В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449390 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1342

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 2а. концепция отсутствия арбитража и ее разновидности

1. В случае дискретного времени (я < N < оо) и конечного числа активов (d < оо) расширенный вариант первой фундаментальной теоремы (§ 2е, гл. V) утверждает, что для (В, £)-рынков

ELMM <^=> EMM <!=> NA. (1)

Здесь NA есть свойство отсутствия арбитража (NA = No Arbitrage) в смысле определения 2 из § 2а, гл. V. Свойства EMM к EL ММ означают существование эквивалентной мартингальной меры (Equivalent Martingale Measure) и существование эквивалентной локально мартингальной меры (Equivalent Local Martingale Measure) соответственно.

Тем самым, если на рассматриваемом рынке арбитраж отсутствует, то импликация NA => EMM говорит о наличии мартингальной меры (Р ~ Р), что, как было показано в предшествующей главе, дает возможность при расчетах воспользоваться хорошо развитой техникой теории мартингалов.

Если же, с другой стороны, модель {В, £)-рынка такова, что для нее существует, по крайней мере, одна мартингальная мера, то импликация EMM ==> NA позволяет утверждать, что мы имеем дело с "честно" функционирующим рынком (в том смысле, что на нем отсутствуют арбитражные возможности).

Первые две импликации => и -Ф= в (1) также важны с принципиальной точки зрения, показывая, что в рассматриваемой ситуации классы мартин-гальных и локально мартингальных мер, на самом деле, совпадают.

Понятно, что и в случае непрерывного времени (и, по крайней мере, для семимартингальных моделей) желательно иметь утверждения типа (1). Однако оказывается, что в этом случае ситуация становится более сложной, хотя, по существу, "отсутствие арбитража" (при соответствующем определении) имеет место тогда и только тогда, когда существует эквивалентная мера с некоторыми (уточняемыми далее) "мартингальными" свойствами.

Из дальнейшего изложения станет ясно, что для удовлетворительного ответа на вопрос о справедливости утверждений типа (1) приходится прибегать к различным версиям понятия "отсутствие арбитража" которые, в конечном счете, определяются тем, какие классы стратегий допускаются к рассмотрению.

В этой связи напомним, что в случае дискретного времени для справедливости утверждений (1) на стратегии тг = (/3,7) никаких, в сущности, ограничений (кроме стандартных предположений предсказуемости и самофинансирования) не требовалось.

Другое дело - случай непрерывного времени, где уже для формулирования свойства самофинансируемости приходится прибегать к векторным

rt

стохастическим интегралам / (irs,dXs), для существования которых на

J о

(предсказуемые) стратегии тг приходится накладывать условие допустимости: тг Є L(X).

Конечно, если к рассмотрению допускать лишь только "простые" стратегии, являющиеся конечными линейными комбинациями "элементарных" стратегий (§ 5а, гл. III), то никаких "технических" сложностей, связанных с определением векторных интегралов (см. § 1а), не возникает.

К сожалению, в случае непрерывного времени из факта безарбитраж-ности в классе "простых" стратегий не удается, вообще говоря, установить существование мартингальных мер или мер с теми или иными свойствами "мартингальности" (Класс "простых" стратегий оказывается для этого слишком "бедным"!)

2. Перейдем теперь к основным определениям, относящимся к отсутствию арбитражных возможностей в семимартингальных моделях X = (l,X1,...,Xd),Xi = (Xi)t^T,i = l,...,d.

Следующее понятие можно считать классическим (ср. с определением 2 из §2а, гл. V).

Определение 1. Говорят, что (в момент времени Т) выполнено свойство NA, если для всякой стратегии тг Є SF(X) с Xq — 0

Р(Х£ £ 0) = 1 => Р(Х? = 0) = 1. (2)

Определение 2. Говорят, что выполнены свойства NAa и NA+, если, соответственно,

Фв(Л-)П£+(П,$т,Р)={0} (3)

и

Ф+(Х)П£+(Ю,^т,Р) = {0}, (4)

где Фа (X) и Ф+ (X) определены в § 1с и .L+, &т, Р) - подмножество неотрицательных случайных величин пространства Zoo (ГІ,     , Р).

Нетрудно показать, что условие (4) равносильно условию

Ф°(Х)П£+(Я,^г,Р) = {0}, (5)

где

Ф° (X) = jtf Є Loo(П, 5т, Р): ^ = f«e,dXa)

для некоторой стратегии 7Г Є П+ (X) ^. (6)

 

Определение 3. Говорят, что выполнено свойство NA+, если

 

Ф+(Х)П£+(П,^т,Р) = {0}. (7)

 

Свойство NA+, являющееся усилением свойства NA+, систематически используется в работах Ф. Делбаена и В. Шахермайера (см., например, [100], [101]), где оно названо свойством NFLVR - No Free Lunch with Vanishing Risk (отсутствие бесплатного ленча с исчезающим риском).

Объяснение названия NFLVR состоит в следующем.

Когда рассматривается вопрос о выполнении JV>l+-Bepcini отсутствия

арбитража, то в качестве "тестовых" функций^ берутся лишь неотрица-

тельные функции, которые либо мажорируются, либо совпадают с "дохо-

дом" /  (irs,dXs) от стратегий тг Є П+(Х).

•* о     

Но когда рассматривается ЛА+-версия отсутствия арбитражных возможностей, то в качестве "тестовых" берутся (снова неотрицательные) функции ф Є Я/+(Х) П L+ (ГІ,&т, Р), в том числе и те, которые могут возникать как пределы (по норме [J * ||оо) некоторых элементов ф , к ^ 1, из Ч!+(Х), принимающих, вообще говоря, и отрицательные значения (в частности, ими могут быть и (k3,dX3), мажорирующие при некоторых тг* функции фк^.

Поскольку фк — V'lloo 0, к —¥ оо, то можно считать, что фк ^ —1/п (для всех ш Є П), что и интерпретируется как исчезающий риск (VR -Vanishing Risk).

Весьма замечательно, что jVA+-версия отсутствия арбитражных возможностей допускает, как установлено в [101], прозрачное необходимое и достаточное ("мартингальное") условие. См. далее теорему 2 в § 2с.

3. Приведем также версии отсутствия арбитража, связанные с использованием стратегий из класса П9 (X).

Определение 4. Пусть д = («Ад1, ■ • • ,gd), где д* > 0, і = 0,1,..., d. Говорят, что выполнены свойства NAg и NAg, если, соответственно,

 

Ф3(Х)ПІ+(О,^т,Р) = {0}

 

и

Фд(Х)Л£+(П,^т,Р) = {0}.

 

В работе [447] свойство NAg названо свойством NFFLVR - No Feasible Free Lunch with Vanishing Risk (отсутствие возможного бесплатного ленча с исчезающим риском; feasible - возможный, вероятный, подходящий, осуществимый,...).

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010