В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449369 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1342

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4е. мартингальный критерий полноты рынка. ii. доказательство достаточности в случае d = 1

1. В соответствии с диаграммой импликаций из § 4а для доказательства достаточности в теореме В (т.е. что "|^(Р)| = 1" =>■ "полнота") надо установить справедливость импликаций {2}, {3} и {4} в диаграмме из п. 2 §4а. (Напомним, что импликация {5} была установлена в лемме в §4Ь и предполагается, что d = 1.)

Начнем с доказательства импликации {4}, предполагая Вп = 1, п ^ 1 (и, значит, гп = 0, п ^ 1), что, как уже отмечалось, не ограничивает общности.

С этой целью заметим, что в предшествующем параграфе при доказательстве "^-представимости" для СДД-модели ключевым моментом явилось то, что распределения вероятностей Law(pn | Р), п ^ 1, были сосредоточены в двух точках (а и 6, а < Ь).

Иначе говоря, важным было то, что эти распределения являются "двуточечными" Оказывается, что соответствующие рассуждения остаются в силе и для более общих моделей, лишь бы только (регулярные) условные распределения Law(Д5П | Э-п- Р) или, равносильно, условные распреде-~ AS

ления Law(p„ | &п- Р), где рп — ———, являлись "двуточечными" и

Sn-i

ст-алгебры &п = ст(5і,... ,S„), n ^ 1.

(1)

Формально под свойством "условной двуточечности" мы понимаем то, что найдутся две предсказуемые последовательности а = (а„) и 6 = (6„) случайных величин ап = ап (ш) и Ь = bn (w), п ^ 1, такие, что

 

Р(рп = ап | ^n_i)(w) + Р(р„ = 6„ | Jh-iXw) - 1 иа„(и>) ^ 0, bn(w) ^ 0 для всех ш Є Q, п > 1. (В случае "слипания" значений an(w) и о„(ш), очевидно, an(w) = bn(w) = 0; этот вырожденный и неинтересный случай соответствует тому, что Д5п(ц>) = 0, и, без потери общности, может быть сразу исключен из рассмотрения.)

Пустьрп(ш) = Р(р„ = Ьп Зп-і)(ш), qn(w) = Р(рп = о„ |^n=1)(w).

Свойство мартингальностипоследовательности S = (Sn,3n, Р) приводит к условиям Е{рп | ^n_i) = 0, n > 1, из которых следует, что

 

К {w)pn (ш) + ап (w)qn (w) = 0,     n > 1. (2)

 

Из (1) и (2) получаем (ср. с (7) из §4d)

= ь (ТМ< і'   Ы») = ь . п{ы) . л ■ (3)

Ьп(ш)-ап(ш) Ьп(ш)-ап(ш)

 

(Еслиап(ш) = Ьп(ш) = 0, то условимся считатьрп(ш) = g„(w) = |.)

Пусть X = (Х„,^^,Р) - локальный мартингал и функции дп ' gn(xi,... ,хп) таковы, что Хп(ш) = дп(рг(ш),... ,рп(ш)). По аналогии с (8) из § 4с видим, что

9п (pl (ш),        Рп-1 М, ОпМ) ~ ffn-l (/П Н, • ■ ■ , Pn-l (ы))

<7пМ

_ ffn-1 (Pl И, • • ■ , Рп-1 (о))) - ffn (Pl М, • ■ ■ , Рп-1 М, On М)       , ,

 

Далее, следуя тем же самым выкладкам, что и в (9)-(17) (§4с), находим, что для X имеет место "^-представление"

п

Хп = Х0 + 53 lk (u,)ASk (ш) (5)

 

с ^f_j-измеримыми функциями 7fc(w), к > 1. Итак, импликация {4} доказана.

Обратимся теперь к доказательству импликации {2}, в соответствии с которой единственность мартингальной меры влечет за собой (в случае d — 1) "условное двуточие"

Если учесть, что с регулярными условными вероятностями Р(Д5„Є'|^„_і)(ш) можно оперировать (для каждого ш Є Q) как с обычными вероятностями, то требуемое утверждение об "условном двуточии" равносильно следующему:

I.             Пусть Q — Q(dx) - вероятностное распределение на (R, 8В(Ш)) такое,

что J^kl Q(dx) < со, J^xQ(dx) = 0 ("мартингальное свойство"). Пусть

^(Q) - семейство всех мер Q = Q(dx), эквивалентных мере Q = Q(dx) и обладающих свойством f^x Q(dx) < со, fx Q(dx) = 0.

Если семейство ^(Q) состоит только лишь из одной (исходной) меры Q, то, необходимым образом, эта мера должна быть "двуточечной": существуют а ^ 0 и 6 ^ 0 такие, что

 

Q(W) + Q({6}) = і

 

с возможным их "слипанием" в нулевую точку (а = b = 0).

Этому утверждению можно придать также следующую эквивалентную форму:

II.            Пусть Z(Q) - класс функций z = z(x), іЄК, таких, что

Q{x: 0 < z(x) < со} = 1, / xz(x) Q(dx) < со,     / xz(x) Q{dx) = 0.

 

Предположим, что для меры Q этот класс функций Z(Q) состоит лишь из функций Q-неотличимыхот единицы (Q{х: z(x) ф 1} = 0). Тогда, необходимым образом, мера Q сосредоточена не более чем в двух точках.

Наконец, это утверждение может быть переформулировано и так:

III.           Пусть £ = £ (х) - координатно заданная случайная величина с рас-

пределением Q = Q(dx) на (R,SB(R)).

Пусть Е|£| < со, Е£ = 0 и мера Q обладает тем свойством, что если Q ~ Q и Е|£| < со, Е£ = 0, то Q = Q.

Тогда носитель меры Q сосредоточен не более чем в двух точках (скажем, a 0 и 6 ^ 0)с возможным их "слипанием" в "нулевую" точку (а = Ь = 0).

Для доказательства этих (равносильных) утверждений заметим, что всякое распределение вероятностей Q = Q(dx) на (R, Зё(Щ) может быть представлено в виде "смеси"

 

ciQi + C2Q2 + C3Q3

трех распределений: Qj - чисто дискретного, СЬ - абсолютно непрерывного и Q3 - сингулярного, с неотрицательными константами с, сг и сз, в сумме дающими единицу.

Идея доказательства становится весьма прозрачной уже в "чисто дискретном" случае, когда мера Q предполагается сосредоточенной в трех точках, скажем, х-, xq к х+, упорядоченных так, что а;_ ^ xq ^ х+, с ненулевыми массами р _, ро и р+.

Условие Е£ = 0 означает, что

 

х-р- + х0ро + х+р+ = 0. (6)

Если xq = 0, то (6) принимает вид         + х+р+ = 0. Положим

 

что соответствует "перекачиванию" части масс р_ ир+ в точках х-кх+ в точку хо = 0.

Из (7) ясно, что мера Q = {р^,р0,р+}, "сидящая" в трех точках а;_, хо и х+, является вероятностной, Q ~ Q и Е£ = 0, причем Q ^ Q-, что противоречит единственности меры Q.

Тем самым, случай, когда хо = 0, а мера Q сосредоточена в трех точках, не может иметь места.

Пусть теперь хо ф 0. Идея "перекачивания" масс из точек ж_ и х+ в точку жо с пелью построения меры Q ~ Q может быть реализована, например, следующим образом.

Положим

 

Р-=Р--є_,      Р0 =Р0 + (є- + £+), р+=р+-є.

При достаточно малых £_ и є+ мера Q = {р_,р0,Р+} является вероят-ностной,_и надо показать, что возможен выбор положительных £_ и £+ так, что Е£ - 0, т. е. чтобы

 

х-Р_ + ХоРо + х+р+

= (х-р- + ХоРо + х+р+) - (£_а;_ + (є_ + є+)х0 - є+х+) = 0.

Поскольку Е£ = х-р- + хор0 + х+р+ = 0, то положительные £_ и £+ надо выбрать так, чтобы

є+ Хо — X — є_       Х+ — Xq

Если обозначить А =                  (>0), то понятно, что выбором сначала

х+ — Хо

достаточно малого £_ и затем по нему значения £+ = А£_ можно добиться того, чтор_ > 0, ро > 0 пр+ > 0.

Тем самым, мера Q = {р~-,ро,р+} является вероятностной, Q ~ Q, Q ф Q и Е£ = 0, что снова противоречит единственноости мартингальной меры Q, и, значит, распределение Q не может иметь все три значенияр_, ро ир+ положительными.

Проведенную конструкцию нетрудно перенести и на тот случай, когда чисто дискретная мартингальная мера Q сосредоточена в конечном или счетном множестве точек {xi,i = 0,±1,±2,...} с соответствующими вероятностями {рі,і = 0,±1,±2,...} и упорядоченных так, что

• • • < х-2 < х-1 < Хо < х < Х2 < ■ ■ ■ ■

Еслив множестве {хі, і = 0,±1,±2,... } есть нулевое значение, скажем, хо = 0, то надо положить

й = у, ІФ0,

и

ро =—_—.

Тогда ^2 pi = 1 иЁ£ = y,xiPi = y, хіРі = °-

lit

Мера Q — {рі,і = 0,±1,±2,...} является вероятностной, Q ~ Q, Q ф Q и Е£ = 0, что несовместимо с предположением единственности мартингальной меры.

Пусть теперь в множестве {хі,і = 0, ±1, ±2,... } все Хі ф 0. Построим новое распределение Q = {рі, і = 0, ±1, ±2,...}, полагая pi = Pi для г ~ ±2, ±3,..., и, как и выше, положим

Р-1 =р_1 - £-1,      р+1-р+1-є+і,      ро -Ро + (£-1 + £+1).

Тогда

Е£ = Е£ - є-іх-і + (£-і + £+і)яо - є+іх+і

= є+(х0 - х+1) + Ј_l(x0 _ х-і)у

и тот же самый выбор £_і и є+і, как и в рассмотренном выше случае трех точек (х _, xq , х+), приводит к конструкции новой мартингальной меры Q, отличной от Q, во ей эквивалентной, что противоречит предположению единственности мартингальной меры Q.

Аналогичным образом рассматриваются и те случаи, когда у распределения Q есть абсолютно непрерывные и / или сингулярные компоненты.

2. Обратимся теперь к доказательству импликации {3}, устанавливающей, что единственность мартингальной меры влечет за собой то, что ег-алгебры Зп должны быть порождены пенами S:

 

Будем вести доказательство по индукции. (Заметим, что ст-алгебры Зо и 3q совпадают, поскольку, по предположению, 30 = {0, Щ, и So является неслучайной величиной.)

Пусть (fi, 3, (Зп), P)n^N - фильтрованное вероятностное пространство, S = (Sn,3n,P)n^N - последовательность цен (акций), где Sn — (Sn> - ■ • і S„). Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что мартингальной мерой является сама мера Р.

Предполагая Зп_х = 3%_1, рассмотрим множество Ае Зп. Положим

 

z = l + {lA-E{IA3sn)). (8)

Ясно, что І ^ z < | и Ez = 1. Поэтому мера Р' с P'(du>) = z(u})P{du>) является вероятностной мерой и такой, что Р' ~ Р. Пусть Zj = E(z Зі). По "формуле Байеса" (см. (4) в § За)

О)

 

Е'(Д541 Зі-і) = Е (j^^Si | <^_i).

Заметим, что, в силу предположения Зп-і = 3^_lt из (8) следует, что E(z3n_i) = 1. При этом z является ^„-измеримой функцией. Поэтому —— = 1, если і Ф п, и, значит, E'(ASi | Зі-) = 0 при всех г ф п.

zi — l

Поскольку —— = z, E{z |         = 1 и ASn - 3$ -измеримы, то, в си-

лу(12),

Е'(Д5„ | Зп-г) = E(zASn Зп^) = E(zASn | 3*_г)

= E(E(zASn3^)3i_1)

= E(ASnE(z І Зі) І            = E{ASn | З3^) = 0,

где мы воспользовались также тем, что, согласно (8), E(z 3%) = 1.

Таким образом, последовательность пен (5n, 3n)n^N относительно меры Р' является мартингалом.

Предположение единственности мартингальной меры Р приводит, следовательно, к тому, что z = 1 (Р-п.н.) и, значит, в силу (11) для всякого А Є 3

IA = E{IA3sn) (Р-п.н.).

Отсюда следует, что с точностью до множеств Р-меры нуль Зп = 3%.

Индукцией по п находим, что эти соотношения верны при всех n ^ N, что доказывает импликацию (3).

3. Итак, единственность мартингальной меры Р обеспечивает справедливость импликаций {2} и {3}, влекущих US-представимость" из которой вытекает полнота рынка (в силу леммы из § 4а). Тем самым, достаточность в утверждении теоремы В (в случае d = 1) доказана.

Замечание 1. Полезно отметить, что приведенное доказательство теоремы В показывает, что дискретный во времени полный безарбитражный рынок (с N < оо, d = 1) является, на самом деле, дискретним и по фазовой переменной в том смысле, что <т-алгебра 3^ является чисто атомистической (относительно меры Р), состоящей не более чем из 2N атомов, что является непосредственным следствием "условного двуточия" (В случае произвольного d < оо число атомов в 3n не более чем (d+1)N.)

Замечание 2. То обстоятельство, что в случае N < оо, d < оо полный безарбитражный рынок обладает свойством, что ст-алгебра Зм состоит из не более чем (d + 1)N элементов, приводит к тому, что на этих рынках понятия полноты и совершенности совпадают.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010