В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449333 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1342

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ lb. основная формула для цены хеджирования. i. полные рынки

1. Будем рассматривать полный безарбитражный (Д,5)-рынок при N < оо, d < оо (в схеме, принятой в § 2Ь, гл. V). Согласно утверждению (f) расширенного варианта второй фундаментальной теоремы (§2е, гл. V), такой дискретный во времени рынок является также дискретным и по фазовой переменной, и все рассматриваемые 3n-измеримые случайные величины являются конечнозначными, поскольку <т-алгебра Зм состоит из не более чем (d + 1)N атомов. Тем самым, в рассматриваемом случае не возникают никакие проблемы при интегрировании, и понятия полноты и совершенности равносильны.

Определение. Ценой совершенного хеджирования Европейского типа (^jv-измеримого платежного поручения /дг) называется величина (ср. с § lb, гл. V)

Поскольку, по предположению, рассматриваемый рынок является безарбитражным и полным, то

существует мартингальная мера Р, эквивалентная мере Р и такая, что последовательность I -~ ] является мартингалом ("пер-вая фундаментальная теорема")

и

эта мера является единственной, и всякое платежное поручение /лг воспроизводимо, т.е. найдется ("совершенный") хедж ж, такой, что XN = /jv ("вторая фундаментальная теорема").

Отсюда следует, что если ж является совершенным (х, /]у)-хеджем, т. е. XS = х иXN = fN (Р-п.Н.), то (см. (18) в §1а, гл. V)

 

и, значит,

 

то есть,

Заметим, что правая часть в (3) не зависит от структуры рассматриваемого (х, /jv)-xejraca ж. Иначе говоря, если ж' - другой хедж, то начальные пены хтлх' совпадают.

Следовательно, имеет место

fN_

BN

Теорема 1 ("основная формула для цены совершенного хеджирования Европейского типа на полных рынках"). На безарбитражных полных рынках цена C(//v; Р) совершенного хеджирования определяется формулой

 

C(/jv;P) =В0Е

С(/лг;Р) = inf{х:ЗжсХо =хілХм = fN (Р-п.н.)}.

(1)

2. Проблематика хеджирования требует не только определения значения цены С(/уу; Р), но также и описания портфеля совершенного хеджа.

Стандартный прием отыскания такого портфеля состоит здесь в следующем (ср. с § 4а, гл. V).

Образуем мартингал М = (M„,f„,P)n<wcM„ = Е(Зп.

BN }

Поскольку рассматриваемый рьшок является полным, то, в силу второй фундаментальной теоремы (или в силу леммы из § 4Ь, гл. V), для М имеет

м„ = м0 + |>д(!)

место "—-представление" В

 

(5)

 

с 3"к--измеримыми 7fc.

Положим 7Г* = (/3*, 7*) с 7* = 7 из (5) и /3* = Мп    тт-^- Нетрудно

Вп

проверить, что этот портфель является самофинансируемым (см., впрочем, доказательство леммы в §4Ь, гл. V). Далее, по построению,

 

уп

= Мп =Е

(fN_

вп ~"'п ~BN

 

Следовательно, при всех 0 ^ п ^ N

 

Я. (7)

и, в частности,

Xn = In (Р- и Р-п.н.).

5

Итак, построенный с помощью "—-представления'' портфель ж* является

В

совершенным хеджем (для /jv).

Резюмируем полученные результаты в виде следующего предложения.

Теорема 2 ("основные формулы для совершенного хеджа и его капитала"). На безарбитражных полных рынках существует самофинансируемый совершенный хедж ж* = (/3*,7*) с начальным капиталом

 

X5*=C(fN;P) (=B0E^j,

осуществляющий совершенное воспроизведение f^:

X%'=fN (Р-п.н.). Динамика капитала Хп   определяется формулами

 

0 < n < N,

 

компоненты 7* = (7*) - из " — -представления"

В

Ч&і'И&^Ч*}

а компоненты 0* = (/3*) - из условия

XI' = 0nBn + lnSn.

 

3. Рассмотрим вопрос о пене хеджирования в несколько более общей схеме, предполагая, что задана не одна платежная функция /jy, а целая последовательность платежных функций /о,/і, • •. ,/jv, где /і являются .^-измеримыми для 0 ^ г ^ N.

Пусть т = т(и>) - некоторый фиксированный марковский момент со значениями в {0,1,..., N} и /т - терминальная (конечная) платежная функция, построенная по г и /о, /і,..., /jy.

Теорема 3. Если безарбитражный (B,S)-punoK является N-пол-ным, то он будет и т-полным, т. е. найдутся самофинансируемый портфель ж и начальный капитал х такие, что Xq = х и X* = /г (Р-п.н.).

Доказательство этого утверждения просто: образуем новое платежное поручение /дг = /TAiv; совершенный хедж 7Г* для платежной функции /дг будет совершенным хеджем и для исходной платежной функции /т.

При этом соответствующая пена хеджирования

С(/Т;Р) = гтп{х:ЗтгсЛ'0г =хиХ* =/т (Р-п.н.)} определяется формулой

С(/Т;Р)=В0Ё^. (8)

 

4. В связи с "основной формулой" (4) возникает такой вопрос.

Пусть рассматривается полный безарбитражный (В, 5)-рынок и мера ~ 5 Р является мартингальной мерой для нормированных цен —. Полезно сей-

В

час это свойство переформулировать следующим эквивалентным образом:

(В S1       S"1      Ґ   S1       5rf

векторный процесс (                ..., — ), т. е. процесс ( 1, —,....      ),

В  В        В )            В        В)

является Р'-мартингалом.

Теперь предположим, что нашлись другой (положительный) дисконтирующий процесс В = (Bn)n^.n имера Р, эквивалентная исходной мере Р, такие, что нормированный процесс

 

В S1 Sd

В )

{В & В' В'

является Р-мартингалом.

Естественно, конечно, ожидать, что значение цены C(/n; Р), определенной в (1), не зависит от выбора соответствующих цар (В, Р) и (В, Р).

Именно с этим связан интересующий нас сейчас вопрос о том: почему действительно имеет место равенство

В0Ё^-=В0Ё^- (9) BN BN

 

и даже более общий факт - совпадение "процессов-цен"

С этой целью предположим, что Е =— = 1 (это не ограничивает общ-

ности рассмотрений). Тогда можно ввести новую меру Р (на З-n), полагая

dP = ZN dP,

где Zn = Z„5=-, Zn =        P„ = (P 19n) и P„ = (P19n), n ^ N. Bn dPn

Мера P является вероятностной, и по "формуле Байеса" (лемма в § За, гл. V)

Zn I

BN Zn

 

BN       )     Zn   BN J

Sn Bn

-=r-E

':(^N ^N BN'BN

 

BN

z„|=

= / Sn   at Sn поскольку El =—   &n 1 = =—.

Bn       / Bn

является мартингалом

Bn/ n<n

Следовательно, последовательность не только по мере Р, но и по мере Р.

<N,

(И)

Но если рассматриваемый рынок является полным, то мартингальная мера должна быть единственной и, значит, Р = Р, т.е. Zn — 1, п < N, что, в силу определения Zn, приводит к равенствам

_ _ dPn _ BTl Ztn — —=— —

dPn В„

из которых вытекает, что

я.

Тем самым, формулы (9) и (10) доказаны, и, следовательно, значение пены С(/дг; Р) на полных рынках действительно не зависит от выбора дисконтирующих процессов (В, В,...). В § lb, гл. VII, процедура дисконтирования будет рассмотрена (и более подробно) для случая непрерывного времени. Сейчас же только отметим, что во многих случаях правильный выбор дисконтирующего процесса может значительным образом редуцировать аналитические трудности при отыскании цен С(/дг; Р) и соответствующих совершенных хеджей. См., например, по этому поводу расчеты, относящиеся к "Русскому опциону" в § 5(1 и § 2с, гл. VIII.

Итак, на полных безарбитражных рынках вопрос о значении цены совершенного хеджирования полностью решается формулой (4), если в качестве дисконтирующего процесса выбран процесс В. При этом, если Р

(      S есть соответствующая мартингальная мера (т. е. — - мартингал j, то переход к новому дисконтирующему процессу В меняет и мартингальную меру: ею станет мера Р, которая, в соответствии с (11), определяется формулой

dP = ^ dP. (12) Bn

В случае же неполных рынков, когда существует несколько мартингальных мер, вопрос о том, что называть пеной хеджирования, уже не является столь же простым, поскольку для двух разных мартингальных мер Pi и Рг, а, следовательно, и разных состояний безарбитражности, выражения

Во Ер —— и Во Ер ~— і вообще говоря, не совпадают (см. далее § 1с).

1 Bjv      2 Bn

В качестве иллюстрации проведенных выше рассмотрений, связанных с разными дисконтирующими процессами и пересчетами условных математических ожиданий относительно разных мер, рассмотрим следующий пример.

Пусть /дг - цена платежного поручения в долларах (USD). Если рассматривается полный безарбитражный (долларовый) рынок, то соответствующая пена совершенного хеджа будет равна BoE-t^-, где В = [Bn)n^n - долларовый банковский счет. Bn

Рассмотрим теперь рынок, на котором пены определяются в немецких марках (DEM). Тогда в марках величина /дг (USD) будет равна /д/5дг (ОЕМ),где

 

- величина обменного курса в момент времени N.

Если В = (Bn)n^n ~ банковский счет в марках и соответствующий рынок является полным и безарбитражным, то пена платежного поручения JnSn будет равна (в DEM)

 

Bn

что, в пересчете в доллары, составит

(j-1r -fSn/n

Выясним, при каких условиях должно выполняться естественно ожидаемое совпадение долларовой пены с пеной Во Е-1=^~ или, в более общем

Вдг

виде, равенство

 

/   ч         г, /DEM"

Обменный курс S — (Sn)n^N, где Sn - I         J , рассматриваемый

на DEM-рынке, предполагаемом безарбитражным, должен быть таким,

что

Г^Д^ является Р-мартингалом. Поэтому Е[ — 3„) = =4

BnJn<N             BN        J Bn

dP,

и если выполнено Zn =        то, по "формуле Байеса" dPn

fi = J_ е(§^дг Зп) (Р-п.н.). (14) Вп     Zn    BN J

^■(^Zn)=e(^-.b-.ZN Зп). (15) Зп   Вп    J      BN   Bn )

Отсюда следует, что

 

Вп   впАп) Чвдг

fSn

является

N

(16)

s в

Если и USD-рынок является безарбитражным, то I 1 Р-мартингалом, и, значит, Вп/п^

± = e(^l Зп).

1п      BN )

(17)

= 1

Из (15) и (16) и предположения полноты USD-рынка, а значит, и единственности меры Р, следует, что

BN         dP

BN         dP

: 1.

(18)

(ср. с (12)) и что для всех n ^ N

 

Вп          d]

В и         dPn

Так как Z — (Zn,      Р)п^м с Zn = -=Д является мартингалом, то (18)

                 dPn

влечет за собой то, что пронесе ( ~ )       также должен быть Р-мар-

Вп/ n^n

тингалом. Это свойство мартингальности, гарантирующее совпадение пен платежного поручения /к (в долларах) на USD- и DEM-рьшках, можно было бы предвидеть и без проведенных вычислений, если В = (Bn)n<n понимать как одну из основных пенных бумаг на долларовом рынке с банковским счетом В = (B„)n^fj.

 

§ 1с. Основная формула для цены хеджирования. II. Неполные рынки.

1. Как установлено в предыдущем параграфе, на полных безарбитражных рынках цена (стоимость) C(/jv; Р) совершенного хеджирования определяется формулой

C(/jv;P) = BoE^L , (і)

 

где Е - усреднение по (единственной) мартингальной мере Р, относительно

которой — является мартингалом. В

Аналогичный вопрос о стоимости хеджирования возникает, разумеется, и для неполных рынков. Однако, поскольку на таких рынках совершенный хедж для самофинансируемых портфелей уже может ине существовать, то приходится видоизменять определение цены (стоимости) хеджирования и также несколько расширять класс самофинансируемых стратегий, с которыми мы оперировали в случае полных рынков.

Напомним, что капитал X* самофинансируемой стратегии ж = (/3,7) для полных рынков мог быть, в сущности, определен двумя способами: или как

X*=/?„B„ + 7nSn, (2)

или же как

п

XZ = Х% + ]Г (/?* ABk + lk ASk), (3) fc=l

см., подробнее, §1а.

В определенном отношении представление капитала в виде (3) более предпочтительно, поскольку оно наглядно иллюстрирует динамику образования капитала: Х£ есть вклад начального капитала в ХЦ, а приращение капитала -

ДХ* =pnABn+lnASn. (4)

Для рассматриваемых сейчас вопросов хеджирования на неполных рынках целесообразно наряду с портфелем ж = (/3,7) ввести также процесс потребления С = (CVJnj-o, являющийся неотрицательным неубывающим процессом с З'п -измеримыми компонентами С„ и Со = 0.

Этот случай, в сущности, уже рассматривался в §1а, гл. V, под названием случай с "потреблением", при этом предполагалось, что вместо уравнения (4) динамика прироста капитала Х*'С, соответствующего портфелю ж и потреблению С, описывается соотношениями

АХ1'С = /?„ДВ„ + 7„ASn - АСп, (5)

где АВп +jnASn есть вклад, определяемый значениями портфеля и "рыночными'' изменениями А/Зп и ASn, а АС„ характеризует "отток" капитала на потребление (включая, например, и расходы, связанные с самим фактом изменения портфеля).

Таким образом, будем сейчас предполагать, что капитал Х*'С стратегии (ж, С) определяется (по аналогии с (3)) формулами

 

х*,с = х*,с + J2(/3kABk + lkASk) -Сп,    п> 1, (6) fc=i

которые равносильны тому, что

 

Замечание 1. Если положить (З'к = /3* - -гъ~ , то из (6) находим, что

АВк

п

х*,с = х*,с + J2(&ABk + ~/kASk).

k=l

Эта формула весьма схожа с (3). Однако, если в (3) @к - ^fc-1-измери-мы, то (З'к являются &к -измеримыми.

Замечание 2. На неполных рынках совершенное хеджирование, т.е. такое, что при некотором ж = (/3,7) капитал XJf = /дг (Р-п. н.), вообще говоря, невозможно. В то же самое время это не исключает того, что при расширении класса допустимых стратегий можно добиться того, чтобы терминальный капитал воспроизводил (Р-п.н.) платежное поручение/дг. Как станет ясно из доказательства приводимой ниже теоремы введение "по-требления" позволяет найти стратегию (7г, С), для которой XN' = /дг (Р-п.н.). Это есть одна из "технических" причин введения наряду с портфелем ж также и потребления С. Но с другой стороны, введение класса стратегий с "потреблениями" на которые накладываются, к тому же, ограничения типа АСп ^ с > 0, имеет ясный экономический подтекст.

2. Определение. Будем называть верхней ценой хеджирования Европейского типа (.^-измеримого платежного поручения/дг) величину

С*(/дг; Р) = inf{x: 3 (ж,С) сХ%'С            > /дг (Р-п.н.)}. (7)

 

Замечание 3. Наряду с верхней пеной хеджирования можно ввести также и нижнюю цену хеджирования (см. определение в §1Ь). В дальнейшем будет рассматриваться лишь только верхняя цена, которая часто будет просто называться ценой.

Пусть SP(P) - совокупность всех мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р. Предполагается, что 5*(Р) ф 0.

Центральный результат теории расчетов на неполных безарбитражных рынках дается в следующем предположении, обобщающем формулу (1).

Теорема 1 ("основная формула для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках"). Пусть /дг - неотрицательная ограниченная Зм-измеримая функция. На неполных безарбитражных рынках верхняя цена С*(/дг;Р) определяется формулой

(8)

 

C*(//v;P)=   sup БоЕр^-рє5»(р) n

которого в техническом отношении довольно сложно. Первыми работами, в которых было доказано "опциональное разложение" и получена формула (8), являются работы Н. Эль Каруи и М. Кинез (N. El Karoui, М. Quenez, [136]) и Л. О. Крамкова [281]; по поводу обобщенийи различных доказательств см. также [99], [163], [164].

3. Доказательство теоремы. Пусть (ж, С) является (х, /дг)-хеджем, т. е. Х%'С = хиХ%° > In (Р-П.Н-). Тогда (ср. с (2) в § lb)

/дг     ХЬС     х     Л     Л{вк    Д АСк

 

и, значит, для любой меры Р Є ^(Р)

 

J

BoEp^-<:r, (Ю)

 

поскольку Eg X) 7fc Д () = 0, что следует из леммы в §1с, гл. II, и

У к=1     Вк/        n             /Sk x

вытекающего из (9) неравенства 2J ^ь^уЩ) ^ ~В~о' Отсюда

sup   В0Е5-^<С*(/дг;Р). (П) рєз»(р) n

Yn = ess sup Ер.

рєз»(р) ^bff

Для доказательства противоположного неравенства положим

 

Я.), (12)

 

где Ер - усреднение по мере Р.

С частным случаем этого результата мы уже сталкивались выше (теорема 1 в § 1с, гл. V; см. также [93]) для случая одношаговой модели.

Ключевым моментом в доказательстве формулы (8) является так называемое "опциональное разложение" (см. далее §2d), доказательство где существенный супремум У„ есть, по определению, .^п-измеримая случайная величина, которая, с одной стороны, удовлетворяет для любой меры Р Є 5*(Р) неравенству

 

(Р-п.н.) (13) и, с другой стороны, обладает тем свойством ("минимальности"), что если есть другая величина У„, также мажорирующая правую часть в (13), то У„ <У„ (Р-п.н.).

Как показывается в § 2Ь, последовательность Y = (У„, 3n)n^.N является супермартингалом относительно любой (!) меры Q Є ^(Р), т. е.

EQ(yn+1|Jfn)^y„ (Q-п.н.). (14)

Напомним, что из классического разложения Луба (§1Ь, гл. II) следует, что для каждой конкретной меры Q можно найти мартингал = (М®,зп,Q)o^.n^.N, Mq = 0, и предсказуемый неубывающий процесс А® = (А%, ^n-i,Q)i^Af, -4о = 0, такие, что

У„ = У0 + М« - А*. (15)

 

. Весьма замечательным является тот факт, что если Y = (У„, Зп) есть супермартингал относительно любой меры Q из семейства ^(Р), то для У имеет место универсальное (т. е. не зависящее от Q) разложение

 

Yn = Y0 + Mn-Cn, (16)

 

где М = (Мп,зп) есть мартингал относительно любой меры Q є £^(Р), а С = (С„, 3"п) - некоторый неубывающий процесс с Со = 0.

Подчеркнем, что если в разложении Луба (15) процесс А® был предсказуемым (т.е. А® - -измеримы), то в (16) процесс с = (сп,зп) является только лишь опциональным (т. е. С„ - -измеримы).

Именно с этим обстоятельством и связано то, что разложение (16) называется опциональным разложением.

Применительно к супермартингалу У = (У„, Зп), определенному в (12), можно конкретизировать структуру мартингала М = (Мп, 3-п):

 

»-Ё*Ч£), (17)

где 7 = (7„, зп-) - некоторый предсказуемый процесс. (Подчеркнем, что этот факт является далеко не тривиальным и доказывается в ходе доказательства опционального разложения; см. § 2d.-)

По процессам 7, С и Уо, определяемым в (16) и (17), построим теперь портфель 7г = (/3,7) и процесс потребления С с такими свойствами, что для них соответствующий капитал X*'6 имеет Xq'6 = Во   sup Ер"5^"

рє9»(р) nn

nXjf'C > In- Отсюда, конечно, будет следовать, что

С*(/*;Р) ^Х*'д = В0   sup Ер|^,

рєз»(р) n

и вместе с (11) это приведет к равенству (8).

Требуемый портфель тг = (/3,7) и процесс потребления С определим следующим образом:

7n = 7ш               =Уп -Тп^1. (18)

 

Cn = J2Bk-iACk, (19) fc=i

где 7 и С берутся из опционального разложения супермартингала У. Для так определенных тг и С начальный капитал

Xl'C = РоВо + 7о^о = Y0B0.

В случае схемы с "потреблением" мы считаем (см. п. 4 в § 1а, гл. V), что приращение капитала осуществляется по формуле

АХ*'6 = рп АВп + % ASn - АСп, (20) из которой, как уже отмечалось, следует (ср. также с (27) в § 1а, гл. V), что

 

В силу (1б)-(19)

(22)

 

V7T,C

и, поскольку —-— = Го, то

652        Гл. VI. Теория расчетов. Дискретное время

Таким образом, Х^с = /дг, и, следовательно, построенная стратегия (ж, С) с начальным капиталом

Хрд = B0Y0 = Во sup позволяет в точности осуществить совершенное хеджирование:

^° - fN.

 

Отсюда следует, что

C*(/jv;P)^B0   sup ці?-.

Pg5»(p) BN

Вместе с (11) это доказывает (в предположении наличия "опционального разложения") требуемую формулу (8).

Теорема 1 доказана, и в ходе ее доказательства установлено также следующее предложение (ср. с теоремой 2 в § lb).

Теорема 2 ("основные формулы для совершенного хеджа, его капитала и потребления"). На безарбитражных рынках существуют самофинансируемый хедж ж* = (/3*,7*) и потребление С* такие, что соответствующий капитал Х%' = /3*В„ + 7*5„ эволюционирует в соответствии с "балансовым" условием АХ%' = /3*АВп + 7* ASn - АС*, при

этом

Xf=C*(fN;P)    С=   sup ВоЕр^Л    рез»(Р)       Bn j

 

XN  = fN (Р-П.Н.).

JllL

Динамика капитала X** определяется формулами

 

X* = Вп ess sup Е

р6э»(р)

Bn

ess sup рєз»(р)

компоненты 7* = (7*) и С* = (С*) - из опционального разложения

Ер (J*-   Зп) =   sup ц£+±ііа(%)

Bn      )   реза(Р) PBN   ^rk   BJ fctlBfc_x'

о компоненты /3* = (/3*) - «з условия X** = /3*В„ + 7*5П.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010