В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1162434 человек которые просмотрели 20812001 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1442

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4f . расширенный вариант второй фундаментальной теоремы

1. Приведенное выше доказательство теоремы В относилось к случаю d=l. (Это предположение явно использовалось при установлении импликаций {2} и {4}.) В общем случае, когда d ^ 1, представляется целесообразным дать расширенную формулировку этой теоремы, включающую в себя помимо утверждения об эквивалентности "полноты" и "единственности мартингальной меры" также и ряд других равносильных характе-ризаций.

Предварительно введем некоторые обозначения. — S

Будем полагать Sn = —— (дисконтированные цены), Вп

Qn(-;w) = P(A5n 6-|^„_i)(w),  Q„(-;u;) =Р(Д5„ Є-|^„_і)И.

Напомним, что векторы аь..., ак, где а{ є Rd,2 ^ А; ^ d + 1, называются аффинно независимыми, если существует і Є {1,..., к} такое, что к - 1 векторов (а, - а*), j - 1,..., к, j ф і, являются линейно независимыми. Если это свойство выполнено для некоторого і Є {1,... ,к}, то оно будет верным и для любого г = 1,...,к. Заметим, что свойство аффинной независимости d-мерных векторов аІ5..., ак равносильно тому, что наименьшая аффинная гиперплоскость, содержащая а,..., ак, имеет размерность к — 1.

Теорема В* (расширенный вариант второй фундаментальной теоремы; [251]). Пусть (В,5)-рьш0К (В = (Bn)Q^N, Вп > 0 и 3-п_х-из-меримы, S = {Sn)0^N, Sn = (Sn,...,Sd), Sln^0u ^„-измеримы) является безарбитражным; N < оо, d < оо.

Тогда следующие условия равносильны.

Рынок является полным.

Рынок является совершеным.

Множество мартингальных мер &>(Р) содержит в точности одну меру.

Множество локально мартингальных мер ^ioc(P) содержит в точности одну меру.

В множестве ^ос(Р) существует мера Р' такая, что всякий мартингал М = (Mn,^n,P')0^n^N допускает "S-представление"

п

Mn = MQ + ^2yiASi, N, j=i

с        -измеримыми 7i.

С точностью до множеств Р-меры нуль &п = a(S,... ,Sn) и найдутся d+ 1-предсказуемые ^-значные процессы (а1іП,... ,ad+1>n), 1 ^ п ^ N, являющиеся аффинно-независимыми (для всех пищ), и такие, что (Р-п.н.) носители мер Qn( •; ш) содержатся в множестве {ai,nM,...,ad+lin(w)}.

С точностью до множеств Р-меры нуль &п = a(Si,...,Sn) и найдутся d + 1-предсказуемые Ш*-значные процессы (а1]П,... ,ad+1)„), 1 ^ п ^ N, являющиеся аффинно-независимыми (для всех п и ш), и такие, что (Р-п.н.) носители мер Q„( •; и>) содержатся в множестве (5i,„,. -. ,ad+1]„).

В рассматриваемых случаях а-алгебра &н является чисто атомической (относительно меры Р) с не более чем (d+ 1)N атомами.

Доказательство в случае d = 1 было изложено в предыдущих параграфах. В общем случае d J? 1 соответствующее доказательство содержится в работе [251]. Отсылая читателя за всеми техническими деталями, вызванными векторностью цен S = (S1 , Sd), d ^ 1, остановимся здесь лишь на схеме доказательства и отличиях в случаях d = 1 и d > 1.

Во-первых, заметим, что равносильность свойств (f) и (g) является простым следствием того, что а,)П и а,]П связаны соотношением

Далее, очевидным образом (Ь)==>-(а) и, в силу теоремы А* (§2е), (d)<=Kc).

Поэтому для доказательства теоремы надо установить справедливость следующих импликаций:

 

(а) (d),

(с) =» (g),

(g) =* (b), (а) + (g) (е),

(е) (а).

Импликация (a)=>-(d) доказывается точно так же, как и в случае d = 1

(см. п. 2 в §4а), с заменой мартингальных мер Рі, г = 1,2, на локально

мартингальные.           _ _

В импликации (c)=>(g) утверждение о том, что &п = a(S,... ,S„), доказано в п. 2, §4е, при установлении справедливости импликации {3}. в §4а, п. 2. (Соответствующее доказательство было, на самом деле, проведено для любого d > 1.)

Наиболее трудоемкой частью в доказательстве справедливости импликации (с) ==>(g) является установление структуры носителеймер<Эп( •; ш). В случае d—1 носители мер были "двуточечными" В обшем случае d > 1 носители этих мер состоят самое большее из d + 1 точки (в Kd). Эта часть доказательства подробно изложена в [251] и здесь опускается. (В идейном плане доказательство такое же, как и в случае d = 1, и проводится следующим образом. Пусть сама мера Р является мартингальной. Если носитель Qn (•; ш) состоит из более чем d + 1 точки, то можно, используя снова идею "перекачивания" масс, построить новую меру Р' по формуле

P'(du)) = z(w) Р(аіш), которая, при подходящем выборе ^-измеримой функции z(u>), оказывается мартингальной мерой, Р' ~ Р и Р' ф Р. Это, однако, противоречит предположению о единственности мартингальной меры. Аналогичной конструкцией устанавливается также и свойство аффинной независимости Е^значных векторов (ai>n,... ,od+1;„).)

Обратимся к импликации (g)=>(b). Пусть fN - .^-измеримая случайная величина и мартингальной является сама исходная мера Р. Из (g) следует, что, на самом деле, /jv является случайной величиной, принимающей конечное число значений.

Требуется доказать, что /jv может быть представлено в виде

N

/дг =х+ Ј7fcA5fc. (1)

к=1

                 п

Поскольку последовательность Хп = х + £ H^-Si, п ^ N, является

і=і

Р-мартингалом, то, необходимым образом, должны быть выполнены следующие соотношения: х = Е/дг и

 

jnASn=E(fN?n)-Ј(fлг|^„_і). (2)

 

Тем самым, для получения представления (1) мы полагаем х - E/jv и затем показываем (как и в случае d = 1), что из условия (g) вытекает возможность построения Зп-і-измеримых функций 7„ с требуемым свойством (2). (Подробнее см. [251].)

Импликация (а) + (g) (е). В силу (g) с-алгебра 3N является чисто атомической. Тем самым, все З-^ -измеримые случайные величины принимают лишь конечное число значений и, значит, являются ограниченными.

Пусть Р' є ^іос(Р) и М = (Mn,3n,P')n^N - мартингал. Согласно (а), существуют х Є R и предсказуемый пропесс 7 = (7П) такие, что

N _

MN =х + £ 7iASi. 1=1

Последовательность М' = (Mn,3n,P')n^N с М'п = х + £ 7іД5і

1 i=1 является Р -локальным мартингалом и, следовательно, мартингалом

в силу того, что все случайные величины здесь ограничены. Поскольку

MN = M'N, то мартингалы М и М' совпадают (Р'-п.н.), откуда следует

утверждение (е).

Наконец, для доказательства импликации (е)=Ф-(а) достаточно лишь заметить следующее (ср. с леммой в § 4а).

Пусть всякий мартингал М = (Мп,Зп,Р') с Р' Є 9с(Р) допускает

п _

"5-представление" Мп = Mq + £ li^Si.

Пусть /jv - ^jv-измеримая ограниченная функция. Рассмотрим мартингал Мп — E'(/jv|^n)> п ^ N, где Е' есть усреднение по мере Р'. По предположению,

jv

/jv = Mjv = Mo + Y, (Р'-п.н.).

Следовательно, /jv может быть представлено в виде

N i=l

с х — Mq и предсказуемой последовательностью 7 = (7і)і<ль чт° и означает полноту рынка.

Этим завершается рассмотрение всех сформулированных выше импликаций, требуемых в доказательстве теоремы В*.

2. Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие как теорему В*, так и теорему А*.

Пример 1 (d - 1). В СДД-модели (см. §4d) с Вп = 1, п < N, предполагается, что (pn)n^jv _ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения а и Ь, а < Ь.

Поскольку Д5П - Sn-iPn, то Д5„ = 5п_іоилиД5„ = Sn-. В соответствии с теоремой А* для отсутствия арбитражной возможности параметры о и Ь должны быть таковыми, что множество (а, Ь) содержит точку 0. Отсюда следует, что а < 0 < Ъ. Для положительности пен 5 надо потребовать, чтобы также а > — 1.

В рассматриваемом случае Д5П = Sn-iPn и, следовательно, Д5„ принимает два значения: Sn-ib ("движение пен вверх") и 5„_ia ("движение пен вниз"). Поэтому носители условных распределений Qn (•; ш) сосредоточены в двух точках: 5n_i(w)a и Sn-i(w)b, а само "дерево" пен (5о, Si, S2, ■ ■ • ) и движение по нему имеет (см. приводимый далее рис. 56) "однороднуюмарковскую" структуру: если (5о,Si,...,Sn-i) - реализация цен, то с вероятностью р = Р(рп = Ь) происходит переход в значение

Sn = Sn-iB, а с вероятностью q = Р(р„ = а) - в значение Sn = Sn-iA, где В=1 + ЬкА=1 + а.

В соответствии с теоремой В*, для полноты соответствующего безарбитражного рынка нужно, чтобы носитель меры Р(Д5і Є •) был сосредоточен в трех точках на плоскости, скажем,

1 2 Рис. 56. "Дерево цен" (So, S1,S2,...)b СЯД-модели Кокса-Росса-Рубинштейна

В предположении —1 < а < 0 < & существует единственная мартин-гальная мера и, следовательно, соответствующий (В, й^-рынок является безарбитражным и полным.

Из теоремы В* следует, что в случае d = 1 каждый полный безарбитражный рынок имеет весьма сходную "двоичную" структуру ветвления цен.

А именно, при заданной "истории" (So,Si,...,Sn-i) значение 5„ = 5„_і(1 + рп), где величины рп = pn(So,Si,Sn-i) принимают всего лишь два значения: о„ = о„(50, Si,..., Sn-i)Kbn = bn{S0, Si,Sn-i).

В рассмотренной выше модели Кокса-Росса-Рубинштейна величины ап и Ьп были константами (о„ = а, Ьп = Ь). В общем же случае эти значения зависят от предшествующей истории движения пен, но опять-таки для положительности цен, полноты и без арбитражное™ должны быть выполнены условия — 1 < ап < 0 < Ъп.

Пример 2 (d = 2, N = 1). Пусть Б0 = Бх = 1 и S - (S1, S2) - цены двух акций с So = Sq = 2. Будем рассматривать одношаговую модель (N = 1) и пусть (::)• (г)- (г)-

причем соответствующие три вектора в R2 должны быть аффинно-незави-симыми. Как уже отмечалось выше, это равносильно тому, что векторы

lai   °3 ] и J °2   °3 j являются линейно независимыми. V h ~ Ь3 ) 2-b3J

Например, пусть вероятность каждого из векторов

(!)• (І)- (-Ї)

равна і. Эти векторы аффинно независимы, и мартингальной мерой является мера, приписывающая этим векторам вероятности , и , соответ-

ственно.

 

ДА

[asi)

- вектор приращений цен с AS{ = S{ — Sq = S[ — 2, і — 1,2.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010