В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1162297 человек которые просмотрели 20810686 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1442

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ за. модель "больших" финансовых рынков

С понятием "больших" рынков и концепцией асимптотического арбитражами сталкивались в § 2d, гл. I, при изложении основных положений Арбитражной теории расчетов (APT), инициированной С. Россом.

Подобно тому, как теория Г. Марковитца (§ 2Ь, гл. I) базировалась на анализе среднего значения и дисперсии капитала разных портфелей ценных бумаг, так и в теории С. Росса асимптотический арбитраж определяется с помощью этих характеристик.

В настоящем разделе асимптотический арбитраж будет определяться несколько иначе и более соответствовать той концепции "арбитража" которая рассматривалась в § 2а, гл. V, и которая по своему духу более соответствует "мартингальному" подходу, пронизывающему все наше изложение.

Расширяя принятую ранее модель (Б, 5)-рьшка, состоящего из банковского счета В = (Вк)к^п и d-мерной акции S — {Sk)k^n с Sk — (S^,S%), заданных на некотором фильтрованном вероятностном пространстве

(«,ІМІ^п,Р),

будем сейчас предполагать, что имеется схема серий п-рынков (Bn,Sn) = (Вк, 5'fe)fc^fc(„)

с Ьк — (Ьк ,...,Ьк '), каждый из которых "действует на своем" фильтрованном вероятностном пространстве

(n",^",(^")fc<fc(n),p"). (1)

Предполагается, что п > 1 и Э$ = {0,fin}, ^" = ^(п), к{п) < со, d(n) < оо.

Поскольку основной наш интерес будет относиться к рассмотрению тех случаев, когда к(п) —у оо и/или d(n) —► оо при п —► оо, то именно в этом смысле и употребляется термин "большие" рынки.

Замечание. При рассмотрении схемы серий фильтрованных вероятностных пространств индекс п будет соответствовать номеру серии, а индекс А; будет играть роль временного параметра.

3. Пусть J"'"' — (-X"^n^)fc^fc(n) -капитал некоторого самофинансируемого портфеля 7г(п) на (Вп, З^-рынке.

Напомним, что, согласно принятому изложению, предполагается, что величины В% положительны и г -измеримы. Как это уже объяснялось в конце § 2Ь, гл. V, без ограничения общности можно полагать В" = 1, что соответствует переходу к рассмотрению дисконтированных цен. В этом случае

xl(n) =х£(п) + £>Г, AST), 1=1

гле(7Г,А5Г)= eV'^ST'-

i=l

Определение 1. Б удем гов орить, что в схеме серий (В, 3) = {(Bn,Sn), п ^ 1} n-рынков {Bn,Sn) последовательность стратегий 7г = (7г(п))п^і реализует асимптотический арбитраж, если

 

HmXo"(n)=0, (2)

П

<(п)^-сН (Р"-п.н.), (3) где 0 < с(п) і О, п —»• оо, и

ЪтШРп(ХГ№2е)>0. (4)

є4.0   п        4 KW

 

Если пользоваться введенными обозначениями и понятиями, то можно сказать (несколько обобщая рассмотрения в § 2d, гл. II), что асимптотический арбитраж в APT имеет место тогда, когда найдутся подпоследовательность (п') С (п) и последовательность стратегий (ж(п')) такие, что *•<»'> = О, ЕХ$$ -+ сх>, DX$$ - 0, п' -> оо.

Данное выше определение асимптотического арбитража (4) с "мартин-гальной" точки зрения является более предпочтительным и более удобным, нежели определение теории APT, что может быть объяснено следующим образом.

Во-первых, определение (4) можно рассматривать как естественное обобщение принятого ранее (§ 2а, гл. V) определения арбитражных возможностей, которое, как мы знаем из первой фундаментальной теоремы, самым непосредственным образом связывает "Теорию арбитража" с "Теорией мартингалов и стохастическим исчислением'!

Во-вторых, в случае определения (4), а также и ряда других родственных определений (см. [260], [261], [273]), удается получать эффективные критерии отсутствия асимптотического арбитража, выраженные, в том числе, в терминах таких объектов, хорошо известных в статистике случайных процессов как "интеграл Хеллингера" "процесс Хеллинтера" (см. [250; гл. V]).

4. Определение 2. (В,§)-рынок, представляющий совокупность {(Вп, Sn), п ^ 1} n-рынков, называется локально безарбитражным, если для каждого п > 1 рынки (Bn,Sn) являются безарбитражными (§2а, гл. V).

Основной вопрос, рассматриваемый ниже, состоит в отыскании условий, при которых в локально безарбитражном (В, §)-рынке не возникает асимптотический арбитраж (в смысле данного выше определения 1).

Возникновение асимптотического арбитража при п оо может быть обусловлено разными причинами: за счет увеличения числа акций (d(n) -4- со), за счет увеличения временного интервала (к(п) —¥ со; см. пример 2 в § 2Ь, гл. V), за счет того, что может нарушаться "асимптотическая эквивалентность мер" Появление асимптотического арбитража может быть связано и с комбинационным действием названных причин.

В связи с упомянутой "асимптотической эквивалентностью мер" а также соответствующими асимптотическими понятиями "абсолютной непрерывности" и "сингулярности" последовательностей вероятностных мер, отметим, что они допускают точную формулировку с привлечением понятий "контингуальности" и "полной асимптотической разделимости" (см. [250;гл. V], где описаны также и критерии их выполнимости в терминах интегралов и процессов Хеллингера).

На важность этих понятий для проблем асимптотического арбитража на больших рынках впервые было указано в работе Ю.М. Кабанова и Л. О. Крамкова [261], в которой были введены понятия асимпотинеского арбитража первого и второго рода. (Введенный в определении 1 асимптотический арбитраж совпадает, в сущности, с асимптотическим арбитражем первого рода.) Значительное продвижение в теории асимптотического арбитража было затем получено в работах И. Клейн и В. Шахермайера [273] и Ю. М. Кабанова и Д. О. Крамкова [260].

 

§ЗЬ. Критерии отсутствия

асимптотического арбитража

1. Пусть JC^") = (Х£^)k^k(n) ~капитал некоторого самофинансируемого портфеля 7г(п) на (В", 5п)-рьшке с     = 1:

fc

хп(п) = Х^П) + £(7„ j AS?) (1)

1=1

Если Qn - некоторая мера на (Пп, &п) такая, что Q" < Р", то по "формуле Байеса" (формула (4) в §3а, гл. V) находим, что (Q"-n.H.)

EQ" «5 I *f) = ^Ер" «„n,}^(») I (2) fc

 

dOn

где ZЈ = —Qfc - Q" I       Pfc = P" I     • (Предполагается, что услов-

ное математическое ожидание в левой части (2) определено.)

Будем предполагать, что каждый n-рынок (Bn,Sn), п ^ 1, является безарбитражным и, следовательно, в соответствии с первой фундаментальной теоремой (§§ 2Ь, 2е, гл. V) семейство мартингальных мер 3»(РП) ф 0.

Пусть Р" Є 5*(Р") и 7г(п) - стратегия, для которой

 

Ер-«5)"<<»- (3)

Тогда, в силу леммы из § 1с, гл. II, находим, что последовательность v-ff(n) _ (х?(пЛ        ч относительно меры Р" является мартингалом.

V   fc /fc^fc(n)

(4)

Значит, Е?„ Х#$ | < со и для к < к(п)

 

Хк     - tp„(Afc(n) &к ).

Понятно, что ЕРп X^Z^(n) | = ЦпХ$$ | < со, и, в силу (2) и (4),

Xl^Zl = ЕРп (ХІ$Щ(п) I        (P"- и P"- н.н.). (5)

Таким образом, предположение (3) обеспечивает в рассматриваемом случае дискретного времени к ^ к(п) < оо, что

/уФ)  а;п рп      (уп(.п)уп  <жп рп

[Лк     ,#y.,V  jfc<fc(n)   и   (Лк      Лк,&к,Г )к<к(п)

являются мартингалами. (Ср. с леммой в § 3d, гл. V.) В частности,

Х?п> = ЩьХ$1 (6)

х^п) = ЕРпхЦ:]г^п). (7)

Каждое из этих равносильных соотношений может быть использовано для получения условий того, что рассматриваемая стратегия 7г(п) является безарбитражной, а последовательность стратегий 7Г = (7г(п))п^х ~~ асимптотически безарбитражной. (Отметим, что, в сущности, именно эти соотношения и были использованы в § 2с, гл. V, при доказательстве "достаточности" в первой фундаментальной теореме.)

Замечание. Лля справедливости формул (4)-(7) нет надобноститре-бовать, чтобы Р" ~ Р". Для их выполнимости достаточно лишь условия pn ^ рп Однако свойство Р" <S. Р" все равно приходится предполагать выполненным, если выводить отсутствие арбитража, скажем, из (7).

Действительно, пусть стратегия 7г(п) такова, что Xq^ = 0, Xk^ ^ О

(Р"-п.н.), и А = {Хк^ > О}. Тогда из (7) ясно, что ничего нельзя ска-

зать о вероятности Рп (А) множества А, если на этом множестве ^£(п) = О-

Поэтому-то для заключения из предположения Р" (Хк^ 5= 0) = 1 и ра-

венства 0 = Ep"Xk$ZЈ(n) того свойства, что Рп{Хк$ = 0) = 1, и

приходится предполагать, что Р"    > 0) = 1. (Согласно утвержде-

нию f) теоремы из § За, гл. V, отсюда вытекает абсолютная непрерывность

рп ^ рп )

Тем самым, заложенное в понятии мартинг альной меры Рп требование ее эквивалентности мере Р" обеспечивает, в частности, свойство

0<^(п)<со (Рп-п.н.). (8)

2. Отыскание критериев отсутствия асимптотического арбитража начнем для простоты со "стационарного" случая, понимая под этим, что (B,S) = {(Вп, Sn), п ^ 1}-рынок имеет следующую специальную структуру.

Существуют вероятностное пространство (П, 3", (&к)к^о, Р)><^ = V &к и (d + 1)-мерный процесс (В, S) = (Вк, Sk)k^o, гйе Вк - &к-і-измеримы, Sk — (Sk,...,Sk) - -измеримы и такие, что каждый из п-рынков (Bn,Sn) = (Bk,Sk)k<k{n)ck(n)=n.

Понятно, что (пользуясь языком "схемы серий") можно считать, что рынок (Bn,Sn) задан на "своем" вероятностном пространстве

(fi,^n,(^fcn)fc<n,Pn), Для которого $п = 9п, = &к, к < п, и Р" = Р&п.

По-другому, можно сказать также, что в "стационарном" случае число акцшЫ(п)неменяетсясп (d(n) = а!)икаждый(п-|-1)-йрьшок (Вп+г, Sn+1) есть "продолжение" п-горынка(Бп,5'п).

Будем обозначать через Р = {(Рь)ь^і} семейство последовательностей (Pfc)fc>i мартингальных мер Pjt, обладающих свойством согласованности:

Pfc+i|Јifc=Pfc,*>l-

Для каждой такой последовательности мер (Pfc)jt>i определим сопутствующую последовательность Z = (Zk)k^o производных Радона-Нико-dPk

аюла.гк = ——, к ^ 1, Z0 = 1. aPfc

Пусть

Zk={zk:Zk = ^±, PfcЂ5>(Pfc)J

и

Zoo = |^оо:^оо =Um^-, (РЬ)ь^і ЄР|.

Заметим, что хотя и не предполагается существование меры Р на (П, &•) такой, что Pfc = Р | &к, тем не менее, в силу свойства Pfc+i | 9к = Рк, последовательность {Zk,&k)k^o относительно меры Р является (положительным) мартингалом. Поэтому по теореме Дуба о сходимости (§ За, гл. V) Р-п.н. существует lim Zk (= Zoo), при этом 0 ^ БД» ^ 1.

Теорема 1 ("стационарный случай"). На локально безарбитражном рынке (B,S) = {(Bn,Sn), п ^ 1} условие

lim Inn inf P(Zk < є) = 0 (9) £4-0 fc zkezk

является необходимым и достаточным, а условие

lim   inf   P(Zoo < є) = 0 (10)

- достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство достаточности условия (9) сравнительно просто и приводится ниже. (Достаточность условия (10) будет следовать из того, что (10) =Ф (9).) Доказательство необходимости несколько сложнее. Оно опирается на некоторые результаты о контпигуалъности вероятностных мер и дается в следующем § Зс (п. 9).

Пусть (Pn)n^i Є Ри7г = {к(п))п^і - последовательность стратегий на (В, §) = {(B",Sn), п ^ 1}-рынке, удовлетворяющих условию (3) из §3а. Тогда выполнено условие (3), и, значит, имеет место свойство (6), которое в рассматриваемом "стационарном" случае принимает вид

Х%(п) = EZnX^n). (П) Беря є > 0, отсюда находим, что

 

Еад:<"> = EZnXZ(n) [l(-c(n) ^ х<п) < о)

+1(0 ^ X^n) < е) + I{XZ{n) 5* є)]

-c(n) + EZnX<n4{Zn > e)I(XZ^ > є)

>             -с(п)+є2Р(Х^ > є, Zn > є)

-с(г») + є2[Р(Х^ >e)-P(Zn< є)],

 

и, значит,

Х^п) + с(п) + e2P{Zn < є) > є2Р(Х^ > є). (12)

Если выполнены условия^) и (3) из § За, то из (12), в силу произвольности последовательности (Pn)n^l Є Р, видим, что

 

ІітІшТ  inf  P(Zn <є)> 1ітШпР(.УГ(п) > є). (13)

 

Отсюда ясно, что при наличии предположения (9) и, очевидно, условия (10), последовательность стратегий ж = (тг(п))п^і со свойствами (2)-(4) из § За не может реализовывать асимптотический арбитраж.

Следствие. Пусть (P„)n^i - некоторая последовательность из Р

                dPn

и Zoo — lun -jp—- Тогда условие P(Z<X > 0) — 1 гарантирует отсут-ствие асимптотического арбитража.

3. Перейдем к рассмотрению общего случая, считая, что каждый из безарбитражных п-рынков (Bn,Sn), n > 1, задан на "своем" фильтрованном вероятностном пространстве

 

(nn,^n,(^,)fc<fc(„),p-)

 

с ^fc(n)    ^ ■

Если Pfc(n) ~ некоторая мартингальная мера,

 

~ dPn рп     ^ рп      „ 7»    _ fc(") Kfc(n) ~ Kfc(„)   И ^fe(n) - "г™— ,

flKfc(n)

 

то аналогично (12) находим, что

 

*0«(я> + с(п) + є2 Р - (2?(п) < е) > е2 Р» (Х#> > е). (14)

^fc(n) = Zk{ny Zk(n) = jpn" > Pfc(n) Є ^(PfcCn)) f •

І-             ark(n) J

 

Обозначим

 

arfc( эп

*(«)

Теорема 2. Пусть (B,S) = {{Bn,Sn), n > 1} - "большой" локально безарбитражный рынок. Условие

lim Em      inf     Pn(ZЈfnl <є) =0 (15)

*(") *(")

является необходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство достаточности условия (15) следует из (14) так же, как и в "стационарном" случае. Доказательство необходимости см. в п. 9 следующего § Зс.

 

§3с. Асимптотический арбитраж и контигуальность

1. Из всего ггредшествуюшего изложения в этой главе, относящегося к теории арбитража, понятно, сколь значительна в этой теории роль проблематики "абсолютной непрерывности вероятностных мер" Нижеследующее изложение показывает, что для теории асимптотического арбитража ключевую роль играет понятие контигуальности вероятностных мер, являющееся одним из важных концептуальных понятий в асимптотических вопросах математической статистики.

Чтобы ввести понятие контигуальности наиболее естественным путем, рассмотрим сначала "стационарный" случай (см. п. 2 в § ЗЬ для определения и обозначений).

Пусть (Pn)n^i ~~ некоторая последовательность (согласованных) мар-тингальных мер из Р. Предположим, что на (П, существует также мера Р такая, что Р | Э"п = Р„, п ^ 1.

Напомним (см. §3а, гл. V), что меры Р и Р назывались локально эквивалентными (Р 1~ Р), если Рп ~ Р„, п ^ 1.

Важно при этом подчеркнуть, что из свойства Р '~ Р не_следует, вообще говоря, ни одно из следующих свойств: Р <JC Р, Р <g Р, Р ~ Р. Согласно следствию из предыдущего параграфа, если

 

P(Zoo  > 0)  = 1, (1)

 

где Zoo = limZn, Zn —    ", то асимптотический арбитраж отсутствует. аРп

Согласно импликациям (і)       (Ні) в теореме из § За, гл. V, условие (1)

равносильно (в рассматриваемом предположении Р *~ Р) тому, что Р <С Р. Таким образом, условие Р 4С Р (как, разумеется, и условие (1)) может

рассматриваться как именно то дополнительное (к свойству Р ~с Р) требование на поведение вероятностных мер п-рынков, которое препятствует появлению при п —> со асимптотического арбитража.

В том же случае, когда на (П, (^n)n^i) с & — V &п отсутствует мера Р со свойством Р | &п = Pn, п > 1, для формулирования соответствующего аналога утверждения

 

P(Zoo > 0) = 1         Р « Р (2)

важным оказывается следующее

Определение 1. Пусть на измеримых пространствах (Еп, S") заданы вероятностные меры Qn и Q™, n ^ 1.

Последовательность мер (Qn)n^i называется контигуальной по отношению к последовательности (Qn)„^i (обозначение: (Qn) < (Qn)), если для всех последовательностей множеств А" Є §п со свойством Qn(An) —» 0, п -» со, имеет место также и свойство Qn (Ап) -¥ 0, п —» со.

Замечание 1. Когда пространство (EnlSn) и меры Q™ и Q" не зависят от п ((Еп, Sn) = (Е, i), Q" = Q, Q" = Q), свойство контигуальности (Qn) < (Q") превращается в обычное свойство абсолютной непрерывности Q «: Q мер Q и Q на (Е, S).

Теорема 1 ("стационарный" случай). Пусть (Р„) - некоторая последовательность мартингальных мер из Р. Тогда

 

P(Zoo > 0) = 1  (Ря) < (Р„). (3)

 

Выполнение условия контигуальности (Рп) < (Рп) гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

Если (Рп) ~ единственная мартингальная последовательность, то условие (Рп) < (Рп) является необходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа и приводимой ниже леммы 1, содержащей некоторые полезные критерии контигуальности, для формулировки которых понадобятся дополнительные обозначения и определения.

2. Пусть Q и Q - две вероятностные меры на измеримом пространстве

(Е, S) и Q = |(Q + Q), 3     ^==, Ь — -=^, Z = -. (Версии производных

dQ        dQ З Радона-Никодима з и j~ могут быть выбраны так, что 3+3 = 2.)

Напомним теперь, что, согласно разложению Лебега (см., например,

[439; гл. III, § 9]), мера Q может быть представлена в виде

 

Q = Qi+Q2,

 

где меры

Qi(A) = EqZIa,    Q2(A) = Q(A n (Z = 00)). Поскольку Q(Z < 00) = 1, то Qi «: Q и Q2-LQ.

Подпись: являютсяТаким образом, Z есть не что иное, как производная Радона-Никодима абсолютно непрерывной компоненты меры Q по мере Q. ^Именно в этом

dQ

смысле следует понимать используемое для Z обозначение -J Определение 2. Пусть а Є (0,1) и

B(a;Q,Q) = EQ3a31-a, (4) H(Q,Q)=h(±;Q,q), (5)

p(Q,Q) = y/l-B(Q,Q). (6)

Величина Н(а; Q, Q) называется интегралом Хеллингера порядка а между мерами Q и Q, Н(Q,Q) - интегралом Хеллингера, ap(Q, Q) -расстоянием Хеллингера между мерами Q и Q.

Доказывается (см. [250; гл. IV, § 1а]), что значение Н(а; Q, Q), на самом деле, не зависит от выбора доминирующей меры Q. Это свойство объясняет часто используемую символическую запись

tf(a;Q,Q)= [ (dQ)a (dQ)1'", (7)

j Е

H(Q,Q)= f JdQdQ, (8)

j e

p(Q,Q) = ^JE(VdQ-yfd^y. (9)

Пример. Пусть Q = Qi x Q2 x • ■ •, Q = Qi x Q2 x ■ • •, где Qfc и Qfc -гауссовские меры на (Ш, 38(Ж)) с плотностями

о-к

2

 

л/2тг

1

 

Тогда

H(a;Qk,Qk) - f{dQk)a{dQk)l-a = f(jj^j dQk

=/?w^,^=e!p{-^(^)2}

и,следовательно,

(10)

 

я,«;д,0)^{-2<1^|(^)2}.

 

Лемма 1. Пусть (Еп,§п) - измеримые пространства, наделенные вероятностными мерами Q" и Qn, п ^ 1. Следующие утверждения

/       dOn              dQn      1              ~

равносильными (j» = -g^, Z" =               Q" = -(Q"+Qn)J:

(Qn) < (Q»);

urnEm Qn(3" < є) = 0;

£4.0 n

lim Urn Qn(Zn > N) = 0;

iVfoo n

limumff(a;Q",Qn) = 1.

«•Ю „

Доказательство леммы см. в [250; гл. V, лемма 1.6].

Доказательство утверждения (3) в вышеприведенной теореме 1 следует непосредственно из эквивалентности утверждений а) и с) в лемме 1, применяемой к Q" = Р„ и Q" = Р„:

 

(Р«) < (Рп) <*=>•   Urn lim Р> N) — 0 *Т°° п     dPn )

НтШп Р%^- < є ) = 0 Є4.0 п     dPn )

limP(Zoo < є) = 0        Р(200 > 0) = 1,

 

dP„

где Zoo есть lim -=р-, существующий Р-п.н. dPn

Утверждение об отсутствии асимптотического арбитража при выполнении условия контигуальности (Р„) < (Рп) вытекает из следствия к теореме 1 из § ЗЬ и установленного свойства (3).

3. Обобщение теоремы 1 на общий ('Нестационарный") случай не вызо-вает каких-либо затруднений.

Будем придерживаться схемы, изложенной в п. З в § ЗЬ.

Теорема2. Пусть (Р£(п))п>1 - некоторая "цепочка" мартингаль-

ных мер на (Bn,Sn)-рынках (Рцп) ~ Pfc(n))-

Условие (Pfc(„)) < (Рц„)) гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

Доказательство. Из равносильности условий а) и с) в лемме 1 заключаем, что

(Pfc(„)) < (PJ?(„))        limi^ P"(Zfc"(n) < є) = 0, (11) г«3?(») = Sp?1^ напомним, P» n) = P" |^(n).

fe(n)

Требуемое утверждение об отсутствии асимптотического арбитража при выполнении условия контигуальности(Рцп^) < (P^nj) следует из (11) и теоремы 2 из § ЗЬ.

4. Ло сих пор условия отсутствия асимптотического арбитража формулировались в терминах асимптотических свойств отношений правдоподобия ^ь(п) (теоремы 1 и 2 в § ЗЬ) или в терминах контигуальности (теоремы 1 и 2 в настоящем параграфе). Приведенная выше лемма 1 в качестве необходимого и достаточного условия контигуальности (Qn) < (Qn) дает условие, выраженное в терминах асимптотических свойств интегралов Хеллингера порядка а Є (0,1):

 

(Qn) < (Qn)         lim lim Я(а; Q", Q") = 1. (12)

 

В ряде случаев оперирование с такими интегралами не представляет трудностей и быстро приводит к установлению отсутствия асимптотического арбитража. (См. далее примеры в п. 5.)

В этом смысле простейшим является случай "прямого" произведения мер.

Именно, будем предполагать, что

Еп = Е" х ■■■ х S»(n)> S" = g? х ... х й»(п), Q" = Q? х .-. х Q»(n),    Q» = QJ х .. х Q»(n),

 

где Qfe и QJJ - вероятностные меры на (££,<?£).

Ясно, что в таком случае

*(»)

Я(а; Q",Q") = ЦЩа;С%,С%) fc=i

fc(n)

= nti-(i-^(«;Qfc'Qfc))] (із)

 

и

                *(")

limlim#(a;Qn,Qn) = l <^ lim lim V (l -#(a;QЈ,QЈ)) = 0. (14) Тем самым, в рассматриваемом случае "прямого" произведения

                 *(»)

(Q") < (Q») «=► lim lim У) (l - Я(о; QJ, QЈ)) = 0. (15)

 

5. Приведем некоторые примеры, с одной стороны, показывающие эффективность критериев отсутствия асимптотического арбитража, основанных на интегралах Хеллингера порядка а, и, с другой стороны, проясняющие рассуждения и выводы теории apt, изложенной в § 2d, гл. I. Примеры 1 и 2 являются частными случаями примеров, рассмотренных в работе [260].

Пример 1 ("большой стационарный" рынок с d(n) = 1 и к(п) — п). Будем считать, что имеется вероятностное пространство (ft, , Р), где U = { —1,1}°° - пространство двоичных последовательностей х = (xi, х2, ■ ■ ■) с хі = ±1, мерой Р такой, что Р{х: (ж1;... ,х„)} = 2~п. Пусть Єі{х) = хі, і = 1,2,... . Тем самым, є = (є, є2, ■ ■ ■ ) есть последовательность бернул-лиевских случайных величин Р(єі = ±1) = .

Каждый (Бп,5п)-рьшок, действующий на (П,^"",РП) с &п = &п = <т(єі,...,є„) и Р" = Р3;п, предполагается таким, что В£ = 1 и 5" - (5і,...,5„),гда

 

5fc = 5fc_i(l+pfc),    5о = 1, (16)

срк - Mfc+o-jtЈfc,tTit > 0,max(-<7fc,<7fc-l) < < ак. (Ср. с условием (2) в § Id, гл. V.)

(17)

Перепишем (16) в виде

 

Sk = Sk-1 (l + <7fc(Јfc - bk))

 

с t»fc — —(/ifc/o-fe). (Заметим, что |6fc| < 1.)

Из (17) и теоремы 2 в § 3f, гл. V, вытекает, что в рассматриваемом случае существует и притом единственная мартингальная мера, имеющая структуру прямого произведения, Pn = Р? х Р£ х • • • х Р£, относительно которой величины єі, е2,..., єп независимы и

(l+fefc)" + (l-6fc)» 2

Рп(ек = 1) = |(1 + Ьк),    P"(Јfc = -1) = 1(1 - bk). Поскольку

(18)

Jt=i

(l+frfc)a + (l-bfc) 2

(Pn) < (Pn) ^limlimTT

aiO ~r- XX

Я(а;Р",Р")= Л то из (12) и (15) выводим, что

fc=l

П r

1-

 

= 1

 

(l + bk)a + (l-bk)a

lim lim У

а4.0   n '

fc=l

 

Отсюда нетрудно заключить, что

 

оо

(p») < (p») <=> £ ь» < ^

fc=l

 

Вспоминая, что 6fc = — —, и применяя теорему 1, находим, что условие

И I ~ I < со является необходимым и достаточным для отсутствия fc=l"к /

асимптотического арбитража на рассматриваемом "большом стационарном" рынке.

 

Пример 2 ("большой" рынок cfc(n) = lnd(n) = п). Будем рассматривать одношаговую модель (Вп, 5п)-рьшков, предполагая, что Вп = (Вк), Sn = (S°k, Si,..., S^-1), где к = 0,1 ниц — вї = 1. а

 

Sl^Stil+p*),    Sl0>0,     (19)

с

р° = ^о + о-ого,               (20)

= Ці +(Ті(сієо +СіЄі),  і>1-            (21)

 

Предполагается также, что <tj > 0, с* > 0, cf + с? = 1 и є = (єо> Јi> ■ • •) - последовательность независимых бернуллиевских случайных величин, принимающих два значения ±1 с вероятностями |.

В связи с теориями САРМ и APT полезно сейчас представлять Sk, г ^ 1, как стоимость некоторой акции в момент к, торгуемой на "большом" "глобальном" рынке, a Sk - как индекс этого рынка (скажем, индекс S&P500 на рынке акций тех пятисот компаний, по которым составляется этот индекс; см. п. 6 в § lb, гл. I).

Пусть/Зі = -і-5-, t ^ 1,

 

Ьо = _л>   Ьі = ^рм^ (22)

СТО °~ici

причем |6о| Ф 1, i ф,г^.

В этих обозначениях из (19)—(21) находим, что

 

S? = S8(l-rOto(eo-fto))> (23)

 

и для і ^ 1

si = So(l + <W^o - Ьо) +<тісі(єі ~ к))- (24)

Если следовать изложенной выше "схеме серий" (Вп, Sn)-рынков, то можно считать, что каждый из них определен на вероятностном пространстве (П,^п,Р"),где ^" = а(є0,єі,...,єп-г), Рп = Р | &п и ft, Р те же, что и в предыдущем примере.

Из (23) и (24) легко устанавливается, что в рассматриваемой схеме для каждого п ^ 1 заведомо существует (по крайней мере одна) мартингальная мера. Действительно, в качестве такой меры можно взять меру Р"

(снова имеющую структуру прямого произведения), устроенную так, что относительно нее величины єо,£, ■ ■ ■ ,єп-і независимы,

 

Рп{єі = 1) = і(1 + bi),    Pn(Јi = -1) = |(1 - bt).

(l + bi)a + (l-bi)a 2

(25)

 

Непосредственно видим, что

П-1 г

 

Я(а;Рп,Рп)= П

»=0

 

Как и в предыдущем примере, отсюда заключаем, что

Пример 3. Рассмотрим "стационарный" логарифмически-гауссов-ский (§3с, гл. V) рынок (B,S) = {(Bn,Sn),n > 1} с В% = 1, 5п = (50,51,...,5п),где

Sk = S0ehi+-+h*,     S0>0. (27)

Предполагается, что hk = Рк + сгк^к, к ^ 1, где (єі,£2,- ■ ■) ~последо-

вательность независимых нормально распределенных, JY(Q,1), случайных

величин, заданных на вероятностном пространстве         Р), и ак > О,

к pi.

Пусть &п = <т(єі,..., £„), Рп = Р|^п, п > 1. В §3с, гл. V, было показано, что если

 

(Pn)<(Рп)

 

 

< ОО

Zn — ехр

{-Е(* + ?Ь + ї£& + т)г ™

i=0

и, следовательно, в силу теоремы 2 условие

2

(26)

/ РоРі ~ РіУ £Д     O-iCi J

отсутствие асимптотического арбитража. (Ср. (26) с (4) в §2с, гл. I, и (19) в §2d, гл. I.)

Замечание 2. Следует подчеркнуть принципиальную разницу в рассмотренных примерах. В первом из них, где временной параметр к ^п, существует единственная мартингальная мера Рп, что и дало возможность

утверждать (в силу теоремы 1), что условие £ ( — )   < 00 является не-

обходимым и достаточным для отсутствия асимптотического арбитража.

Во втором же примере, где п играет роль номера серии, мера Р" не является единственной для п ^ 1, что и поясняет то, что условие (26) является лить достаточным для отсутствия асимптотического арбитража. ^Как показывается в работе [260], необходимым и достаточным является

условие lim[min(l + bi, 1 — bi)] > 0.) то по мере Р„ с dPn = Zn dPn последовательность цен {Sk)k^n образует мартингал, при этом Law(/ife | Р„) = Jf(pk, °~к) с

 

°к       и / Рк = -у, к^п.

Отсюда легко найти, пользуясь формулой (10), что

2>

(29)

Ща; Pn,Pn)=exp|          —^J- + Yj у

 

Из (12) следует, что

оо   ,      2

(p») < (Р-)    Е   + у) < х>

 

и, значит, из теоремы 1 вытекает, что условие

2 < оо (30)

 

гарантирует отсутствие асимптотического арбитража.

Замечание 3. Если — + ^ = 0, т.е.

Ok 2

 

/* = -у> (3D

то исходная вероятностная мера Р является мартингальной для последовательности S -{Sk)h^o-

Отметим, что условие (30) является также необходимыми достаточным для (Pn) < (Р"). Тем самым, это условие необходимо и достаточно для взаимной контигуальности последовательностей мер (Р") и (Рп), обозначаемой (Рп) <> (Рп).

6. Краткоостановимсянапонятииполмой асимптотической разделимости, являющейся естественным "асимптотическим" аналогом понятия сингулярности.

Определение 3. Пусть на измеримых пространствах (Еп, §п) заданы вероятностные меры Qn и Qn, n ^ 1.

Говорят, что последовательности (Qn)n^i и (Q")n>i удовлетворяют свойству полной асимптотической разделимости (обозначение: (Qn) Д (О")),есяисуществуетподпоследовательностьп(і; | со при к too и длякаждогойсуществуютмножестваА"* Є §Пк такие,чтоQn*(An*) —> 1 и(3"*(Лп*) -> 0 при fc t оо.

Лемма 2. Пусть {Еп,§п) - измеримые пространства, наделенные

вероятностными мерами Q" и Qn, n ^ 1. Следующие утверждения

(       dQn             dQn -„    1,       ~ Л

являются равносильными   j" = -^j-, Zn = ——, Q   = -(Qn + Qn) 1:

V       dQ               dQn      24 )

(P") Д (P»);

limQ"(3n > є) = 0 для всех є > 0;

Ті

timQn(Zn < N) = 0 для всех N > 0;

П

limlim#(g;Qn,Qn) = 0; aio „

lim Я (a; Qn, Q") = 0 дл>г всех а Є (0,1);

ШпЯ(а; Qn,Q") = 0 для некоторого а Є (0,1).

 

Доказательство леммы см. в [250; гл. V, лемма 1.9].

7. Проведенный в примерах 1-3 анализ отсутствия асимптотического арбитража показывает эффективность обращения к критериям, выраженным в терминах асимптотических свойств интегралов Хеллингера порядка а > 0.

В случае фильтрованных вероятностных пространств (как в примерах 1 и 3) полезным оказывается обращение к так называемому процессу Хеллингера, в терминах свойств которого также можно давать критерии абсолютной непрерывности, контигуальности и других "взаимных" свойств вероятностных мер.

Нижеследующее изложение можно рассматривать как введение в круг вопросов, связанных с процессом Хеллингера, на примере случая дискретного времени. (Подробнее см. [250; гл. IV, V].) _

Предположим, что заданы две вероятностные меры Р и Р на фильтрованном измеримом пространстве (Q,9-, (^n)n^o)i <^b = і0)     З" =І

Обозначим через Pn - Р | &п и Р„ = Р19>п их сужения на &п, п ^ 1,

Q = i(P + P),Qn-Q|^n. _

dPn _       dPn   jn     ~       3n   . On

Пусть з„ = -jpr-, з„ = -7ТГ-, f3n =            и /Зп =                  (считая g = 0;

dQ„       dQn      з„_і  _        3„_i _

напомним, что jn = 0, если з„_і = 0, и также з~п = 0, еслиз„_і - 0).

В этих обозначениях интеграл Хеллингера Нп(а) = Н(а;Рп,Рп) порядка а может быть записан в виде

Hn(a) = EQЈ}n-a. (32)

Обратимся к процессу У (а) = (Yn(a))n^o, ™

Yn(a)=injn~a- (33)

Пусть fa(u,v) — uavx~a. Эта функция является выпуклой вниз (для и > 0, v ^ 0), и в силу неравенства Иенсена для т ^ п (Q-п.н.)

Е0(У„(6)|^га)^Ут(о). (34)

Таким образом, последовательность У (а) = (Уп (а), ^n,Q) является (ограниченным) супермартингалом, который, согласно разложению Дуба (гл. П, § lb), может быть представлен в виде

' Yn(a) = Мп(а) - Ап(а), (35)

где М(а) = (Mn(a),&n,Q) - мартингал и А(а) = (An(a),&n-i,Q) -предсказуемый неубывающий процесс с Aq (а) = 0.

Конкретная структура (см. (33)) процесса У (а) позволяет для предсказуемого процесса А(а) дать представление следующего вида:

п

Ап («) = Е УЬ-1 («) Ahk («) (36)

fc=l

с некоторым неубывающим предсказуемым процессом h(a) — (hk(a))k-^o,

М«) = о.

Такой процесс определяется, вообще говоря, неоднозначно. Например, следующие процессы

 

Ma) = ЈEQ(l-/3Ј#-a|^fc-i), (37)

fc=l П

Ma) = ^EQ(<pa(/3fc,&)l^fc-i), (38) fc=i

где ipa (и, v) — ctu + (1 — a)v —uav1~a,0 < a < 1, удовлетворяют сформулированным требованиям, что непосредственно устанавливается проверкой того, что для них процесс М(а) — (Мп (а), 3>п, Q) с

п

Mn(a) = yn(a) + Јyfc_x(a)AMa) (39) fc=i

является мартингалом. (См. также в этой связи [250; гл. IV, § 1е].)

Определение 4. Всякий неубывающий предсказуемый процесс = {hk(a))k^o, ho(a) = 0, для которого процесс М(а) = (Mk(a),3k,Q)k^0, определяемый формулой (39), является мартингалом, называется процессом Хеллингера порядка а Є (0,1).

 

Замечание 4. Пусть Р < Р, т.е. Р„ < Р„, п > 0, Zn = и

Рп = „ " ■ Тогда процессы /г„(а), задаваемые формулами (37) и (38), Zn-i

могут быть представлены в следующем виде:

п

М«) = ЕЕр(1-р»-0|^.1)) (40) fc=i

п

^n(o) = X)Ep(Ve(l>pfc)l^fc-i)- (41) fc=i

Замечание 5. Рассмотрим схему "прямого произведения" считая П = Ех хЕ2 х • • •, & = §х ®g2 ® • • •, Р = Qi х Q2 х • • •, Р = Од х Q2 х • • ■, где Qi и Qj - вероятностные меры на (Еі, §і).

В этом случае Зп = <?і®-• -®§п, Р„ = QiX---xQn,Pn = QiX-xQn.

Тогда предположение Р -С Р равносильно тому, что Qn С Qn, n ^ 1,

и имеем рп = ——.

Поскольку Еррп =- 1, то видим, что правые части в (36) и (37) совпадают, и определяемый ими пропесс Хеллингера h(a) = (hn (ос)) с

n

Ma) = ЈEP(l-pi-a), n>lj fc=i

является детерминированным и

n

Лп(о) = X^(1-ff(a;QbQfc))- (42)

 

Если Hn(ct) = if(a;P„,Pn), то в рассматриваемом случае "прямого произведения"

Я„(о) =Hn_i(o)H(o;Q„;Q„)

= Я„_і(о) [1 - (1 - Я(о; Q„, Qn))] -С учетом обозначения (42), отсюда получаем

АНп{а) =-Hn-i(a) Ahn(a).

С разностными уравнениями такого типа мы уже имели дело в гл. II (см. формулу (11) в § 1а), где их решения записывались с помощью стохастической экспоненты:

Hn(a)=H0(a)S{-h(a))n,

где

Ті

S(-h(a))n = е-""^ J] (1 - Ahk(a))eAh^ fc=i

= П(1-ДЛк(о))   U f[H(a;Qk,Qk)

fc=i        ^   fc=i '

 

что полностью согласуется с тем, что в рассматриваемом случае

п

Я„(а)=Я0(а) n#(a;Qfc,Qfc). fc=i

Следующие результаты (в "схеме серий") раскрывают роль этого понятия в проблематике контигуальности и полной асимптотической разделимости последовательностей вероятностных мер (Рп)п^іи(Рп)п^і) задаваемых на фильтрованных измеримых пространствах (Qn, 3-n, {&k)k^k(n))> п>1,с?п = Щ(п),&5 = {0,Пп}.

Обозначим по аналогии с (39) и с очевидными изменениями в обозначениях, вызванными "схемой cepirir'J

fc(n)

^(n)(«) = £ Е«"(1 - іП)лтХ-а*і-г) С42') fc=i

процесс Хеллингера порядка а Є (0,1), отвечающий мерам Р" и Рп. Лемма 3. Следующие условия являются эквивалентными:

(Р") < (Рп);

(Ро) < (ро) « дл* любого є > О

1шМ~Р«(/»г(я)(а)>£)=0. (43)

 

Следствие. Пусть рассматривается "стационарный" случай, когда Р и Р - две вероятностные меры, заданные на измеримом^ фильтрованном пространстве (£1,    (&к)к~^о), Рлг = Р |       Рлг — Р13-N■

Для любого N ^ 1 абсолютная непрерывность Рдг <^ Рлг имеет место тогда и только тогда, когда

 

РоСРо   и   %(а)4о,   а 4.0. (44)

 

Лемма 4. Если для любого L ^ 0

ШРП(К(П)(1)>Ь)=1, (45)

 

то (Рп) Д (Рп).

3. Схема серий "больших" безарбитражных рынков 717 Следствие. В "стационарном" случае условие Po-LPo или условие

 

Р(л*г(!)=оо)=1 (46)

 

достаточны для Рдг-1-Рлг-

Особенно просто в "стационарном" случае критерии для Р <S Р и Р ± Р

~ 1ос ~

выглядят при дополнительном предположении, что Р Р (т.е. Рп < Р„, п ^ 0):

ЫР<=> p{EEp[(1-V^")2|^„-i] <оо} = 1, Р±Р <=> p{f;EP[(l-,/o-)2|^„-i] =оо} = 1,

 

dPn

гдеап = —.

 

Доказательство лемм 3, 4 и следствий из них см. в [250; гл. V, §2с; гл. IV, §2с].

8. Обратимся к доказательству необходимости условий (9) и (15) в теоремах 1 и 2 из предыдущего параграфа.

С этой целью полезно обратиться к следующему обобщению понятия контигуальности, введенному в [260] в связи с вопросами асимптотического арбитража на неполных рынках.

Будем предполагать, что при каждом n ^ 0 на измеримом пространстве (Еп, (£п)задалавероятностнаямераОпинекотороеселіейство(0)п = {Qn} вероятностных мер Q". (В дальнейшем в качестве Q" будут браться семейства ^(Рп) мартингальных мер.)

С каждым семейством Q" — {Q™} мер Qn свяжем их верхнюю огибающую sup Q" - функцию множеств А є &п, такую, что

 

(supQn)(^)=  sup Qn{A). (47)

QngQn

 

Будем обозначать через conv Qn выпуклую оболочку семейства Qn.

Определение 5. Последовательность мер (Q")n^i называется кон-тигуальной с последовательностью верхних огибающих (supQ")„^i (обозначение: (Q") < (sup Q")), если для всякой последовательности множеств Ап Є &п, п > 1, с (supQ")(j4") —»■ 0 выполнено также и свойство Qn{An)->0.

Пусть для Q Є conv Q"

 

3 (Q) ~ dQn '        (Q) " dQ '

raeQ" = |(Q + Q").

Следующий результат из [260] является непосредственным обобщением утверждений леммы 1.

Лемма 5. Имеет место равносильность следующих условий:

(Q") < (supQ");

limfim    inf    Qn(3"(Q)<e) =0;

£40  n QeconvQ"       v '

lim Ш    inf    Qn(Zn(Q) >N) = 0;

Nfoo  n QeconvQ" v

lim lim    sup    H(a;Q,Q") = 1.

aiO „ QeconvQ"

9. Переходя непосредственно к доказательству необходимости условий (9) и (15) в теоремах 1 и 2 из §ЗЬ, будем полагать Q" - Р" (= Р£(„)) и в качестве семейства Q" будем брать, как это уже отмечалось, семейство &>(Рп) всех мартингальных мер Pk(n)>n ^ ^'

Ясно, что в рассматриваемом случае conv Q" совпадает с самим семейством 9>(Рп) и поэтому условие с) в лемме 5 принимает следующий вид:

(

dPn -J^->N) =0,

 

что равносильно (поскольку Рцп) ~ ^fc(n)) Условию:

йг¥*. %г р*<«) №»> <є) =0) (48)

где множество

птп                        І Г7П     . гтп                       fc(n)    рп           <В)/рп     I

Zfc(n) - 1 Zfc(n)- ^fc(n) - Зр!      > rfc(n) fc ^^k(n)S і-

fc(n) '

Поскольку (48) есть, в точности, условие (15) из §ЗЬ, то, в силу эквивалентности условий а) и с) в лемме 5, можно утверждать, что "достаточность" в теореме 2 из § ЗЬ может быть сформулирована также следующим образом: выполнение условия

(P*(»)) < (suPPЈ(n)) (49)

влечет отсутствие асимптотического арбитража.

Поэтому (опять-таки в силу эквивалентности условий а) и с) в лемме 5) для установления "необходимости" в теореме 2 из § ЗЬ надо показать, что отсутствие асимптотического арбитража влечет выполнение условия (49).

Доказательство будем вести "от противного".

Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, предположим, что множества Ап є &ь(п) таковьІі410

(supPЈ(n))(A")->0, (50)

ноР£(„)^а>0.

Покажем, что в этом предположении имеет место асимптотический арбитраж.

С этой целью образуем процесс

Х£ = _   esssup     Е?п   (1Ап^),    k^k(n). (51) pZ(»)e^(P2(n)) k(n)

Согласно теореме из § 2b, процесс Хп = (Х£) по каждой из мер Р£(„) Є ^(^(п)) являє™ супермартингалом, и, в соответствии с теоремой из § 2d, для этого процесса имеет место опциональное разложение:

 

Х£ = Х0" + 53(7;, Д5?) - С?, (52)

3=1

где Cq = 0, С£ - Зк -измеримы и 7JЈ -       і -измеримы.

Основываясь на разложении (52), определим (при каждом п ^ 1) стратегию 7гп = (/3",7П) с/Зп = (/9Jt)fc^oK7n = (7fc)fc^o так, чтобы ее капитал совпадал бы с Х£ +        (7J A^n).

С этой целью достаточно выбрать fifi и 70 так, чтобы /3$ + (jo,Sq) = Xq (для простоты полагаем всюду В£ = 1), величины 7^ при k ^ 1 взять из разложения (52), а /3£ определить из условия самофинансирования.

Для так определенных стратегийжп очевидно, что Хк" = Х£ + С£ ^ 0 при всех к ^ к(п) и при п —¥ со

Xf=       sup       Ер„   IAn=       sup P*(n)(An)-»-0, РЇ(»)Є^(Рг(п))   *(n) P"(„)e^(P^(n))

в соответствии с предположением (50).

Тем самым, для стратегии ж = (тг")„^і выполнены условия (2) и (3) из определения 1 в § За.

Для завершения доказательства осталось теперь лишь заметить, что для построенной стратегии ж — (тгп)„>і выполнено и условие (4) из этого же определения 1, поскольку

ЙйрП(**<») >1)> ШРп(Х%п) = 1) = 1ітР"И") = а > 0.

Тем самым, "необходимость" в теореме 2, а также и в теореме 1, установлена.

Следствие. Чтобы еще раз подчеркнуть важность понятия контигу-альности в проблемах асимптотического арбитража в моделях "больших" финансовых рынков, переформулируем теорему 2 в следующем (равносильном) виде: на "большом" локально безарбитражном ринке (В, §) = {{Вп,5"), п ^ 1} условие (Pfc(n)) < (suPPfc(„)) необходимо и достаточно для отсутствия асимптотического арбитража.

Понятно, что в случае полных рынков это условие превращается в "обычное" условие контигуальности

(Pfc(»>) < (PЈ(»)) (53) семейства (PЈ(„))n^i исходных вероятностных мер Pfc(n) по отношению к семейству (PЈ(„))n^i мартингальных мер Р£(„) (единственных при каждом п > 1).

Замечание 6. В теоремах 1 и 2 достаточные условия отсутствия асимптотического арбитража формулировались в терминах выполнения свойства контигуальности (53) для некоторой "цепочки" мартингальных меР (Pfc<„))-

Интересно отметить, что, на самом деле, справедлив и обратный результат, установленный в [260]: если имеет место асимптотический арбитраж, то найдется "цепочка" мартингальных мер (Р£(п))п^ъ для которой выполнено свойство контигуальности (53).

§ 3d. Некоторые аспекты аппроксимации и сходимости в схеме серий безарбитражных рынков

1. В рассмотренных в § § За, Ь, с моделях "больших" финансовых рынков предполагалось, что имеется схема серий n-рынков (Bn,Sn), п ^ 1, каждый из которых является безарбитражным, и изучался вопрос об отсутствии асимптотического арбитража. Важно при этом отметить, что относительно существования какого-либо "предельного" рынка, скажем, (B,S), не делалось никаких предположений.

В настоящем параграфе будет рассматриваться та ситуация, когда помимо "допредельных" п-рынков (Вп, Sn), заданных на вероятностных пространствах (Г2П, &п, Р"), n > 1, имеется также и "предельный" рынок (B,S), заданный на (£2,3-, Р), причем при п —>■ со имеет место (слабая) сходимость

Law(Јn,S"|P") ->Law(B,5|P). (1)

Основные вопросы, которыми мы будем далее интересоваться, состоят в выяснении того, что можно сказать (в предположении (1)) также и о сходимости

Law(Јn,S"|P") ->Law(B,5|P), (2)

 

где Р" и Р - те или иные мартингальные меры из классов 9{Рп) и ^(Р), соответственно, и каким образом выбрать подходящие меры Р" и Р, для которых можно гарантировать сходимость (2).

В связи с последним вопросом целесообразно напомнить, что мы уже имели дело с разными способами построения мартингальных мер, основанными, например, на преобразованиях Гирсанова и Эшера. Напомним также, что понятие минимальной мартингальной меры, о котором шла речь в § 3d, гл. V, возникло (в работах Г. Фёльмера и М. Швайпера; см., например, [167] и [429]) именно в связи с вопросами о том, какие мартингальные меры из &*(Рп) следует рассматривать в качестве наиболее "естественных" кандидатов при образовании цепей мер (Р")п^ъ используемых для финансовых расчетов. (В этой связи не будет лишним подчеркнуть, что, скажем, расчеты цен хеджирования, рациональных стоимостей опционных контрактов осуществляются с привлечением именно мартингальных мер Р" и Р, а не исходных (также говорят - физических) мер Р" и Р; см., например, "основную формулу для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках" (8) в § 1с или формулу (20) в § 4Ь.)

2. Переходя к рассмотрению поставленных вопросов, целесообразно напомнить, что в финансовой литературе весьма четко выделяются и своею простотой, и своею популярностью следующие две "классические" модели (Б,5)-рынков:

модель Кокса-Росса-Рубинштейна (или биномиальная модель; § 1е, гл. II) в случае дискретного времени и

модель Блэка-Мертона-Шоулса (или стандартная диффузионная модель, основанная на геометрическом броуновском движении; §4Ь, гл. III) в случае непрерывного времени.

Хорошо при этом известно, что первая модель (с малым временным шагом А > 0) является вполне удовлетворительной аппроксимацией второй модели, и результаты расчетов (скажем, для стандартных опционов), полученные для первой модели, близки к результатам расчетов для второй модели (В, S) -рынка, для которой

Bt = B0ert,    5«=50в<'1-£>*+*и (3)

где W = (Wt)t^o ~ стандартный винеровский процесс.

В соответствии с известным из теории предельных теорем (см., например, [39] и [250]) принципом инвариантности, винеровский процесс может возникать в результате предельных переходов в самых разнообразных схемах случайных блужданий. Поэтому нет ничего удивительного в том, что, скажем, для биномиальных моделей (Вп, 5п)-рынков (с дискретным временным интервалом Д = 1/п)> заданных на некоторых вероятностных пространствах (£2", 9-п, Р"), будет иметь место сходимость к (В, 5)-модели Блэка-Мертона-Шоулса в том смысле, что при п —> со имеет место сходимость (1), где Р - вероятностная мера, относительно которой процесс W = {Wtjt^o является винеровским.

Заметим, что вопрос о справедливости сходимости (1) и для приведенных двух "классических" моделей, и для других моделей финансовых рынков - это, как следует из сказанного, только часть обшей проблемы сходимости (Вп, 5")-рынковк "предельному" (В,5)-рьшку. Неменее важен также и вопрос о сходимости при п —> оо законов

Law(Ј",S"|P") ->Law(B,5|P), (4)

где Р" и Р - мартингальные (риск-нейтральные) меры для (Bn,Sn)- и (В, 5)-моделей, соответственно.

При этом здесь важно иметь в виду следующие обстоятельства, связанные с полнотой и неполнотой рассматриваемых (безарбитражных) рынков.

Если (Вп, 5")-рынки являются полными, то (по крайней мере при выполнении условий "второй фундаментальной теоремы"; §4а, гл. V) каждое из множеств 9{Рп) мартингальных мер состоит лишь из одной мар-тингальной меры, и вопрос о справедливости утверждения (4) при наличии сходимости (1) самым непосредственным образом связан с вопросами контигуальности семейств мер (Р") и (Р"), находя свое достаточно полное разрешение в рамках "стохастического принципа инвариантности'] подробно изученного, например, в разделе 3, гл. X, монографии [250].

Положение дел, однако, сильно усложняется, если рассматриваемые безарбитражные (Вп, Sn)-рынки являются неполными.

В этом случае множества мартингальных мер ё?(Рп) состоят, вообще говоря, более чем из одного элемента, и тогда возникает непростой вопрос о выборе той цепи (Р )п>1 соответствующих мартингальных мер, для которой можно гарантировать выполнение сходимости (4).

В соответствии с определением слабой сходимости, утверждение (4) может быть переформулировано как утверждение о сходимости

E~pnf(Bn,Sn)^E~pf{B,S) (4')

для непрерывных ограниченных функционалов, определенных на пространстве (cadlag) траекторий рассматриваемых процессов, в нашем контексте обычно предполагаемых семимартингалами.

dPn dP

Заметим, что если Z" = ^рп > 2 = —, то, поскольку Epnf(Bn,Sn) = EPn Znf(Bn,Sn)

 

Epf(B,S) = EPZf(B,S),

понятно, что вопрос о сходимости (4') самым тесным образом связан с вопросом о сходимости

La.w(Bn,Sn;ZnPn) ->Law(Ј,S,Z|P), (5)

относящимся к проблематике "функциональной сходимости" теории предельных теорем для случайных процессов. См. подробнее [39] и [250].

Полезно отметить, что сходимость (4') будет следовать из (5), если семейство случайных величин {Znf(Bn, Sn); п ^ 1} является равномерно интегрируемым, т. е.

lim ШЕрп (nf(Bn,Sn)l(nf(Bn,Sn) >N)) = 0.

Подпись: pg = ^+e»     м^0. (9)

 

3. В качестве примера рассмотрим вопрос о справедливости свойств (1) и (2) для "допредельных" моделей Кокса-Росса-Рубинштейна и "предельной" модели Блэка-Мертона-Шоулса, являющихся и безарбитражными, и полными.

Пусть &п, Рп) - вероятностное пространство, на котором задан биномиальный (Вп, 5")-рынок, определяемый по типу "простых процентов" (§1а, гл. II) с кусочно-постоянными траекториями (§2а, гл. IV): для О ^ £ ^ 1, к= 1,...,пип^ 1

[nt]

вГ = я?П(1 + г*)' (6)

fc=l

[nt]

5Г = 5?П(1 + ^)> (?) fc=i

где банковские процентные ставки

 

гп = - ,    г > 0,    . (8)

п

и рыночные процентные ставки

п

В однородной модели Кокса-Росса-Рубинштейна величины С",..., ЈJ» являются независимыми и одинаково распределенными с

Р"(&" = £>=*-  ""(*—:£)-«• (10)

где a,b,pnq- положительные константы, р + q = 1. Из (9) и (10) находим, что

Ep»Pfc = £ + ^=(pfc - да), (11) Ep«(^)2 = ^2+9a2) + 0(-lj), (12) Dp-P2=:^(b + e)a + 0(^). (13)

3. Схема серий "больших" безарбитражных рынков При достаточно больших п величины 1 + рп > 0 и

.[nt]

(14)

+

^=5?ехр^1п(1 + ^)

 

=5?ехр{х;(^-^

Предположим, что выполнено условие

pb — qa = 0.

В рассматриваемом случае очевидным образом выполнено условие Линдеберга:

lim V ЕРп Г| 1п(1 + р£)|2 /(| 1п(1 + рі) >е)]=0 для є > 0. (20)

fc=l

Поэтому из функциональной центральной предельной теоремы ([250; теорема 5.4, гл. VII]) вытекает, что (с Sq -»■ S0)

Law(5f; t < 11 Pn) -»• Law(5t; t < 11 P),

где

и W = (Wt)t^i - некоторый винеровский (по мере Р) процесс.

(21) (22)

Тем самым, если В™ —»■ Бо, то

Law(Јt", 5t"; t < 11 Р») -> Law(Bt, St; t < 11 P), (23)

т. е. имеет место сходимость (1).

Обратимся теперь к аналогу свойства (23) при замене мер Р" и Р на мартингальные меры Р" и Р.

Если для к = 1,..., п

 

и относительно меры Р" величины  являются независимыми, то

условие мартингальности

 

приводит к соотнощениям

Epn Pk=rk%, l^k^n, которые, очевидно, равносильны условию

Ьрп-адп = Г-^. (24)

Учитывая требование рп + q " = 1, отсюда находим:

~„       а        1 г — и.

V   —     1              ,

а + b    ^Jn а + b '

(25)

qn=    b        1 r-fi

a + b    y/n a + b

(Ср. с примером 2 в § 3f, гл. V, где уст


Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010