В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449427 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1342

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 2а. задачи об оптимальной остановке.

Супермартингальная характеризация

Приведенная в § 1с супермартингальная характеризация последовательности Y — (Yn) относительно каждой из мер семейства £?(Р) не покажется неожиданной, если операцию взятия ess sup в (12), § 1с, интерпретировать как оптимизационную задачу выбора "наилучшей" вероятностной меры. При таком понимании интересующее нас супермартингальное свойство есть не что иное, как одно из утверждений широко известного "приЕшипа оптимальности", которому удовлетворяет процесс-цена ("функция Беллмана") в стохастических оптимизационных задачах.

Частным случаем таких задач является задача об оптимальной остановке некоторой стохастической последовательности / = (/n)n<iVi с рассмотрения которой целесообразно начать изложение круга вопросов относительно "супермартингальных характеризаций" в оптимизационных проблемах. Выделение этого случая отдельно представляется целесообразным также в связи с рассматриваемыми далее опционами Американского типа (в которых покупатель опциона имеет право выбора момента исполнения, что и может рассматриваться здесь как "оптимизационный элемент"), а также в связи с тем, что на этом случае четко прослеживается то, что класс объектов, по которому берется ess sup, должен быть "достаточно богатым".

Пусть / = (/„, ^п)о<п^лг - некоторая стохастическая последовательность на (П,^, (<^n)o«Snsj/V; Р), &о = {0,^}, &N = & ■ Будем предполагать, что Е|/п| < оо привсех п ^ N < оо.

Интересующая нас задача состоит: 1) в отыскании функций (цен)

 

VnN=  sup Е/т, (1)

 

где sup берется по классу ffl„ всех моментов остановки г таких, что п ^ г ^ N, и 2) в отыскании оптимального момента остановки (таковой в данной ситуации существует).

Рассматриваемая сейчас задача об оптимальной остановке сформулирована не в общем случае (см. далее п. 4), в котором допускается N — оо (тогда 9Я£° - это класс всех конечных моментов остановки г ^ п), а лишь для случая конечного "горизонта" N. Основная причина состоит в том, что этот случай разбирается сравнительно элементарно и, в то же самое время, в этом случае "работает" метод индукции назад, являющийся одним из основных приемов отыскания и цен V„, и соответствующих оптимальных моментов остановки.

3. Введем последовательность 7^ = (jn)o^.n^N следующим искусственным образом:

In = /лг, ,2ч 7^ = тах(/„,Е(7^+1|^)).

Положим также для 0 ^ п ^ N

 

Следуюпшй результат является одним из центральных в теории задач об оптимальной остановке на конечном временном интервале 0 ^ n < JV; ср. [75; гл. 3], [441; гл. 2].

Теорема 1. Последовательность yN = (~yn)n^n, определенная рекуррентными соотношениями (2), и моменты т„ , О ^ п ^ N, обладают следующими свойствами:

T?eWlN;

E(/tn|#,)=7^;

Е(/т | 9п) < Е(/Тлг! 9п) = 1г7 для любого т Є ЯП*;

7^ = esssupE(/r I &п) и, в частности, 7^ =  sup Е/т = E/tn;

V*f = BYn*.

Доказательство. Для упрощения записи в этом доказательстве и до конца п. 3 будем всюду опускать индекс N, обозначая 7„, Vn, 9Jl„, т„ вместо 1п<,У»,т»,т».

Свойство (а) следует из определения т„. Свойства (Ь) и (с) очевидны для п — N. Дальше будем рассуждать индукцией назад.

Пусть эти свойства уже установлены для п = N, N— 1,..., к. Покажем, что тогда они выполнены и для п = к — 1.

Пусть г Є 97tfc-i и Л Є &к-. Положим г = тах(т,А;). Ясно, что т Є Шк итогдадля А Є 9"к- с учетом того, что {г ^ к} Є 3"к-, находим:

Е[/а/г] = E[ZAn{T=fc_1}/T] + E[lAn{T>k}fT]

- Е[/ап{г=А:-1}Л-і] + E[lAn{T>k}E(fT l^it-i)] = E[lAn{r=k_1}fk_x] + E[lAn{r>k}E{E(fr&k)&k-i)] = E[^n{r=fc-i}/fe-i] + E[lAn{r^k}E(^k &k-i)} <E[/A7fc-i]. (3)

где последнее неравенство следует из (2).

Тем самым, E(fT &к-.) < 7fe_i. Требуемые утверждения (Ь) и (с) будут установлены для п = к — 1, если показать, что

 

E(/x»_1|^fe-i)=7fc-i- (4)

С этой целью обратимся к цепочке неравенств в (3) и покажем, что для т — Tfc_i на самом деле в (3) мы имеем всюду равенства.

Действительно, на множестве {тк- > к}, по определению тк-і, имеем г = Tfe и, поскольку по предположению индукции E(fTk &k) = *ук, то в (3)

Е^АІть-г] = Е[/ап{т*_1=А:-1}Л-і]

+ E[/4n{^_1>fe}E(E(/TJ^fe)l^fe-i)] = ^AnlTk^k-iyfk-i] + E[/An{T*_1^fe}E(7fc l^fc)] = E[/A7fc-i], -

где последнее равенство следует из того, что (по определению) 7fe_i = max(/fc_i,E(7fc &k-i)) и 7fe_i = fk-i на {rfe_i = к - 1}, а на множестве {rfe_! > к — 1} имеем /fe_! < 7fc_! (значит, на этом множестве 7fc-i =E(7k|Јfc-i)).

Итак, утверждения (Ь) и (с) доказаны, а следовательно, доказано и утверждение (d). Наконец, поскольку для всякого г Є fflk из (с)

E/r < Efrk = E7fc,

то Vk = sup EfT = E/TJt = E7fe, т. е. имеет место утверждение (e).

тЄЯЛ/fc

Замечание 1. В приведенном доказательстве был использован тот факт, что если г Є Шк-, то момент т = тах(т,А;) содержится в Шк. В рассматриваемом нами случае просто предполагается, что класс Шк содержит такие моменты. В этом смысле можно сказать, что классы ЭЛк, к ^ N, являются "достаточно богатыми'! (См. по этому поводу конец п. 1.)

Следствие 1. Последовательность j = (jn)n^.N является супер-мартингалом. При этом 7 - наименьший супермартингал, мажорирующий последовательность f = (fn)n^.N в том смысле, что если 7 = (7п)п^лг есть также супермартингал u^n^fn для всех п < N, то 7„ < 7„ (Р-п.н.), n < JV.

В самом деле, то, что 7 = (7n)n^i является супермартингалом, мажорирующим / = (/п)п^ЛГ) следует из рекуррентных соотношений (2). Далее, ясно, что 7^ ^ /лг и для п < N

7„ ^ max(/n,E(7n+i &п)). (5)

Поскольку 7лг = /лг, то 7N ^ /лг и

7ЛГ-1 ^ max(/Ar_i,E(7jv|^Jv-i))

^ тах(/лг-і, Е(7лг | &n-i)) = 7лг-і-

Аналогичным образом показывается, что jn ^ 7„ для любого п < N — 1.

Следствие 2. Результат, сформулированный в предыдущем следствии, может быть переформулирован так: если 7 = (7п)п<лг есть решение рекуррентной системы уравнений

7„ = max(/„, E(7n+i | &п)),      n< JV, (6)

с 7дг = /дг, то 7„ < 7„, n < N, для всякой последовательности 7 = (7„)п^лг, удовлетворяющей системе неравенств

7n^max(/n,E(7„+i|^„)),      п < N, (7)

с 7N ^ /лг-

Покажем, что среди всех таких решений 7 = (7п)п^дг - наименьшее решение, обозначаемое 7 — (7„)„^дг, - существует и удовлетворяет системе равенств (6) с 7дг = /дт-

Положим 7дг = /дг и пусть для п < N

 

7„ = max(/n, Е(7„+11 &п)). (8)

 

Ясно, что 7П > /„ для всех п < ЛГ, и 7 = (т"п)„^ дг является супермартингалом. Поскольку, по предположению, 7 = (7„)„^дг обладает свойством минимальности, то

 

max(/„, E(7n+1 3n))=jn= 7„. (9)

 

Поэтому для п < N

max(/„, E(7n+1 | &п)) = 7„ > 7n > max(/n> E(7n+1 | &п)) и для n — N

In -In ^ In > /лг-Следовательно, 7дг = Тдг = /дг, и, в силу (9), для всех п < ЛГ

 

7п = 7„-

 

Тем самым, наименьший супермартингал 7 = (7n)n^jv» мажорирующий последовательность / = (/„)„^дг, удовлетворяет уравнениям (6) С7лг = /лг-

Следствие 3. Момент

т0" = min{(K і < ЛГ:/, = 7f } является оптимальным моментом остановки в классе 97l0V;

sup E/T=E/N(=7^).

4. Рассмотрим вопрос об обобщении теоремы 1 на случай, когда ЛГ - оо. Точнее, будем предполагать, что ЗЯ* = 9ЭТ£° - класс всех тех конечных марковских моментов г = т(ш), для которых т{ш) ^ п, cj є £1- Через ЯЯ* будем обозначать класс QJlg0.

Пусть, далее, / = (fn,&n)n^o ~ стохастическая последовательность, заданная на (fl, 3, (Зп)п^о, Р)>

 

V*= sup Е/т, (10)

 

7*=es8 8upE(/T|Јr„), (11)

 

< = inf{fc >n:fk= 7*}. (12)

 

Естественно, конечно, ожидать, что (при определенных условиях) 7* =   lim 7^ и что в (2) возможен предельный переход, который тогда

n—уоо

даст для 7* = (7*) уравнения

 

7*=тах(/„,Е(7;+1|^„)). (13)

Аналогично, также естественно ожидать, что момент т*, определенный в (12), является оптимальным моментом в классе ОТ* в том смысле, что

 

V*= sup Е/Т = Е/Т. (14)

 

и

V* = Е7;. (15)

В общей теории оптимальных правил остановки, излагаемой, например, в [75] и [441], показывается, что при определенных условиях (но не всегда!) сформулированные результаты действительно имеют место.

Отсылая за подробностями к упомянутым монографиям, приведем лишь один достаточно общий результат в этом направлении.

Теорема 2. Пусть / = (fn,3n)n^o ~ стохастическая последовательность с Esup /~ < оо.

п

а) Последовательность 7* = (7^)„^о с

7* =esssupE(/,-|^'„)

(16)

удовлетворяет рекуррентным соотношениям

ln=max(fn,E{ln+1$n)) (17)

и, следовательно, является супермартингалом, мажорирующим последовательность / — (fn)-

Последовательность 7* = (7^)п>о является наименьшим супермартингалом, мажорирующим последовательность / = (/n)n^o-

Пусть т* — inf {А; ^ п: Д = 7j*}.   Тогда, если Esup|/„| < со и

п

Р(т* < со) = 1, то т* является оптимальным моментом остановки:

V*= sup Е/Т = Е/Т., (18) 7; = ess sup Е(/т I       = Е(/т. | ^„). (19)

Для каждого п ^ 0 (Р-п.н.)

7?Т7* (20)

при N —¥ со.

5. Как было отмечено выше, в случае конечного временного горизонта (N < оо) решение задачи об оптимальной остановке может быть осуществлено методом индукции назад с последовательным вычислением величин 7дг! 7дг - 1 і • • ч 1о)чт0 возможно, поскольку 7$ = /дг, а 7^ удовлетворяют рекуррентным соотношениям (13).

В случае же бесконечного временного горизонта (N = со) задача отыскания последовательности функций 7 = (■уп)п^о становится более деликатной, поскольку вместо условия в момент времени N приходится обращаться к дополнительным характеризапиям и свойствам цен Vn, п 0. Например, иногда удается использовать при отыскании нужного решения системы уравнений (17) то соображение, что требуемое решение должно быть наименьшим решением из множества всех решений.

Техника решения задач об оптимальной остановке наиболее развита и продвинута в марковском случае.

Для соответствующего изложения предположим, что существует однородный марковский процесс X = (хп,Зп,Рх) с дискретным временем п = 0,1,..., фазовым пространством состояний (E,ЈS)w. семейством вероятностных мер Рх на §• = V для каждого начального состояния х Є Е (см., подробнее, [126], [441]).

Пусть Т - оператор перехода за один шаг (Т/(х) = Ех/(жі) для измеримых функций / = f(xi) с Ex|/(xi)| < со, х Є Е, где Ех - усреднение по мере Рх, х Є Е).

Пусть также g — g(x) - некоторая ^-измеримая функция, х Є Е.

В качестве рассмотренных ранее функций /„ возьмем функции д(хп), п ^ 0, и пусть Ex[sup<7-(xn)] < со, х Є Е. Положим

 

s(x) - sup Ехд(хТ), (21)

 

где ЯЯ* = {т: т(и>) < со, ш Є О,} - класс всех конечных марковских моментов.

Рассматриваемая задача об оптимальной остановке для марковского процесса X состоит в отыскании функции s(x), оптимальных моментов т* (т.е. таких, что s(x) — Exg(xr»), х Є Е), или е-оптимальных моментов т* (т.е. таких, что s(x) — є ^ Ехд(Хт+), х Є Е), если таковые существуют.

Понятно, в чем состоит преимущество марковской ситуации - в этом случае рассмотренные выше условные математические ожидания Ех (• | 3-п) становятся зависящими от "прошлой истории Зп" лишь через значение пропессавмоментвременип, т. е. только от хп. В частности, рассмотренные выше функции 7„, 7^ становятся лишь функциями от хп.

Приведем марковскую версию теорем 1 и 2, которой далее (в гл. VI) мы будем пользоваться, например, при анализе опционов Американского типа.

Теорема 3. Пусть д = д(х) - -измеримая функция с Exg~(xk) < со, х Є Е, k < N,

 

sN(x) =  sup Ехд(хТ), (22)

 

где MN = {т: 0 <т < N}, N ^ 0. Пусть

Qg(x) = max(g{x),Tg(x)) (23)

и

т£ = min{0 < m < N: SN-m{xm) = g(xm)}- (24)

Тогда (a)

8N{x) = QNg(x); (25)

(Ъ)

sn(x) = max(g(x),TsN-i(x)), (26) где s0(x) =g(x);

в классе fflN марковский момент      является оптимальным:

Exg(xtn) = sn{x),      х Є Е; (27)

последовательность -yN = (j^,3m)m^n И™ = sN-m(xm) образует супермартингал при каждом N ^ 0.

Доказательство этой теоремы и ее обобщений дается во второй главе монографии [441], посвященной "марковскому подходу" к задачам об оптимальной остановке. Ее можно, конечно, вывести и как частный случай из доказанной выше теоремы 1, за исключением разве лишь того, что все равно придется отдельно исследовать структуру операторов Qg(x) и их итераций Qng(x). (См. по этому поводу подробнее § 2.2 в [441].)

Из результатов приведенной теоремы вытекает следующая интерпретация структуры оптимальных моментов остановки в классе DRN = {т: 0 < т ^ N} для фиксированного N < оо.

Пусть

DN = {x:sN_„(x) =g(x)},     O^n^N, (28)

и

C% = EDN. (29)

В соответствии с теоремой 3 оптимальный момент может быть записан в виде

= min{0<n < JV:xn Є DN}. (30)

Иначе говоря, последовательность областей Dq , Dx ,..., £>$ = Е образует последовательность областей остановки наблюдений, а последовательность областей Cq" , Сі ,... ,Cff — 0 образует последовательность областей продол жения наблюдений.

Заметим, что

Do С D? С • • ■ С D% = Е

и

С$ 2 С? 2 ■ ■ ■ 2 С% = 0. Поэтому, если х0 Є Dff, то наблюдения не совершаются ит-0" =0. Если же xq Є С о , то производится наблюдение и если х Є Dx , то происходит остановка наблюдений; а если хі Є Cf то совершается следующее наблюдение и т.д. В заключительный (терминальный) момент времени N наблюдение заведомо заканчивается (в этом случае      = Е).

(21')

PTg{xr) - Јc(xfe_i)

Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что в качественном отношении мало что изменится, если вместо цены sn (х) , определяемой формулой (21), рассматривать цены "с дисконтированием и платой за наблюдения" :

 

sn(x) =  sup Ех

fe=l

(еслит = 0, то выражение в [■ ] считается равным д(х); 0 < /3 < 1, с(х) ^ 0 для х Є Е).

Формула (25) сохраняет свою силу с

Qg(x) = max(g(x),/3T3(x) - с(х)). (23')

Реккуррентное уравнение (26) примет следующий вид:

sN(x) = max(g(x),/3TsN-i(x) - с(х)) (26')

с so(х) = д{х). Подробнее см. [441; гл. II].

Пример 1. Пусть є = (єі,є2,...) - бернуллиевские величины с P(Јi = 1) = Р(Єі = -1) = .

Пусть хп — х + (єі -I     h є„), х Є Е = {0, ±1,... } и

 

sn(x) =  sup Ex/3Txr. rem"

Если /3 = 1, то Qg(x) = g(x) для g(x) = x при всех x Є £ и в качестве оптимального момента остановки можно взять момент      = 0.

Если же 0 < /3 < 1, то для функции д(х) = х находим, что Qng(x) — х при х — 0,1,2,... и Qng(x) — /3"х при х = -1, —2,.... Поэтому здесь Sfj(x) = max(x,PNx). При этом оптимальный момент

= min{0 < п ^ N: х„ Є {0,1,2,...}}.

(Если х„ Є {—1, -2,... } при всех 0 < n ^ N, то полагается равным JV.)

Заметим, что в случае 0 < /3 < 1

 

sjv(a:) t х+ = max(0,x),     N —»■ оо.

6. Обратимся теперь к задаче об оптимальной остановке в случае бесконечного горизонта (ЛГ = со). Положим

 

s(x) = sup Ехд{хт), (31)

 

где Ш" = {т: 0 < т (ш) < оо} - класс всех конечных марковских моментов.

Для формулирования соответствующей теоремы относительно структуры цены s — s(x), х Є Е, и оптимальных (или е-оптимальных) моментов остановки целесообразно напомнить следующее

Определение (см., например, [441]). Функция / = f(x) с Ех|/(жі)|

оо, х Є Е, удовлетворяющая свойству

 

f(x) > Tf(x) (32)

 

называется эксцессивной функцией для однородного марковского процесса X = (хп,3П1Рх)п>0,х Є Е.

Если, к тому же, f(x) ^ д(х), то функция / = /(ж) называется эксг^ее-сивной мажорантой функциид = д(х).

Понятно, что если функция / = /(ж) есть экспессивнаямажоранта функции 9 = д(х), то

/(ж) ^тах(9(ж),Т/(х)). (33)

Следующая теорема раскрывает роль эксцессивных мажорант в задачах об оптимальной остановке однородных марковских процессов

 

X = (хп,Зп,Рх)п^о,     х є Е.

 

Теорема 4. Пусть функция д = д(х) такова, что Exsupg~ (хп)

і п J

оо, ж Є Е. Тогда:

 

цена s = s(x) является наименьшей эксцессивной мажорантой функции g — g(x);

ценаз(х) = lim Qng(x) (— lim sn(x) и удовлетворяет урав-

n—юо     п—юо I

(34)

нению (ср. с (33))

 

s(x) — max(g(x),Ts(x));

если Ех sup |^(ж„)| < оо, х Є Е, то для каждого є > 0 момент

г* =inf{n>0: s(xn) ^д(хп) + є} (35) является є-оптимальным, т. е.

в{х)-є < Ех9(ж?е),      хЄЕ; (36)

пусть Ех sup |<j(xn)|  < со и

L п J

 

т* = inf{n ^ 0: s(xn) = д(хп)},

(37)

 

т. е. т* — Tq ; если Рх(т* < оо) = 1, ж є Е, то момент т* является оптимальным:

 

s(x) = Exg(xT-),       ж Є Е;

 

(е) если множество Е конечно, то момент т* является оптимальным.

По поводу доказательства этой теоремы и ее применений см. гл. 2 в [441]. В разделе 5 будут даны применения к расчетам в опционах Американского типа.

Замечание 3. По аналогии с (21') естественно рассмотреть также задачу об оптимальной остановке при наличии дисконтирования (0 < /3 < 1) и платы за наблюдение (с(х) > 0).

Положим

т-1

(31')

/3T9(*T)-Ј/3fec(Ife)

fe=0

s(x) = sup Ex где sup берется по классу

k=o

 

Щ,гС) = {г Є ЯП*: Ex £ /3kc(xk) < со, x Є A

 

и пусть з(аг) ^ 0.

В этих предположениях пена s(x) является (см. [441; гл. 2]) наименьшей (/3, с)-эксцессивной мажорантой функции д(х), т. е. наименьшей среди функций f(x) таких, что /(ж) > д(х) и

При этом

f(x)>f3Tf(x)-c(x). (33')

s(x) = max(g(x), /3Ts(x) - с{х)) (34') s(x) = lim Q(piC)g(x),

где

Q(/3,c)9{x) = max(g(x),/3Tg(x) - c(x)).

Пример 2. Пусть xn = x + (єі + ■ • • + є„), x Є E = {О, ±1,... } и є = (єп) - бернуллиевская последовательность из примера 1. Положим длях Є Е

s(x) = supEx(|xr| - ст), (38)

где sup берется по тем моментам остановки т, для которых Ехт < оо. Для таких г

Ехх2т =х2 + Ехт (39)

и, значит,

Ех(|*т| - ст) = сх2 + Ех(хт - схт2). (40)

Поэтому

з(х) = сх2 + sup Ехд(хт),

где д(х) — х — с|х|2 и sup берется по тем т, для которых Ехт < оо.

Поскольку функция д(х)  достигает максимального значения при

1 1

х — ± —, то в случае целочисленных — видим, что

2с           3 2с

s[x) ^ сх2 + ~ . (41) 4с

Определим момент тс = inf|n: |х„| =                Если х < —, то заведомо

і     , 1

хТс < — и, значит,

 

.2            2

(2с)2

^ Еххт^щ =х' + Ex(tcAN).

Отсюда предельным переходом по N —>■ оо (по теореме о монотонной сходимости) находим, что Ехтс < (2с)2 < °°' ^оэтому да тс имеет место (39), из которого следует, что если |х| ^ —, то на самом деле Ехтс =

2с,„_     х,с    (2с)2   . .

Поскольку для тс и |х| ^ —

 

Ex(|xrJ - crc) = 1 -           - х2) = сх2 + 1,

то из (41) видим, что момент тс является ^для всех тех х, для которых |х| ^ —) оптимальным моментом остановки.

§2Ь.  Полные и неполные рынки. I.

Супермартингальная характеризация цен хеджирования

Вернемся к изложению в § 1с доказательства формулы (8) для цены хеджирования на неполных рынках.

Как было отмечено, доказательство этой формулы основывается на следующих двух фактах: супермартпингальном свойстве последовательности У = (yn)n^iv относительно любой меры из семейства 9і(Р) и на возможности получения опционального разложения для У = (Уп)п^іг-

В настоящем параграфе рассматривается вопрос о супермартингальном свойстве не только последовательности У = (Уп)п^лг, определенной формулами (12) в § 1с, но и для более общей последовательности, задаваемой приводимой ниже формулой (1), что позволяет исследовать вопросы, связанные с хеджированием Американского типа (см. замечание в § 1а).

Вопрос о справедливости опционального разложения для У = (Уп)г»^лг рассматривается в § 2d.

Пусть (£1, (&n)n^.N,P) ~ исходное вероятностное пространство, (B,S) - рынок, состоящий из банковского счета В = (Вп)

n^iVj который считаем таким, что Вп = 1, и «(-мерной акции S = (S1,..., Sd), S* = (Sn)n^.N- Будем полагать &0 = {0>^}i 9"N = 9.

Пусть £?(Р) - непустое множество мартингальных мер, эквивалентных мере Р, и / = (/о, /і,..., /лг) ~ последовательность ^„-измеримых неотрицательных функций /„, п ^ N, таких, что ЕрД < оо, Р Є £^(Р), 0 < к < N.

Определим

У„=_    esssup      Ep(fT3n). (1) рє9»(р),т-єот^

Теорема. Относительно каждой меры из &>(Р) последовательность У = (Yn)n^.n является супермартингалом.

Доказательство в идейном отношении таково же, как и доказательство, проведенное в предшествующем параграфе, того, что последовательность 7 = (7n)n^JV является супермартингалом.

Реализация же этого доказательства проходит следующим образом.

Выберем в множестве &(Р) некоторую ("базисную") меру. Чтобы не вводить новых обозначений, предположим, что ею является (мартингальная, следовательно) мера Р, и будем проверять свойство супермартингаль-ности У относительно меры Р.

Если Р є ^(Р), то обозначим

 

ZN = %,    Zn = ^~,    ГДЄРП=:Р|^П,     Р„ = Р|^„.

аР аР„

 

При п = 0 считаем Zo = 1. Определим

pn = J^. (2)

Zn-1

Поскольку Р ~ Р, то при любом п ^ N

P(Z„_! > 0) - P(Zn-l > 0) = 1.

                 п

Если положить тп = рп — 1, Мп = ^ fhk, Mo = 0, то получим, что

fe=i

AZn = Zn-i АМ„. (3) Из (3) можно заключить, что

п п

= £(М)„ ее Д (1 + AMfe) = Л рк, (4)

fe=l к=1

 

где (о (М) есть стохастическая экспонента (см. § 1а, гл. II).

Из всего сказанного следует, что взяв в качестве "базисной" меру Р, мы можем меру Р и ее ограничения Р„, п < iV, полностью характеризовать любой из последовательностей (Zn), (Мп) и (рп)-

По "формуле Байеса" ((4), § За, гл. V) для всякого момента остановки г (относительно (Зп)) и п ^ JV

Ep(M^n) = ^-Ep(fTZT3n) Zn

= EP(pn+1---pTfT3n)

 

= EP(fTZr3n), (5)

где Pi = • • • = Рп = 1, Рк =Pk,k>n,viZk = Pi---Pk- _

Интересно отметить, что если определить меру Р соотношением dP = Zn dP, то найдем, что

 

V '    I Р(А), АеЗк,к>п.

Ясно, что мера Р ~ Р.

С учетом введенных обозначений определение (1) может быть переписано в виде

У„ = ess sup EP(fTZT3n),

где esssup берется по классу 971^ моментов остановки г таких, что п < г ^ N, и по Р-мартингалам Z Є 2f,f, где 2?п ~ класс тех положительных мартингалов Z = (Zk)k^.n> У которых Zo — ■ ■ ■ = Zn — lj или, равносильно, Zo — Pi■ = • • • = р„ = 1.

Множества 9Jtj^,       с А; < N удовлетворяют, очевидно, соотношениям

m^cmff_lt arrest,

играющим существенную роль при установлении свойства супермартин-гальности последовательности У — (Yn,3n)n^n-

Из определения esssup по множествам , 2^ вытекает (см., например, [75; гл. 1]), что найдется такая последовательность моментов tW и мартингалов Z    из этих множеств, что

esssup     E(fTZT І Зк) = 1ітГЕ(/т(о^, І &к), (7) где limt означает предел возрастающей последовательности.

Тогда, по теореме о монотонной сходимости,

EP(Yk | &к_г) = Ер (     esssup     E(fTZT | &к)

= Ep(limtEP(/rWZ« |Јk) I = IimtEp(/TW^)0|^k_1)

І

^     ess sup     Ep{fT~ZT I ^fc_і)

 

<       ess sup      Ep {fTZT3k-i) = Ffe_ і,

 

что и устанавливает супермартингальное свойство (Ер (Yk Зк-і Yk _!). Теорема доказана.

Замечание. Результат теоремы 1 может быть распространен и на тот случай "управлений с остановкой" когда вместо /т рассматриваются функ-

т

нионалы вида £ "fc &9к + /т, где <? = (д0, gigN) - некоторая послё-fc=i

довательность ^„-измеримых функций дп, а а — («і,..., cvjv) - "управление" принадлежащее достаточно "богатому" классу предсказуемых последовательностей. (В этой связи см. п. 2 в § 1а.)

§2с.  Полные и неполные рынки. II.

Основные формулы для цены хеджирования

1. Основная формула для пены С*(/дг; Р) хеджирования Европейского типа на безарбитражном (В, S)-рынке утверждает (§ 1с), что

 

C*(/jv;P) =   sup   Во Ер(1) рєз»(р) aN

Обратимся теперь к более сложному финансовому инструменту - хеджированию Американского типа на (В, 5')-рьшке, предполагая, что множество мартингальных мер S?(P) не пусто.

Как уже не раз отмечалось, при рассмотрении, например, опционов Американского типа приходится предполагать, что задана не одна платежная функция /дг, а целая система функций / = (fn)n^N, смысл которых состоит в следующем: если покупатель предъявляет опцион к исполнению в момент времени п, то соответствующая выплата (продавцом покупателю) определяется ^„-измеримой функцией /„ = /п(ш).

При этом, конечно, продавец опциона должен выбирать только такие стратегии 7г, для которых капитал X* = (XЈ)n^jy обладает тем свойством, что для любого момента остановки г = т(ш), выбираемого покупателем в качестве момента предъявления опциона к исполнению, должно быть выполнено условие хеджирования

 

X^fT (Р-п.н.), (2)

 

гарантирующее соблюдение продавцом контрактных условий.

2. Чтобы уточнить постановку соответствующих задач хеджирования, введем ряд определений.

Следуя § 2а, будем обозначать

ЯЛ^ = {г = т(ш): п ^ т{и) < N, ш Є fl}.

Если7г = (/3,7) - портфель ценных бумаг с/3 = (/3„)„<gjv, 7 — (j^n^N и капиталом

Х% — Рп Вп + 7п Sn >

n^N, (3)

то будем предполагать, что этот портфель является самофинансируемым в смысле выполнения следующего "балансового" условия

 

АХ% = рпАВп + 7n&Sn - АСп (4)

с некоторым неубывающим процессом С = (Сп)п^о таким, что Со = О иС„ - ^„-измеримы. (Ср. со случаем с "потреблением" в § 1а, гл. V.)

Для того, чтобы подчеркнуть зависимость капитала X* от "потребления" будем его обозначать (как ив § 1с) через Х*'С.

Определение 1. Будем называть верхней ценой хеджирования Американского типа (системы §-п-измеримых платежных функций /„, п ^ N) величину

C(/jv; Р) = Ы{х:3(тт,С)сХ0т'С =іи^с ^ /г (Р-п.н.), Vr Є 3<}-

(5)

Определение 2. Стратегия (тт, С) называется совершенной, если

Хп~'С > fn для ЛЮбоГО П < N и XN'° = /jv (Р-п.н-).

Теорема 1 ("основная формула для цены хеджирования Американско-

го типа"). Пусть ^(Р) ф 0 и / = (fn)n^N ~ последовательность не-

отрицательных платежных функции таких, что sup Ер-^- < оо,

n<JV.    р^С) "

Верхняя цена

/т х с- ^ р

рє^(р)

Применяя к этому мартингалу теорему Дуба об остановке (см. §3а, гл. V), находим из (9), что

 

sup Ее£<*' (10)

(7)

Подпись: С(/лг;Р)

sup

Рєза(Р),гєа«5'

 

Доказательство. Все необходимое для доказательства этой формулы было подготовлено предшествующим изложением.

Как и в случае хеджирования Европейского типа, установим сначала неравенство

sup        BQEp^^C(fN;P). (8)

 

Если множество хеджей пусто, то C(/jv; Р) = оо (по определению 1), и формула (8) тогда очевидна.

Пусть теперь 7Г - некоторый самофинансируемый хедж (с "потреблением" С) такой, что Xq'c = х < оо.

По аналогии с (9) из § 1с находим, что для всякого г Є %Kq

fT   .Х?>с     х     ,А     A/Sfc    ^ ACk Отсюда, в частности, следует, что

 

Поэтому, согласно утверждению 2) леммы из § 1с, гл. II, вытекает, что последовательность

 

является мартингалом относительно любой из мер Р є £?(Р).

и, следовательно, имеет место формула (8).

Более сложно доказывается, что в (8) справедливо и противоположное неравенство, для чего достаточно указать портфель 7? = (/3, -у) и "потребление" С такие, что для капитала Хп'с выполнены "балансовые" условия

 

АХ^6 = 0nABn + ynASn-ACn,    n^N, (11)

 

начальный капитал

XIе =        sup       А>Ер"^ <12) Рєза(Р),гєап5'

 

и (Р-п.н.)

Yn = ess рєЗ'Ср)

Xf'6>fT,  УтєЯ<. (13) С этой целью образуем последовательность Y — (Yn)n^.N с

 

sup ер("ЇГ

Из теоремы в § 2b следует, что по отношению к любой мере Р Є S*( Р) последовательность У = (Vn)n<JV является супермартингалом. А из теоремы из § 2d вытекает справедливость для супермартингала Y = {Yn)n^.n опционального разложения (Р-п.н. для каждой меры Р Є ^(Р))

 

fe=l k—l

с некоторой предсказуемой последовательностью у — (7n)n^n и неубывающей последовательностью С = (C„)„^jv такой, что Со = 0 и Сп -^„-измеримы.

Найдя из разложения (15) 7 и С, определим затем /3 = (/?«)«<£jv , полагая

Pn^Yn-jn^-. (16)

 

Для стратегии (ж, С) ее капитал

ХЇ6 = pnBn+jnSn, (17)

и, в силу (15), имеет место "балансовое" условие (И). Поскольку Х*'С = BnYni то из (14) для капитала Хп>с имеем следующее представление:

XI'6 =      esssup     Впц(^-^Л. (18) Реза(Р),гєа«^ '

Из этой формулы заключаем, что

начальный капитал стратегии (ж, С) определяется формулой (12);

стратегия (ж, С) является хеджирующей в том смысле, что Х*'С > /„, п ^ JV, или, равносильно, в смысле выполнения свойства (13);

стратегия (ж, С) обладает следующим свойством воспроизводимости: Х%'6 = fN (Р-п.н.).

Теорема доказана, и в процессе ее доказательства установлено также следующее предложение (ср. с теоремой 2 в § 1с).

Теорема 2 ("основные формулы для хеджирования, потребления и капитала"). Пусть выполнены условия теореми 1. Тогда найдется хедж ж = _(/?, 7) и потребление С такие, что соответствующий капитал Хп'с = РпВп +7nSn эволюционирует в соответствии с "балансовыми" условиями (11), при этом Х^,С определяется формулой (12), динамика Х*'^ определяется формулой (18), компоненты 7 = (7„) и потребление С = (С„) находятся из опционального разложения (15), а Р = Ш - из (16).

4. В связи с предположением "£^(Р) ф 0", сделанным в теоремах 1 и 2 этого параграфа, и предположением "безарбитражности" в теоремах 1 и 2 в § lb, отметим следующее обстоятельство (на примере хеджирования в опционах).

Обычное определение безарбитражности (см. определение 2 в §2а, гл. V) "привязано" к некоторому конкретному моменту N, который, скажем, в случае опционов Европейского типа является моментом предъявления опциона к исполнению.

В случае же опционов Американского типа приходится уже иметь дело не с конкретным моментом JV, а с целым классом 9Я$ моментов остановки т, и поэтому в теоремах 1 и 2 вместо предположения "££■( Р) ф 0" логичнее было бы предполагать, что рынок является безарбитражным в сильном смысле (см. определение 3 в § 2а, гл. V).

В рассматриваемом случае дискретного времени (п ^ N < со) и конечного числа акций (d < со) все эти понятия "безарбитражности^ "безарбитражности в сильном смысле" и "£^(Р) ф 0" равносильны согласно расширенной версии первой фундаментальной теоремы (§ 1е, гл. V).

Объяснение же того, что в формулировке теоремы предпочтение было отдано условию "£^(Р) ф 0" состоит в следующем.

Во-первых, условие "£^(Р) ф 0" часто можно проверить (в том числе и в случае непрерывного времени); во-вторых, термин "безарбитраж-ность в сильном смысле" не является широко используемым, и вопрос об эквивалентности различных определений "безарбитражности" и условия "£?(Р) ф 0" особенно в случае непрерывного времени, является далеко не простым. (См. по этому поводу далее § § 1а, 1с, гл. VII.)

5. С точки зрения продавца того или иного опциона Американского типа, его стратегия (ж, С) должна быть, прежде всего, такой, чтобы удовлетворялись контрактные условия. Это накладывает на капитал ХЖ'С то ограничение, что для каждого т Є 9JIq должно быть выполнено условие "хеджирования": X?'5 > /т (Р-п.н.).

Естественно теперь задаться вопросом о том, каким должен быть момент т = т(и>), в который покупателю разумно предъявлять опцион к исполнению.

Будем рассматривать случай безарбитражного полного рынка, что в интересующей нас ситуации (дискретное время п ^ N < со, число акций d < со) равносильно существованию единственной мартингальной меры Р ("вторая фундаментальная теорема").

Прежде, чем дать ответ на поставленный вопрос, переформулируем и уточним результаты теорем 1 и 2 для интересующего нас сейчас случая.

Теорема 3. Пусть Р - единственная мартингальная мера (|£^(Р)| = 1) и f = (fn)n^.N ~ последовательность неотрицательных

платежных функций с Ер-—— < 00, п ^ N.

Вп

1) Верхняя цена

момент остановки

 

С(/лг;Р)= sup BoEplf-гєая^ Br

(19)

T = min^n^N:Yn = ^ (27)

 

2) Существует самофинансируемая стратегия (5?, С), капитал которой Х"'° удовлетворяет "балансовому" условию

является оптимальным:

АХ^д = рп АВп + 7„ А - АС„; Х*'б=  sup В0Ер^ (=С*(/лг;Р));

(20) (21)

 

(22)

sup Е5^ = Ер^. (28) reared    вг В?

 

При этом момент т обладает тем свойством, что

Динамика капитала X*'0 определяется формулами Х*>б = i?nesssupE5f-^-

(23)

 

3) Компоненты 7 - (j„) uJJ = (Сп) определяются ид разложения Дуба супермартингала У = (Уп, Р)п^лг,

?„ =esssupE5(^-которое имеет следующий вид:

 

(24)

(25)

 

а компоненты /? = (/3„)„<gjv - из формул

Дп = Уп"7п|^

 

4) В задаче об оптимальной остановке

Xl'° = fr   (Р-п.н.), (29)

 

а последовательность (Уп)п<;лг является наименьшим Р-супермар-тингалом, мажорирующим последовательность [fn)n^N-

Доказательство. Утверждения 1)-3) следуют из теорем 1 и 2. Нужно лишь отметить, что в силу единственности мартингальной меры здесь нет необходимости обращаться к опциональному разложению, а достаточно воспользоваться непосредственно разложением Дуба супермартингала Y = (У„, 9п, P)n^N (см. § lb, гл. И):

 

У„ - Мп - Сп. (30)

 

Из "расширенного варианта второй фундаментальной теоремы" (§4f, гл. V) следует, что мартингал М — (Мп,Зп,Р) может быть представлен в виде

Mn=Y0 + pykA(^j, (31)

что вместе с (30) приводит к требуемому представлению (24).

Что же касается утверждения 4), то оно представляет частный случай результатов, сформулированных в следствиях 1 и 3 к теореме 1 в § 2а.

6. Обратимся теперь непосредственно к вопросу о "рациональности" "разумности" выбора покупателем момента т как того момента, в который следует предъявлять опцион к исполнению (на основании той текущей информации, которая содержится в потоке {&п)).

И покупатель, и продавец в своих действиях исходят из того, что определяемая формулой (19) ценаС(/лг; Р) есть взаимоприемлемая стоимость опционного контракта. (См. в этой связи п. 4 в § lb, гл. V.)

Рассмотрим все те стратегии (ж, С), которые имеют начальный капитал

Xq'c = C(/jv;P) и осуществляют хеджирование: ХЦ'С ^ /„, п < N. Будем класс этих стратегий обозначать П (С (/jv ; Р)). _

К этому классу заведомо принадлежит стратегия (ж, С), капитал которой обладает свойством минимальности:

fn^X^6^X^,    n^N, (32)

для.всякой стратегии (ж, С) Є n(C(/jv; Р)). Действительно, из "балансо-

вого" условия следует, что Yп = -~—, n ^ N, является Р-супермар-

Вп

тингалом, мажорирующим -^р-, п < N. А согласно утверждению 4) те-оремы 3, последовательность Yn, п ^ N, является наименьшим Р-супер-мартингалом, мажорирующим      п ^ N.

Тем самым, Yn < У „, га ^ N, что вместе с тем фактом, что

f        ~ Y*'C Jn < у _ "

Вп Вп

доказывает неравенства (32).

Из этих неравенств вытекает, что для всякого момента остановки т

fr^x?'5 ^х;&, (зз)

и, понятно, что покупатель опциона должен так выбирать момент т, чтобы для всякой потенциально возможной стратегии (ж, С) Є II(C(/jv; Р)) продавец не получил бы с положительной вероятностью "безарбитражный доход" Xj'° — /г > 0. Иначе говоря, покупатель должен использовать лишь только такие моменты остановки т, для которых

fT=X?>° (Р-П.Н.),  V(7f,C)=n(C(/JV;P)). (34)

Приведенная аргументация оправдывает следующее

Определение. Моменты остановки т, удовлетворяющие свойству (34), называются рациональными моментами предъявления опционов к исполнению. (Класс таких моментов обозначается 94^.)

Теорема 4. Всякий момент т, являющийся решением задачи об оптимальной остановке (26), есть рациональный момент. При этом момент т, определенный в (27), принадлежит 94^ и в этом классе является минимальным: т < т (Р-п.н.) для всякого т Є 94^.

Доказательство. Пусть {ж,С) = П(С(Дг; Р)). Тогда, учитывая Р-супермартингальное свойство последовательности У „ ~= —2— n < JV

ft            j-y           5             Ї

находим, что 71 С(/лг; Р) = X**5 > В0 >ВоЕр£-

= В0 sup Ep-^=C(/jv;P). reared вт

Тем самым,

 

tp вт -^в.

что умеете со свойством Х^'с ^ }т доказывает, что, на самом деле,

Х^г'С — }т (Р-п.н.), т.е. т есть рациональный момент. Свойство минимальности момента Т следует из [441; теорема 2.12].

Замечание. Полезно еще раз подчеркнуть, что решение задачи об оптимальнойостановке (26) одновременно дает и значение рациональной стоимости C(/jy; Р), и определяет рациональный момент г предъявления покупателем опциона к исполнению. При этом, как правило, нельзя по отдельности найти C(/jy; Р) или ?, и находятся они одновременно из решения задачи (26).

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010