В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1162437 человек которые просмотрели 20812094 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1442

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§2d.  опциональное разложение

1. Будем предполагать, что на фильтрованном вероятностном пространстве (П,^,(^„)п<Лг, р) с = {0, Щ заданы М-значный процесс X = {Xn)n^N иМ^-значныйпроцесс S = (Sn)n^N cSn = (Sn,...,Sn), согласованные с потоком (^„)„^jv, т.е. такие, что Хп и Sn являются &п-измеримыми для n ^ JV и г = 1,..., d.

Через £^(Р) будем обозначать множество таких вероятностных мер Р на ($7, 3-), что Р ~ Р, и относительно каждой из них процесс S является мартингалом. Предполагается, что £?(Р) ф 0. Меры Р Є &{Р) называются мартингальными (для S).

Что же касается процесса X — (Xn)n^N, то основное предположение будет состоять в том, что относительно каждой из мер Р Є £?(Р) он является супермартингалом.

Если рассматривать X по отношению к какой-то конкретной мере Р Є £^(Р), то, согласно разложению Дуба (§ lb, гл. П),

Хп=Х0 + М&-С<Р, (1)

гдеМ(р) = (М„Р),^„, Р)- мартингал и = (С„Р), &п_и Р) - неубывающий предсказуемый процесс, МдР^ = 0, СдР^ = 0. Компоненты М(р) и С^р) в разложении (1) зависят от рассматриваемой меры Р, что и подчеркивается введением в их обозначение зависимости от этой меры.

В приводимой ниже теореме дается иное, так называемое опциональное, разложение процесса X, интересное тем, что оно носит универсальный характер в том смысле, что компоненты этого разложения (см. (2)) одни и те же для всех мер Р Є £^(Р).

Теорема. Процесс X, являющийся супермартингалом относительно любой из мартингальных мер Р Є £?(Р), допускает (опциональное) разложение

п

Xn=X0 + J2 Ы, ASfc) - Сп,      п^ N, (2) fc=i

с предсказуемым Rd-значным процессом 7 = ("fk)k^.N и неубывающим процессом С = (Cn)n^jv с &п-измеримыми величинами С„.

Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что между разло-

жениями (1) и (2) есть принципиальная разница: в (1) величины Сп -Э"п--измеримы, а в (2) величины Сп - ^„-измеримы. Именно с последним обстоятельством и связано, как уже сказано, то, что разложение (2) называется опциональным.

Замечание. В рассматриваемом сейчас случае дискретного времени опциональность процесса С = (Cn)n^.N по отношению к (&n)n^N означает просто его согласованность или адаптированность с фильтрацией (•^n)n^JV) т-е- &п-измеримость величин Сп, п ^ 0. По поводу понятий опциональности см. § 5а, гл. III, и [250; гл. I, § 1с].

Первые версии сформулированной теоремы для случая непрерывного времени были даны, как уже отмечалось в § 1с, в работах [136] и [281].

Вскоре появилось несколько работ как для непрерывного, так и для дискретного времени ([99], [163]—[165]), в которых ослаблялись, в частности, предположения, сделанные в [136] и [281], и давались различные варианты доказательств.

Приводимое ниже доказательство следует схеме, предложенной в работах [163], [164] Г. Фёльмером и Ю.М. Кабановым, и основанной на идее получения величин 7^ в (2) как множителей Лагранжа для некоторой оптимизационной задачи с ограничениями. (Доказательство будет использовать также некоторые результаты из § 2е, гл. V.)

2. В соответствии с [163] и [164], требуемое разложение (2) будет установлено, если показать, что величины АХп = Хп — Хп—± для каждого п = 1,..., N могут быть представлены в виде

АХ„ = (ln,ASn)-cn (3)

с некоторой ЗРп—-измеримой К^-значной величиной 7„ и некоторой неотрицательной ^„-измеримой величиной с„.

Для получения такого представления для АХп, на самом деле, достаточно лишь только показать, что (при сформулированных предположениях наХи5) найдется 9п—-измеримая П^-значная величинауп такая, что

AXn-(ln,ASn) <0, (4)

поскольку тогда в качестве требуемой величины сп надо просто взять величину (7„, ASn) - АХп.

Заметим также, что если Р Є £?(Р), то

Ер|Д5„| < оо,    Ер(Д5„ | £•„_!) = 0 (5)

и

Ер|ДХ„| < оо,     Ер(ДХп | £-„_іК 0. (6)

~             ~ , dP

Если Р„ и Рп являются сужениями мер Р и Р на &■ с Zn = ———, то по

dPn

"лемме о пересчете" (§ За, гл. V)

Ер(Д5„ &n-i) = Ep(znASn &n-i), (7)

Ер(ДХ„               = Ер(*„ДХп | ?n-i), (8)

 

где zn = —        •

лп-1

Отсюда нетрудно увидеть, что требуемое утверждение (4) будет вытекать из следующего общего предложения (в котором надо будет положить £ = АХп и г) = ASn), имеющего и самостоятельный "чисто вероятностный" интерес.

Лемма. Пусть на вероятностном пространстве (Q, Р) заданы действительная случайная величина £ и W1 -значный вектор Т] = fo1,... ,„<*).

Пусть является о-подалгеброй 3, и Z - множество всех случайных величин z > 0 таких, что Р-п.н.

 

E(z|^) = l,      Е(|ф|0)<оо,      Е(|ф|^)<оо (9)

 

E{zt) | <S) = 0. (10) Если Z ф 0 и для всех z Є Z

 

ЕО£|*К0, (11)

 

то найдется <ё-измеримый M.d-значный вектор А* такой, что Р-п.н.

 

£ + (А*,т,)<0. (12)

 

Доказательство, а) Идея доказательства становится весьма прозрачной в том случае, когда $ является тривиальной ст-подалгеброй, т. е. ^ = {0, Я}. В этом случае искомый вектор А* является неслучайным и может быть выбран, как показывается ниже, "множителем Лагранжа" в некоторой оптимизационной задаче.

В том же случае, когда ст-подалгебра не является тривиальной, те же самые рассмотрения, но проводимые для "каждого ш" снова дают вектор А*, определенный, вообще говоря, неоднозначно, который уже будет зависеть от и>. И вся проблема после этого состоит в том, чтобы доказать, что возможен У-измеримый выбор А*.

Напомним, что такая же проблема уже возникала в § 2е, гл. V, при доказательстве расширенного варианта первой фундаментальной теоремы (при доказательстве импликаций а') => е) и е) Ъ)) и для ее решения привлекались некоторые общие результаты о существовании "измеримого селектора" (лемма 2 в § 2е, гл. V).

Та же техника может быть применима в рассматриваемой сейчас схеме и для доказательства существования ^-измеримого селектора А*. Отсылая за деталями соответствующих рассуждений к работам [163] и [164], отметим, что эта проблема измеримого выбора не возникает в случае дискретного пространства £2.

Ь) Итак, будем предполагать, что ^ = {0, Щ.

Обозначим Q = Q(dx, dy) - меру на №. х Rd, порождаемую величинами SnV = (r,1,...,r,d):

 

Q(dx,dx) = Р(£ Є dx,r) Є dy).

 

Без ограничения общности можно считать, что семейство случайных величин г)1,... ,rd образует (Р-п.н.) линейно независимую систему, т.е.

такую, что если при некоторых а1,... ,ad выполнено а1^1 -I             h adr)d = 0

(Р-п.н.), то а1 = • • • = ad — 0. В самом деле, в выражение (12) компоненты т?1,..., rf входят линейным образом, и если бы они образовывали линейно зависимую систему, то тогда проблема сводилась бы к рассмотрению вектора г) меньшей размерности.

Как ив §2е, гл. V, будем обозначать L°(Q) "относительную" внутренность замкнутой выпуклой оболочки L(Q) топологического носителя K(Q) меры Q.

Пусть х' = (х,у), х Є Rd, у Є Kd+1, и Z(Q) - семейство борелевских функций z — z(x') > 0 таких, что Eqz = 1, Eq|:z:'|z < оо. Обозначим

 

${Q) = {<p{z): tp{z) = Eqx'z, z Є Z(Q)}

 

- семейство барицентров (меры dQ' = z dQ).

Из леммы 1, §2e, гл. V, следует, что L°(Q) С Ф(0) (на самом деле, L°(Q) = Ф(О)) и если 0 ^ L° (Q), то найдется вектор 7' в Rd+1 такой, что

 

Q{x':(7',x')^0} = 1,     Q{x': (j',x') > 0} > 0. (13)

 

Для доказательства существования вектора А* со свойством (12) рассмотрим отдельно два случая:

(i)0ЈL°(Q), (ІІ) 0 Є L°(Q).

Случай (і). Согласно (13), найдутся числа 7 и 71,... ,r)d такие, что (Р-п.н.)

7£ + (7V + • • • + 7V) > 0 (14) и с положительной Р-вероятностью

 

7£ + (7У + • • • + 7 V) > 0. (15)

 

Покажем, что 7 / 0. В самом деле, если 7 = 0, то 71tj1 Н      1- ^dr)d > 0

(Р-п.н.). Поскольку, по предположению, существует мартингальная мера

Р ~ Р, относительно которой Е^(71т71 Н      1- jdr)d) = 0, то (Р- и Р-п.н.)

7 V + • • • + 7<У = 0.

В силу предполагаемой линейной независимости 771,..., r)d отсюда следовало бы, что 71 = ■ - • = 7d = 0. Однако, это противоречит (15).

Тем самым, 7 ф 0, и из предположения Ер£ ^ 0, ЕрТ?' = Ои (14) находим, что 7 < 0.

Ті

Полагая Л' = —-, і — 1,..., d, из (14) получаем неравенство

 

£ + (ЛУ + • • • + Л V) ^ о,

 

что и доказывает в случае (і) требуемое свойство (12) с А* = (Л1,..., Xd).

Случай (ii) несколько более сложен и именно для его рассмотрения будет использована идея из работ [163] и [164] обращения к "множителям Лагранжа"

Пусть

 

- компоненты барицентра <p(z). Обозначим

Zo(Q) = {zeZ(Q):<pr,(z) = 0}

и

Ф0(0) -                = fo>Ђ(*), ¥>„(*)): z Є Z0(Q)}.

(16)

Согласно условиям леммы, ^o(Q) / 0и

 

z є Z0(Q) =>■ ч>&) < 0.

Если 0 Є L°(Q), то, в силу уже отмеченного свойства, L°(Q) С <&(Q), и из § 2е, гл. V, находим, что существует zo Є Zo(Q) такое, что f^(zo) = 0. Поэтому в рассматриваемом случае (ii)

 

sup   щ{г) = 0, (17)

zЂZ0(Q)

что можно проинтерпретировать следующим образом: в предположении (ii) в оптимизационной задаче:

 

"найти /* =   sup   ^{z)n, (18) zЂZ0(Q)

 

значение /* равно нулю.

Следуя [163] и [164], переформулируем задачу (18) как оптимизационную задачу с ограничениями:

 

"найти /* =   sup f${z)

zЂZ(Q)

при дополнительном ограничениифт)(г) =0". (19)

Согласно принципам вариационного исчисления, решение задачи (19) должно быть равносильно, при некотором ненулевом векторе А* ("множитель Лагранжа"), решению следующей оптимизационной задачи:

 

"найти f* =   sup (^(2) +А>ч(г))п. (20)

zЂz(q)

(Для простоты записи здесь и далее скалярное произведение (а, Ь) векторов а и Ь обозначается а Ь.)

Приведем доказательство равносильности задач (19) и (20), что интересно и само по себе, хотя для наших целей вполне достаточно, на самом деле, только того, что в предположении (ii) имеет место неравенство

 

sup (¥>С(*)+А>Ч(*)) <0, (21)

zЂZ(Q)

по крайней мере, для какого-то ненулевого вектора А*. Пусть

А — {{х,у) Є К х Rd: х < <р$(г), у = ipv(z) для некоторого z Є Z(Q)}.

 

692

 

Гл. VI. Теория расчетов. Дискретное время

 

Это множество является непустым и выпуклым. При этом, в силу предположения (ii), точка (0,0) ^ А, и, значит, ее можно "отделить" гиперплоскостью от множества А, т.е. найдется ненулевой вектор А = (Ai,A2) € R х Rd такой, что

Ліг + Х2у < 0 (22)

для всех (х,у) из замыкания множества А. (См., например, [241; §0.1]; отметим, что и в случае (і) также, в сущности, были использованы идеи "отделимости".)

Заметим, что в множество А заведомо входят точки (х, 0) с любыми отрицательными значениями х. Поэтому в (22) Аі > 0.

Если, далее, предположить, что Лх = 0, то тогда из (21) найдем, что для любых z Є Z(Q)

 

EQ(Aa»)2r = A2EQy« = A2^4(z)<0. (23)

 

Поэтому, в силу произвольности z Є Z{Q), находим, что Х2у ^ 0 (Q-п.н.), т.е. X2ri ^ 0 (Р-п-н.).

Поскольку £^(Р) / 0, то для некоторой меры Р из &>{?) выполнено равенство ЕрАг?7 = 0i 410 вместе со свойством A2rj ^ 0 (Р-п.н.) приводит к линейной зависимости (А2?7 = 0), что было исключено сделанным выше предположением. Тем самым, А2 — 0.

Следовательно, если Ai = 0, то и А2 =0, что противоречит тому, что вектор (Аі, А2) в (21) является ненулевым.

Итак, заведомо Хг > 0.

А2

Положим А* = —. Тогда из (21) и определения множества А заключа-Ai

ем, что для любого z Є Z(Q) и любого є > 0

(^(г)-е) + А>,(г)<0. Предельным переходом по є —>■ 0 отсюда получаем неравенство

 

+ А>„(*К 0, z&Z(Q),

 

равносильное тому, что

2. Расчеты, связанные с хеджированием Американского типа 693 Заметим теперь, что очевидным образом для любого А Є Rd sup ((pz(z) + Xipr,(z)) >   sup   (tft(z) + (pr,(z))

=   sup   tfeiz). (25)

гЄ2Г0(С1)

Если выполнено свойство (ii), то правая часть в (25) равна нулю, а левая часть равна нулю при А = А*. Тем самым, в предположении (ii)

 

sup   (pz(z)=Q<=>-   sup (^(z)+A>4(z))=0,

zeZ0(q) zeZ{q)

что устанавливает эквивалентность задач (19) и (20) и интерпретируется следующим образом: в оптимизационной задаче (19) множитель Лагран-жа "снимает" ограничение ipv{z) = 0.

Вернемся к неравенству (24) или, равносильно, к неравенству

4>t{z) + *<pr,{z)^0,    zeZ(Q), (26)

которое перепишем в виде

EQz(x + Х*у) ^ 0,     z Є Z{Q).

В силу того, что пространство Z(Q) достаточно "богато" отсюда заключаем, что х + Х*у $5 0 (Q-п.н.), что и доказывает требуемое свойство (12) в предположении $ = {0, Щ.

В общем же случае, как уже отмечалось выше, надо вместо Q(dx, dy) рассматривать регулярные условные распределения

 

Q(w; dx, dy) = Р(£ Є dx, г) Є dy | Щш)

 

и проводить доказательство существования А* = А* (и>) для "каждого ш".

На заключительном этапе надо будет установить возможность выбора

^-измеримой версии А* =      w Є й, обращаясь к общим результатам

об измеримом выборе, примером которых может служить лемма 2 из § 2е, гл. V. Соответствующие детали см. в [163] и [164].

 

sup (y>Ђ(*)+А* <0.

(24)

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010