В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1050189 человек которые просмотрели 19730575 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1362

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 5d.  опционы с последействием.

Расчеты в "Русском опционе"

1. Для рассмотренных выше стандартных опционов колл и пут платежные функции fn имели марковскую структуру:

fn = Pa(Sn-K)+ и fn = /r(K-Sn)+. (1)

И с теоретической точки зрения, и с точки зрения финансовой инженерии определенный интерес представляют также и различные опционы с последействием. Примером таких опционов могут служить опционы со следующими платежными функциями:

fn=/3n(aSn-  тій Sr) + , (2)

/„ =W max Sr-aSn)+ (3)

или с функциями

 

fn=pn(aSn-JTSk)   , (4)

^             к=0 '

U=Pn(T/Sk-aSnY, (5)

VI—п '

 

где0</3<1,а>0.

Опционы с платежными функциями (4) и (5) называют опционами (колл и пут) Азиатского типа. Опционы (колл и пут) с платежными функциями (2) и (3) в случае о = 0 рассматривались в работах [434], [435], где они получили название "'Русских опционов". См. также работы [118], [283]. Последующее изложение будет следовать работе [283].

2. Будем рассматривать CRR-моаель, для которой рп принимают два значения: А — 1 и А-1 — 1сА> 1. При этом, для определенности, рассмотрим опцион-пут Американского типа с платежной функцией (3), где 0 < /3 < 1 играет роль дисконтирующего фактора.

Согласно общей теории (см. раздел 2), рациональная стоимость С такого опциона рассчитывается по формуле

 

С=  sup  ЕеГ/т. (6)

rgЈOTg°

где а = (1+г)_1иЕ - усреднение по мартингальной мере Р такой, что р и q определяются формулами (6) из §5а. Поскольку

С =  sup  Цар)Т ( max Sr - aST) (7)

 

и Sn — SoA*1"* , то величина С заведомо конечна (С < So), если выполнено условие

а/ЗА ^ 1. (8) Положим Уп = max Sk- Ясно, что

к^.п

Уп=тах{Уп_ь5п}, (9)

при этом последовательность (Sn,Yn)n^o является марковской, и, в принципе, решение задачи об оптимальной остановке (7) может основываться на общих результатах об оптимальных правилах остановки для двумерных марковских цепей (см. [441] и §2а).

Замечательным здесь является, однако, то обстоятельство, что рассматриваемая двумерная марковская задача может быть сведена к некоторой одномерной марковской задаче, если воспользоваться идеями замены меры и подходящего выбора дисконтирующего актива (numeraire). (По этому поводу см. также далее § lb, гл. VII.)

Пусть г Є 2Яо°- Тогда, вспоминая, что Вп = В0а~п с а = (1 + г)-1, находим, что

SnE

(10)

ЕМГ (0maxr Sr - aST)+ = Е(а0Г (max°<^ - а) +ST

fir і "      „1       St/So

BT J Bo _

S I So

Обозначим .£„ =    n      . Тогда видим, что Zn > 0, и относительно Вп /Во

меры Р последовательность Z = (Zn,^n, P)n^o есть мартингал с EZn = 1. Положим для А Є Зп

Рп(А) = E(ZnIA).

Понятно, что набор мер (Pn)n^o является согласованным (в том смысле, что Рп+ | 9-п = P„, п > 0), и по теореме Ионеску Тулчи о продолжении меры (см., например, [439; гл. II, §9]) существует мера P (в пространстве О, = {-1,1}°°) такая, что Р | &п - Pn, п ^ 0. Тогда

Е{а/3)т( max Sr-aSr)+= S0EpT(^-а)  . (11) Положим здесь

Xn = ^ (12)

и заметим, что

Хп+1 = max(-^-, 1), (13)

 

причем все Хп принимают значения в множестве Е = {1,А, А2,...}.

Относительно новой меры Р последовательность є = (єп)п>і снова оказывается последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с

р = Р(єп = 1) = E/(Јn=a)aAЈl = aAp (14)

 

« = P(e» = -l) = ^U-p). (15)

Будем рассматривать последовательность {Хп)п^о, определяемую рекуррентными соотношениями (13), в предположении, что Хо = х Є Е. Пусть Рх - распределение этой последовательности. Тогда последовательность X = {Хп,&п,Рх)сх €Ё,&п = ст^о.Хі,..^,Х„),п > 0,является марковской, и, следовательно, для отыскания цены С надо рассмотреть задачу об оптимальной остановке

9{х)=   sup  Ех/Зт(Хт-а)+,    хЕЁ, (16)

 

где ЗЯо° - класс конечных моментов остановки т — т(ш) таких, что {ш: т(ш) ^ п} Є Зп, п ^ 0.

Интересующая нас цена С связана с решением V (1) этой задачи формулой

C=S0V(1). (17)

Замечание 1. Поскольку в (7) sup берется по классу 2Яо°> то> строго говоря, для справедливости формулы (17) надо было бы в определении V(x) (см. (16)) sup брать не по классу ffltg0', а по более широкому классу ЯЯо°. Однако, на самом деле, оба эти sup совпадают, что следует и из общей теории оптимальных правил остановки для марковских последовательностей (см. [441]), и, в сущности, доказывается ниже (см. далее замечание 2).

3. Пусть д(х) = (х — а)+, х Є Е, и

V0N(x)=  sup Ех^д(Хт),

 

где       - класс моментов остановки т из ЯЯд0 со свойством т(ш) ^ N, шё О. (См. рис. 61.) Обозначим также

ff(x) = Ех/(Х0 = pf (| Л l) + (1 -p)/(As),                (18)

Qf(x) = max(f(x),(3Tf(x)).       (19)

Из теоремы 3 в § 2а и замечания к ней следует, что

V0N(x) = QNg(x)          (20)

и оптимальный момент є 9Kq имеет следующую структуру (ср. с (9) в§5Ь):

t0n = min{0^n<N:Xn eD%}, (21)

где

5% = {xЂE:V0N-n(X)=g(x)}. (22)

Ясно, что      С       С •■• QD% =Ё = {1, А, Л2,... }.

Точно так же, как и в §5Ь, рассматривая последовательно функции Qg{x),Qj*g{x) и сопоставляя их с д{х), находим, что "области остановки"       имеют следующий вид:

6% = {х Є Я: хЄ[х%,оо)}, (23)

где

l=x%^x%_1^.---^xg. (24)

В качественном отношении области остановки D„ и области продолжения наблюдений С% = ЕD!^ такие же, как и на рис. 57 в § 5Ь (с очевидной заменой в обозначениях: Si -*■ Хи Е -»■ Е,..., х% = 0 -»■ аг$ = 1).

Замечание 2. Если

V/(ar) =  sup Ex/3r<,(Xr),

 

то из теоремы 3 в §2а вытекает, что V0N(х) = QNg(x). Сопоставляя это равенство с (20), видим, что V0N(х) = V0N(x), х Є Е, и что момент , определяемый формулой (21), будет оптимальным не только в классе УЯ^. но и в более широком классе DRq .

4. Поскольку д(х) ^ 0, то, согласно теореме 4 из §2Ь функция V(x) = lim V0N(x). Положим

N—юо

т = inf{n > 0: V{Xn) = д{Хп)} = inf{n ^0:Хп€ 5}, где I? = {ж Є Е:х Є [х, оо)}ия =  lim агі^.

N-+oo

Согласно той же самой теореме, момент т будет оптимальным моментом остановки для задачи (16), лишь бы только Рх(т < оо) = 1, х Є Е. Отложив пока рассмотрение этого свойства момента т, обратимся к отысканию значения х и функции V (х).

Функция V (х) удовлетворяет уравнению

V(x) = max(g{x),l3TV(аг)),    аг Є Ё, (25)

и, следовательно, в "области продолжения наблюдений" С = Е D она является одним из решений уравнения

<р[х) = 0Т<р{х),    х Є С, (26) или, в развернутой форме, уравнения

<p(x)=0[p<p(jVl) +(1-рМАі)],     хе С. (27) В частности, при х = 1

Ґ>(1)=/3[PV(1) + (1-PMA)] (28)

и при аг ^ А

ф)=р[р<р(ї)+(1-рМХх)]. (29)

Естественно искать решение уравнения (29) в виде аг7 (ср. с п. 5 в § 5Ь). Тогда для 7 получаем уравнение

і=рА"7 + (1-р)А7, (30)

 

имеющее два решения 71 < 0 и 72 > 1 такие, что величины у = А71 и 2/2 — А72 определяются из формул

 

Уг = ^-^~В,        + (31)

 

Л = (1^.   * = nV (»)

При х > А общее решение <р(х) уравнения (29) может быть представлено в виде сфь (х), где фь (х) = ох71 + (1 — 6)х72. Поскольку ^>ь(1) = 1, то константа с : (/'(І).

Подставляя <р (А) = <р(1)^/'ь(А)вуравнение(28)иучитывая,чтопосмыс-лу задачи </?(1) ^ 0, для неизвестного значения b получаем уравнение

(34)

1 - /з{р + (1 -р) [bX^ + (1 - о)А72] }, (33) решение которого есть

t (l-pJA^+p-jS-1

(l-p)(AT2 -Аті)

Будем считать, что функции ф^{х), (х), g(x), VCo (х; х0), заданные на множестве Е = {1, А, А2,...}, определены теми же самыми выражениями и на множестве [1, со). Тогда соответствующие аппроксимапионные значения с и х определяются из тех дополнительных соображений, что

(37)

Ус{х) = д(х), dg(x)

dx

dVz(x)

dx

Учитывая, что

%{х) = сфАх) = с~[бх71 + (1 - 6)х72],

д(х) = (х — а)+ и заведомо х > а, находим, что сих являются решениями системы уравнений:

Пользуясь тем, что 7i и 72 определяются из уравнения (30), нетрудно установить, что 0 < b < 1.

Пусть V^0(x) = coi/>-(a:), х < Хо, где со и хо - пока неопределенные константы. Понятно, что искомая функция V(x) является функцией семейства

 

К0(х;х0) = ~ (35) I "од(ж), х<х0.

При этом "оптимальные" значения констант со и хо, обозначаемые сих, могут быть найдены из тех соображений, что требуемая функция V(x) — V(x; х) должна быть наименьшей /3-эксцессивной мажорантой функциид(х), т. е. наименьшей функцией, удовлетворяющей одновременно двум неравенствам:

V(x) > g{x),

~             Jl (36)

V(x)>f3TV(x)

для всех а: Є Е = {1, А, А2,... }.

Доказать существование решения этой задачи и найти тонные значения с и х можно точно так же, как и в случае стандартного опциона-колл (см. п. 6, §5Ь, и [283]). В этом случае, когда Д = А - 1 близко к нулю, для еГи х в качестве приближенных значений могут быть взяты величины с их, получаемые следующим образом. (Ср. с соответствующей процедурой в §§5Ь, с.)

(38)

с^бх71 + (1 -6)х72] = х - а, cff^ix71-1 + (1 - 6)72Ї72_г] = 1.

(39) (40)

В частности, при а = О

 

12 -1

Vl-6 72 -І/

с = ——

7і6хті +72(1 - 6)хТ2

Из проведенных рассмотрений следует, что при достаточно малых А > 0 значение Vc(l) близко кУ(1). Тем самым, с учетом формулы (17) и того, что Vc(l) = с, находим, что при малых А > 0 цена С « So • с. (Более подробный анализ см. в [283]. Ср. также с § 2d, гл. VIII.)

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010