В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1016849 человек которые просмотрели 19404306 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1340

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ lb. дисконтирующие процессы

1. При сопоставлении стоимостей (цен) разных активов обычно выбирается некоторый "стандартный" "базисный" актив, в единицах которого и производится сравнение других ценных бумаг. Например, при рассмотрении рынка S&P500, состоящего из пятисот активов (см. § lb в гл. I и, подробнее, например, [310]), в качестве "базисного" естественно брать индекс S&P500, составленный (некоторым взвешенным образом) по стоимостям этих (пятисот) активов.

В гл. I (см. § 2с) была кратко изложена популярная модель ценообразования САРМ, в которой в качестве "базисного" актива часто берется банковский счет (безрисковый актив), апоказателем "качества" и "риска" с помощью которого производится сравнение разных активов А, служит их бета /3(Л).

В дальнейшем при рассмотрении d + 1 актива Х°, Xі,..., Xd условимся в качестве "базисного" выбирать, скажем, актив Х°, выделяющийся обычно тем, что это - "просто устроенный" актив. Важно, однако, подчеркнуть, что, в принципе, в качестве такого актива может выбираться любой процесс У = (Yt, &t)t^Qi лишь бы только он был строго положительным.

Есть также и чисто "аналитические" причины в выборе подходящего процесса Y, состоящие в том, что за счет удачного выбора такого процесса, называемого дисконтирующим процессом (в англо-французской финансовой литературе используется также термин "numeraire"; см., напри-

Хп

мер, [175]), иногда проще оперировать с процессом , а не с Xі* непосредственно; см. по этому поводу замечание в конце § 2а в гл. V.

2. Если Y — {Yt,&t)t^0 - некоторый положительный процесс, определенный наряду с X — (Х°,Х1,..., Xd) на стохастическом базисе (^t)t^o, Р), то положим для і = 0,1,... ,d

 

r = f,   JT = ±r. (і)

Если 7Г - самофинансируемый портфель (по отношению к X), то естественно выяснить, будет ли он самофинансируемым по отношению к дисконтируемому портфелю X = (Х°, Xі,..., Xd). С этой целью предположим, что выполнено свойство (7) из § 1а и что процесс У-1 = — является предсказуемым процессом ограниченной вариации (У-1 Є "V). Тогда

 

аХ = У,"1 dX* + Х_ dY'1 (2)

 

dXnt = Yf1 dXf + XJ_ dY,'1. (3) Поэтому из условия самофинансируемости (6) в § 1а видим, что

d             d yd

£< dX = УГ1 £тгІdXi + (І2 жХ dY'1

i=0         i=0         4=0 '

= Y^dX? + (^<ХІ-) dyt_1-

(4)

S=0

Предположим, что (Р-п.н.) для t > О

d

^^Ітг'ДХІДУ-^оо. (5)

Тогда

d

(l>i*t-) dy*_1 = (X>**0 dY~l - (f>; дхЛ дуг1

4=0       '               4=0       '               4=0 '

и из (4) находим, что

£жdTt = Yf1 dX? + X?dY-1 - (j24 АХ} ДУГ1

i=0         4=0 '

= УГ1 dXf + X?_ dY'1 + (ax? -     АХ*) ДУГ1

^             i=0 '

= Yt-1dX? + X?_dYt- (6)

d

поскольку dX* =     ж dX, и, по свойствам стохастических интегралов,

i=0

d

AX? = £    AXl (см. свойство (f) в п. 7, §5a, гл. III).

i=0

Из (3) и (6) получаем соотношение

d

dJTt =,Ј4dxit, (7)

i=0

которое означает, что для дисконтируемого портфеля Х=(Х° ,X1,...,Xd) свойство самофинансируемости выполнено.

Замечание. В проведенном доказательстве сохранения свойства самофинансируемости при дисконтировании предполагалось, что У является положительным предсказуемым процессом, У-1 Е Ти выполнено свойство (5). По поводу других возможных условий, гарантирующих сохранение самофинансируемости, см., например, [175].

0expQ%(s)dS), (8)

Классическим примером дисконтирующего процесса является банковский счет В = (Bt)t^o-

 

Bt = Д

 

где г = (r(i))t^o "Нвкоторэ-Я) вообще говоря, стохастическая процентная ставка, предполагаемая обычно положительным процессом. Банковский счет является удобным "стандартом" позволяющим сравнивать "качество" других активов, таких, как, например, акции, облигации.

3. Пусть Y1 и Y2 - два дисконтирующих актива и временной параметр

t Є [0,Т]. Будем предполагать, что относительно некоторой меры Р1 на

X

($7, &т) нормированный процесс является ((d + 1)-мерным) мартингалом.

Выясним, когда можно утверждать, что существует мера P2 ~ P1, от-

X

носительно которой нормированный процесс ^2 также является мартин-

галом. (Ср. с изложением в разделе 4, гл. V.)

у2

(9)

С этой целью предположим, что относительно меры Р1 процесс — является (положительным) мартингалом. Положим для А є &т

 

Р2(Л)

 

Ясно, что Р2 является вероятностной мерой на (П, &т), причем Р2 ~ Р1. По "формуле Байеса" (см. (4) в § За, гл. V)

 

xl

(10)

 

i У?

±±    rt   _ Лі /р2

Р^П.Н.).

 

Отсюда следует, что по мере Р2, построенной по формуле (9), нормирован-X

ныи процесс —г является мартингалом.

Полезно отметить, что если }т - ^г-измеримая неотрицательная случайная величина, то из (9) и (10) вытекает, что (в предположении 3q = {0,П})

(11)

 

и (Р2-, Р^П.Н.)

У°Ер1 (*§ I ^) = У°2Ер2 (у| I **)■ (12) § 1с. Допустимые стратегии. II.

Некоторые специальные классы

1. В соответствии с определением 2 в § 1а, капитал Хп - (XJ/)t^r допустимой стратегии 7г Є SF(X) представляется в виде

 

(1)

J о

 

где / (irs,dX3) - век тор ный стохастический интеграл по (неотрицатель-J о

ному) семимартпингалу X = (Х°,Хг,... ,Xd).

В дальнейшем актив Х° будем считать положительным (X® > 0, t < Т) и брать его в качестве дисконтирующего процесса.   При этом,

чтобы не оперировать с "дробными" выражениями ^типа ^о~^' будем

сразу полагать X® = 1, считая, тем самым, что исходный семимартингал X — (ljX1,... ,Xd) является (d + 1)-мерным продисконтированным активом.

2. Введем в рассмотрение некоторые специальные классы допустимых стратегий, роль которых будет полностью раскрыта при рассмотрении "мартингальных критериев" отсутствия арбитражных возможностей (см. далее разделы 4 и 5).

Определение 1. Для всякого а ^ 0 положим

 

Па{Х) = {тг Є SF(X):X? > -а, t Є [0,Г]}. (2)

 

Смысл условия а-допустимости "X? ^ —а, t Є [0, Т]" вполне понятен: величина а > 0 ограничивает те максимальные потери от стратегии тг, которые допускаются теми или иными экономическими соображениями.

Если о > 0, то для капитала Хп допускаются отрицательные значения, что можно интерпретировать как взятие средств в долг (будь то взятие с банковского счета или "короткая продажа" акции, например).

d

В случае а = 0 суммарный капитал Х£ = ]Г жХ должен оставаться

i=0

неотрицательным при всех 0 ^ t sj Т.

Подпись: 9(Хт)
Замыкание ^д(Х) по этой норме обозначается ФЭ(Х).
Классы Па (X), а ^ 0, были введены уже в первых работах ([214], [215]) по теории арбитража и впоследствии стали рассматриваться как наиболее естественные классы стратегий, для которых (как в известной "Петербургской игре"; см., например, [186; 2-е изд.]) не допускается неограниченное во времени "удвоение ставки при проигрыше" (ср. с примером 2 в § 2Ь, гл. V).

Именно с классами Па(Х), а ^ 0, и некоторыми их расширениями связаны работы, касающиеся необходимых и достаточных условий отсутствия арбитражных возможностей, среди которых, в первую очередь, отметим серию работ Ф. Делбаена и В. Шахермайера (см., например, статьи [100], [101] и историко-библиографическую информацию в них).

Классы Ua(X), а > 0, являются далеко не единственными "естественными" классами допустимых стратегий.

Следующее определение систематическииспользуетсяв работе К. А. Сина (С. А. Sin, [447]).

Определение 2. Пусть д = (д°, д1,..., gd) - (d + 1)-мерный вектор

с неотрицательными компонентами, g{Xt) — {g,Xt) I =     9гХ}- ■

v    i=o '

Положим

Пд(Х) = {тг Є SF(X):X? > -g(Xt), t Є [0,T]}. (3)

Как ив случае определения 1, наглядный смысл условия аХ* ^ — g(Xt), t Є [0, Г]" ясен: в каждый момент времени t величиной g(Xt) ограничиваются те максимальные потери или тот максимальный долг, которые допускаются "экономикой" имеющей капитал д° на банковском счете и д1 акций каждого из г активов, г — 1,... ,d.

Понятно, что если д° > а, то Па(Х) С Пд(Х).

Для последующего изложения вопросов теории арбитража в семимартингальных моделях полезно ввести некоторые классы "тестовых" ^г-измеримых платежных функций ф = ф(ш), которые могут быть мажорированы доходом J {ks , dXa) от стратегий ж из введенных выше классов допустимых стратегий.

Определение 3. Пусть для а > 0

*„(*) = ф Є іос(П,St, Р): ф < j*a,dXa)

для некоторой стратегии ж Є Тіа(Х) >

 

*+(*) = і> Є іоо(П,^т, Р): Ф jir3,dX3)

для некоторой стратегии 7Г Є П+ (X) ^,

гдеП+(Х)= (J Па(Х).

 

Определение 4. Для д = (д°, д1,..., gd) с gi > 0, і = 0,1,..., d, положим

тгЄП3(Х)|,

Ф9(Х) - jtf Є Lg(Q,Sr,P): Ф < jit3,dX3)

для некоторой стратегии

где Lg (П, Р) - множество .^у-измеримых случайных величин ф таких, чтоф^д{Хт).

5. Как обычно, в пространстве іоо(П, .-^т, Р) случайных величин ф (правильнее было бы говорить о классах эквивалентности случайных величин; см., например, [439; гл. II, § 10]) вводится норма

 

= ess sup 1^1 = inf{0 < с < со: Р(ф > с) = 0},

 

относительно которой это пространство становится полным (и, следовательно, по определению, банаховым).

Замыкания множеств Я>а{Х), а > 0, и Ф+(Х) по норме || • ||оо будем обозначать Фа (X) и Ф+ (X).

В пространстве ФЭ(Х) будем рассматривать норму || • ||э, определяемую формулой

Ф

М9 =

 

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010