В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1121779 человек которые просмотрели 20476746 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1421

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4d.  "5-представимость" в биномиальной crr-модела

1. Как следует из §3f (п. 5, пример 2), в СДД-модели мартингальная мера существует (а, значит, рынок является безарбитражным) и к тому же (в предположении координатно заданного вероятностного пространства) является единственной мартингальной мерой, что равносильно, как утверждает теорема В, полноте соответствующего рынка.

Интересно поэтому понять, почему единственность мартингальной меры в этой конкретной модели обеспечивает "5-представимость" а значит, и полноту рынка в соответствии с леммой из § 4Ь.

Напомним сначала некоторые обозначения.

Согласно § 1е из гл. II, определенные на фильтрованном вероятностном пространстве (£2,9, (&п), Р)п^си модели (В, З^-рынков описываются двумя последовательностями В = (Вп)п^о и5 = (Sn)n-^o такими, что

Bn=B„_i(l+rn), (1) 5„ = 5n_1(l + pn), (2)

(3)

 

где гп - З'п-х-измеримыи рп - .^„-измеримы, константы Во > 0, So > 0. Поскольку

Sn       Sn-1    1 + Рп

(в»)„;

Вп      Вп-1    1+ ГП '

< оо,

1 +Гп

где Е - усреднение по мере Р, и, во-вторых,

 

В силу Э"п _ х -измеримости величин г„ условие (4) сводится к тому, что

 

E(pn|^n-i)-r„. (5)

2. В биномиальной СДД-модели предполагается, что гп = г, где г -некоторая константа, и (pn)n^i ~ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения: Ь и а с положительными вероятностями

 

р=Р(рп=Ь),     q = P(Pn=a), (6)

 

р + q — 1. (Условимся считать а < Ь.) Будем предполагать также, что &п = а{р,- ■ -,Рп), п > 1, &о = {0, П}.

S   (S

Если требовать "мартингальность" последовательности — = ( —р- I

относительно меры Р такой, что Р '~ Р, то на значения рп = Р(рп = 6) и qn = Р(рп = а) из равенства Ерп = г получаем условие

 

bpn + aqn = г,

 

приводящее вместе с условием нормировки рп + qn = 1 к значениям

 

~     ~    г — а      _     _    Ь — г

рп=Р = т—- ,     Чп = Ч = г—- , (7)

о — а   о — а

для положительности которых надо, чтобы а < г < Ь.

Мы будем предполагать также а > — 1. Тогда Sn > О для всех п ^ 1, поскольку So > 0.

Пусть X = (Xn,&n,P)n-ЈQ - мартингал, где &0 = {0,Щ тл &п = о'(р1,...,рп),еслип ^ 1.

Для п ^ 1 положим рп(A;w) = І(рп(ш) Є A),vn(A) = Epn(A;w). Поскольку рп принимают лишь два значения, то меры рп{ •; ш) и ип (-) сосредоточены в двух точках а и 6. При этом

 

А*т»({а};и>) = l(pn(w) =а),     ?n(W) = <7

 

и

pn({b};w)=l(pn(w) = Ь),    йп({Ь}) =р. Пусть функциидп — 9п{х, - ■ ■ ,хп) таковы, что

 

Xn{w) = gn(p1(w),...,pn(w)),

и, значит,

 

AXn(w) = дп(рі{ш),...,рп(ш)) - дп-г (ріН,.. • ,p„_i(w)).

 

Поскольку E(AXn | ^„_i) = 0, то

 

Р • 9п (pi(w),..., pn-i (и>), Ь) + q ■ дп (рг (w), ...,pn-i (w), а)

=        (pi(w),...,Pn-i(w))

или, равносильно,

9n (piM, • ■ •,Pn-ib) ~ ffn-i (piM, ■ • •,pn-i(u)))

q

= 9n~x(pi(щ)' • • •'^"-i(^)) - gn(pi(^), • • •,Pn-iM,q) ^

p

С учетом (7), этому соотношению можно придать следующий вид:

 

3n(piM,■ ■ ■,Рп-іМ.ь) -gn-i(piM,---,Pn-iM)

& — г

_ 9п (piM> ■ ■ ■, Pn-i(ш), а) ~ 9n-i (piМ, ■ • ■, pn-iM) ^

а — г

Обратимся теперь к "^-представлению" Согласно формуле (1) из § 4с, АХп(ш) = Wn(u,pn(u)) = j Wn(u>,x)pn(dx;u), (10)

где

Wn(u>,x) = gn(pi(w),... ,р„_і(ш),а:) - gn-i (piM>.. .,pn-i(w)). Если положить

W^,x)=Wn{w'x) , (11) a; — г

то из (10) найдем, что

 

AXn(w) = У (і -г)ИГп(ы,*)р„(Л:;ш). (12)

Заметим, что, в силу (9), функция W'n(u>,x) не зависит от х. Поэтому, обозначая правую (равносильно, левую) часть в равенстве (9) через Уп (и>), находим, что

AXn(w) = 7;Н f{x-г)      = і'піш)іРп - г). (13)

Тем самым, для X = (Х„, 9п, Р) получаем представление

п

к=1

Хп(ш) = Х0(и>) + X)yfcH0»fc(«) - г). (14)

 

Поскольку

Sn-1 Рп-г

Вп-! '   1+Г '

 

Рп-г=(1 + г)|^-д(!£) (15)

и, следовательно,

хпМ=ХоМ + £т*Мд(^^), (16)

где       -измеримые функции

-№И=^И(1 + г)|ї=1. (17)

 

Относительно меры Р последовательность ( —- J      является мартин-

Вк/к^0

галом. Поэтому (16) есть не что иное, как '^-представление" Р-мартинга-ла X относительно (базисного) Р-мартингала ( —— )

Применяя лемму из §4Ь, находим, что (В, 5)-рьшок, описываемый CR Д-мо де лью, является полным при любом конечном горизонте N.

3. Замечание. Полезно отметить, что в проведенном в §3f (п. 5, пример 2) доказательстве того, что в СДД-модели мартингальная мера является единственной, существенно было использовано то, что исходное вероятностное пространство является координатным: fi = {х}, х — ixi,x2, ■ ■.), где хі = а или 6; &п = о(х,... ,хп), п ^ 1, 9 = J9п-Из дальнейшего будет следовать (см. §4f), что в случае произвольного фильтрованного пространства (П,,^, (■?„), Р) и предположения единственности мартингальной меры автоматически следует то, что это пространство (fi,9, i&n), Р) должно быть таким, что (с точностью до множеств Р-меры нуль) 3"п = <r(Si,..., 5„), п ^ 1.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010