-рынок является полным.

Лемма доказана.

Замечание. Если не предполагать, что Вп = 1, п < N, то все утверждения останутся справедливыми с заменой Р-мартингала 5 = (5n)n^jv на

5             5 /5„

Р-мартингал — -  1 —— 1

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010