В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1029511 человек которые просмотрели 19543230 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1348

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 3d. предсказуемые критерии мартингальности цен. i

1. Настояний и следующий параграфы посвящены отысканию предсказуемых критериев (т. е. критериев, выраженных в терминах свойств триплетов предсказуемых характеристик рассматриваемых процессов), при которых цены - семимартингалы S = (St)t^o ~ являются мартингалами или локальными мартингалами (относительно исходной меры Р или некоторой меры Р < Р). Ср. с § 3f в гл. V для дискретного времени.

Начнем с замечания о том, что в разных задачах могут оказаться удобными разные представления для рассматриваемых пен.

Если S ' {St,9t)f^o ~ семимартингал, то, согласно определению,

St = S0 + at + mt, (1)

где a ~ (at, 9t)t^o ~ процесс ограниченной вариации, a m = (mt, &t)t^o - локальный мартингал. Это разложение не является однозначным. Если, например, 5 = (St)f^o - стандартный процесс Пуассона (5о = О, ESt = At), то в соотношении (1) можно положить как at = St, mt = О, так иа( = At, mt = St — At.

Разложение (1) носит "аддитивный" характер. Но если предполагать, что S = (St)t^o является специальным положительным семимартингалом и (1) - его разложение с предсказуемым процессом а = {at)t^o-> то при дополнительном предположении, что St- + Aat ф 0, для S имеет место мультипликативное разложение

 

St = SoS(a)te(fh)t, (2)

где

<%)t = e*-i<*e>«  J] (l+A9s)e-&*° (3)

0<s^.t

-стохастическая экспонента, и процессы а = (а<)ит= {fn-tj определяются по формулам

_      /"* dau       „       Г* dmu

а* = / с— '    т* = /   "5   77—

Jo           Jo "->«- + Ааи

В справедливости формулы (2) можно легко убедиться, применяя формулу Ито; детали см. в [304; гл. 2, § 5].

Произведение двух стохастических экспонент в (2) может быть по формуле Йора (см. (18) в §3f, гл. III) "превращено" в одну стохастическую экспоненту:

g(a)tЈ(fh)t=§(H)t, (5)

где

Ht =at+fht + [a, m)t (6)

и

[a,m]t = £ Aas Am,. (7)

0<s^.t

Поэтому для S = (St)t^o получаем следующее представление

 

St = S0g(H)t, (8)

 

которое оказывается весьма удобным при анализе этого процесса "на мар-тингальность" поскольку стохастическая экспонента £(Н) является локальным мартингалом тогда и только тогда, когда Н есть локальный мартингал.

Выше (§ 1а, гл. II) отмечалось, что, с точки зрения статистического анализа, более удобно не представление (8), а представление по "формуле сложных процентов":

St = S0eHt (9)

с некоторым семимартингалом Н — (Ht)t^o- И именно это представление (9) принимается обычно в финансовой математике как исходное. Переход же от (9) к (8) осуществляется по формуле

 

Ht=Ht + {Hc)t+ £ {eAH°-l-AHs), (10)

 

которую в "дифференциально-разностной" форме можно записать следующим образом:

 

dHt = dHt + d{Hc)t + (eAHt - 1 - AHt). (И)

 

Для доказательства формулы (10) заметим, что по формуле Иго, примененной к /(Я) = е11,

 

dSt = St- [dHt + ^d{Hc)t + {eAHt - 1 - ДЯ,)]. (12)

С другой стороны, из (8) и свойств стохастической экспоненты

dSt = St-dHt. (13)

Сопоставление (12) и (13) приводит к формуле (10).

Замечание 1- Бесконечная сумма в формуле (10) абсолютно сходится (Р-п.н.), поскольку для всякого семимартингала Я существует лишь конечное число моментов времени $ ^ t, для которых

|ДЯв| > і и    Y1 (ЛЯ*)2 < 00

 

(см. § 5Ь, гл. III). По той же самой причине абсолютно сходится бесконечное произведение в определении стохастической экспоненты (3).

2. Пусть Я - семимартингал и

 

Я = Н0 + В + Нс + д * {р. - v) + (* - д{х)) * р, (14)

есть его каноническое представление (относительно некоторой функции урезания д = <?(*); р. = рн - мера скачков Яис = vH - ее компенсатор; см. § За).

Из (10) и (14) для Я получаем следующее представление: Я = Н + і (Яс) + (ех - 1 - х) * р

= Но + В + НС + І(ЯС> + g*{ft-V)

+ (х - д(х)) * р. + (ех - 1 - х) * р.. (15)

Для преобразования правой части в (15) воспользуемся тем, что если W *v(E. sifoc, то WI * p Є Ј<jЈc и при этом (см. § За)

Отсюда и из (15) находим, что если

(1*17(1*1 < 1) + е*Щх > 1)) *v Є <с, (17)

то

Я = К + Н0 + Яс + (ех - 1) * {р, - и), (18) где Яс + (ех -)*{p-v)Ј ^Гюс(Р) и

K = B+l-(Hc) + {ex-l-g{x))*v. Тем самым, из (18) вытекает следующая

Теорема. Пусть выполнено условие (17). Тогда Я Є Л?іос(Р) u S Є ^ioc(P) в том и только в том случае, когда

Kt=0   (Р-п.н.),      t > 0. (19)

В этом случае локальный мартингал

Н = Н0 + Нс + (ех -1) *(p-v). (20)

Пример. Пусть Я - процесс Леви, триплет (В, С, v) которого имеет следующий вид:

Bt=bt,    Ct=cr2t,    v{dt,dx) = dtF(dx), (21)

где мера F = F(dx) такова, что ^({0}) = 0 и

(х2 А 1) F(dx) < оо. (22)

Усилим (22), предполагая, что

(|*|/(|а:| < 1) + exI{x > 1)) F{dx) < оо. (23)

В этом предположении процесс цен St = SoeHl будет (относительно исходной меры Р) мартингалом, если (b, <J2,F) подчиняется следующему соотношению:

2 г

Ь+ у + у {ех - 1 - <?(*)) F(dx) = 0. (24)

Если Bt = Boert - банковский счет, то дисконтируемый процесс цен

— = ( —- )     образует по мере Р мартингал, если Б BtJt>o

Ь + у + У (еж - 1 - <?(*)) F(dx) = г. (25)

W * (р, — и) = W*p — W*v.

(16)

Замечание 2. В соответствии с обозначением (10) в предыдущем параграфе левая часть в уравнениях (24) и (25) есть значение "кумулянтной" функции ip(X) при А = 1. Поэтому формуле (25) можно придать следующий вид:

<р(1) = г. (26)

Замечание 3. Как показывает теорема 3 из § Зс, в случае процессов Леви условие J|я:|/(|а:| < 1) F(dx) < оо становится излишним. (Это условие возникло в ходе 'Перегруппирования'' членов в (15) с использованием формулы (16).)

§3е. Предсказуемые критерии мартингальности цен. II

Если условие (19) теоремы из § 3d не выполняется, то относительно исходной меры Р процесс цен S — Soe11 не является локальным мартингалом.

Но для многих целей (и, в частности, для проблем отсутствия арбитражных возможностей; см. § 2Ь) достаточно лишь существования некото-

~             ~ 1ос     ~ ioc

рой меры Р со свойством Р<Р или Р ~ Р, относительно которой процесс цен S является локальным мартингалом.

Вопросу существования мер с таким свойством было уделено много внимания в моделях с дискретным временем (§ § 3a-3f, гл. V).

Ниже этот вопрос рассматривается для случая непрерывного времени в семимартингальных моделях.

Пусть (О, &, (^t)t^o,P) - стохастический базис, Pt = P&t -сужение меры Р на ^j. Пусть также Р - некоторая вероятностная мера

— 1ос ~

на     такая, что Р «С Р, т. е. Pj -С Pt при всех t ^ 0. Будем предполагать

£Ь = {0,П}иРо = Ро.

Исследование вопросов существования мер Р, относительно которых тот или иной процесс становится локальным мартингалом, начнем с теоремы Гирсанова для локальных мартингалов, показывающей, что происходит с локальными мартингалами при абсолютно непрерывной замене меры. ~ 1ос

Теорема 1. Пусть Р«Р,Ме Жіос(Р), Мо=0 и Z = (Zt)t^0, где dP

Zt = -rjr- • Пусть квадратическая ковариация [М, Z] имеет Р-локаль-dPt

но интегрируемую вариацию и (М, Z) - предсказуемая квадратическая ковариация (компенсатор процесса [М, Z]).

Тогда процесс

M = M-±--(M,Z), (1)

 

является Р-локальным мартингалом и Р-характеристика (МС,МС) совпадает (Р-п.н.) с Р-характеристикой (Мс, Мс).

Доказательство. В соответствии с леммой из § 3d, гл. V,

 

XZ є Ж ф=ф- X є Ж(Р). (2)

 

(Формулировка и доказательство указанной леммы были даны для дискретного времени; на случай непрерывного времени они переносятся автоматически.)

Из утверждения (2) легко выводятся (см. детали в [250; гл. III, § ЗЬ]) следующие "локальные" версии:

 

xz є JiiQC(P) =£• х є ^fioc(P); (3)

(XZ)T» є Жхос(Р) => X є ЖІОС(Р), (4)

 

где (XZ)T» = (XtATnZtATn)t>0 и Tn = inf(r: Zt < 1/n).

Таким образом, для доказательства того, что М є Жос(Р), достаточно лишь убедитьсяв том, что (MZ)Tn є Жос(Р), n ^ 1.

Пусть

A=~-(M,Z). (5)

 

Тогда, до формуле Ито,

 

(M-A)Z = MZ-AZ

= {М- ■ Z + Z- ■ М + [M,Z]) - (A - Z + Z- ■ А) — (м_ ■ Z + Z- ■ М + (М, Z] - (М, Z)))

+ (M,Z)-A-Z- (М, Z) = M_-Z + Z--M + ([М, Z] - (М, Z))-A- Z. (6)

 

Первые три члена в правой части (6) являются Р-локальными мартингалами. Таковым же является при каждом п ^ 1 процесс (А ■ Z)Tn. Тем самым, согласно утверждению (4), процесс М є Жос(Р).

Таким образом, относительно меры Р процесс М становится семимар-тингалом с каноническим разложением

 

М = М + А. (7)

 

Отсюда и из определения квадратических вариаций [М, М] и [М, М] с помощью пределов^при п —»■ со римановских последовательностей SW(M,M) и 5<n>(Af,M) (см. (10) в §5Ьі_гл1Ш) вытекает, что с точностью до Р-неразличимости [М,М] = [М,М]. Учитывая, наконец, формулу (22) из того же §5Ь, гл. III, заключаем совпадение (по мере Р) предсказуемых квадратических вариаций (Мс, Мс) и (Мс, М°).

~ 1ос

3. ПустьSt — SoeHl,raeH = (Яг^о-семимартингал и пусть Р «С Р, „ _ dPt

Предположим, что процесс Z = (Zt)t^o порождается некоторым Р-локальным мартингалом N — (Nt)t^o'-

dZt=Zt-dNt. (8)

 

Иначе говоря, пусть Z = §{N).              ^ ^

Представим процесс S в виде S = SqS(H), где Янаходитсяпо Я согласно формуле (10) из предыдущего параграфа.

Пусть Н - специальный семимартингал с каноническим разложением

 

Н = Н0 + А + М, (9)

 

где М Є Жос(Р) и А - предсказуемый процесс локально ограниченной вариации.

Запишем Я в следующем виде:

Н = Н0 + А + М = Н0 + А + {M,N) + (М - (M,N)), (10) и заметим, что

j--(MtZ) = (M,N). (П)

Тогда, в силу теоремы 1, процесс М — (М, N) по мере Р с dPt = Zt dPt, t ^ 0, является локальным мартингалом. Следовательно, имеет место

Теорема 2. Если Н - специальный семимартингал с каноническим

разложением (9), мера Р <С Р и процесс Z = [Zt)t^o допускает представление (8), то

 

A+(M,N}=0        Не ^Ьс(Р). (12)

 

4. Пусть выполнено условие (17) из предыдущего параграфа и процесс N допускает следующее представление:

 

N = /3-Hc+{Y -l)*(p-v) (13)

 

с предсказуемым процессом /3 = (/3t (w))t>o и ^-измеримой функцией Y = Y(t, ш, х), t ^ 0, со Є П, х Є К. (В (14) р = рн, v = vH и предполагается, что соответствующие интегралы по Яс и р—v определены.) Воспользуемся представлением (18) из § 3d для Я:

 

Н = Н0 + К + Нс + (ех-l)*(p-v). (14)

 

Тогда, если считать v({t} х dx; ш) = 0, то найдем (см. замечание в конце п. 4 в §3а), что

 

(M,N) = /3-(Яс) + (У-1)(ех-1)*і/. (15)

 

Из утверждения (12), формул (14) и (15), а также (19) из § 3d приходим к следующему результату.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (17) из § 3d, v{{i) х dx; ш) — О

и

|Y-l||ex-l|**fc <оо. (16)

Тогда если

 

то относительно меры Р с dPt = Zt dP, і ^ 0, процессы Н и S = SqЈ(H) являются локальными мартингалами.

Пример- Пусть Н - процесс Леви, рассмотренный в примере § 3d, и пусть Рз{ш) = /3 и Y = Y(x). Тогда при условии

 

6+(І+/з)а2 + j(ex-l-g(x))F(dx) + J(ex — 1)(У — 1)F(dx) = 0 (18)

процессы HvlS — Sq§(H) являются Р-локальными мартингалами. Заметим, что условию (18) можно придать также следующую форму:

 

Ь + (І + ,з)а2 + J ((е* - 1)Y - д(х)) F(dx) = 0. (19)

 

В случае /3 = 0 и Y — 1 это условие совпадает с условием (24) из § 3d. Напомним представление для кумулянтной функции ср(А) из § Зс:

 

А2 Г

V(A) = Ь + —а2 + / (еХх - 1 - Хд(х)) F{dx). (20)

 

Тогда, беря /3 = Аи Y(x) = еАа;, из (20) находим, что условие (19) будет выполнено, если А выбрано как корень уравнения

 

<p(A + l)-v(A)=0. (21)

 

S ~ Если Bt = Boert, то дисконтируемые цены — относительно меры Р об-

В

разуют локальный мартингал, если dPt = Zt dPt и dZt = Zt_ dNt, где

JV = A • Hc + (eXx -)*{ji-v) (22) и А есть корень уравнения

 

Ч>{ + 1) - ч>() = г.

§ 3f.  О представимости локальных мартингалов ( и(Н°, х—z/)-представимость")

1.             В предыдущем параграфе предполагалось, что процесс плотности

dP

Z = [Zt)t^o с Zt = -J5-, являющийся Р-локальным мартингалом, допус-

Ог t

кает (см. (13)) представление Z = $(N), где Р-локальный мартингал N есть сумма двух интегралов по Нс и ц — и.

Сопоставляя это представление с и(ц—^)-представимостью" в случае дискретного времени (§4с, гл. V), естественно его называть а(Нс,ц—v)-представимостью", что и объясняет появление этих слов в заголовке данного параграфа.

В полной общности вопросы представимости локальных мартингалов рассматриваются в [250; гл. III, §4с]. Поэтому остановимся далее лишь на некоторых общих результатах, имеющих самое прямое отношение к вопросам арбитража, полноты и конструкции вероятностных мер, локально абсолютно непрерывных относительно исходной меры.

2.            Прежде всего отметим, что для удовлетворительного решения вопро-

са о представимости локальных мартингалов по локальному мартингалу

Нс и мартингальной мере ц — v на структуру пространства П элементар-

ных исходов ш приходится накладывать некоторые дополнительные пред-

положения. Именно, во всем дальнейшем будем считать, что О есть кано-

ническое пространство, состоящее из всех функций и> = (<A>t)t>o, явля-

ющихся непрерывными справа и имеющих пределы слева. (См. по этому

поводу также [250; гл. III, 2.13].)

Рассматриваемые далее случайные процессы X — (Xt (u>))t^o и, в частности, семимартингалы, будут предполагаться канонически заданными, т.е. Xt{uj) = u>t-

Под фильтрацией (^i)t^o будет пониматься семейство сг-алгебр

 

ъ = п

s>t

 

где 9& = а (и: ши, и ^ s). Будем полагать также 3- = j 9t.

Пусть Р - вероятностная мера на (0,9), Pt = Р|^, t ^ 0, и Н = {Hti^tlt^q ~ некоторый семимартингал с триплетом предсказуемых характеристик (В, С, v). Для простоты рассуждений будем предполагать, что HQ = Const (Р-п.н.).

Во многих отношениях интересен и важен вопрос о том, когда триплет (В, С, v) однозначно определяет меру Р. То, что, вообще говоря, это не так, показывают самые простые "детерминистические" примеры.

Так, например, пусть Н = {Ht)t^o является решением (обыкновенного) дифференциального уравнения

Ht = 2Ht1'3,     #о = 0

(с "нелишшшевой" правой частью). Это уравнение, очевидно, имеет два решения: = О, Н^ = t2. Оба они являются семимартингалами относительно мер Р^1) иРИ, первая из которых "сидит" на траектории wt = 0, а вторая -наи( = t2. В то же самое время в обоих случаях их триплеты [В, С, и) совпадают, причем С = Q,u = ОиВ((ш) = f 2|ол,|1/2 ds.

JO

3. Для проблемы и(Нс, ц—^-представимости" роль триплетов и единственности вероятностной меры раскрываются в следующем предложении.

Теорема 1. Пусть на каноническом фильтрованном вероятностном пространстве (П, 3, {3t)t^o, Р) задан семимартингал Н — [Ht,3t)t^oi Н0 = Const, с триплетом (B,C,v), причем мера Р является единственной в следующем смысле: если Р' - другая

1ос

мера, относительно которой Н имеет тот же триплет и Р' <С Р, Р'о = ро, то Р' = Р.

Тогда всякий локальный мартингал N = (Nt,3t) допускает представление

N = N0 + f Нс + W *{fi~v), (1)

где f - предсказуемый процесс с f2-{Hc) Є в4+с uW - Р-предсказуемый процесс с G(W) Є и/£с (§3а).

Доказательство этого результата и его обобщение ("фундаментальная теорема о представлении") см. в [250; гл. Ill, §4d].

Из приведенной теоремы вытекают следующие полезные результаты (в частности, в связи с полными безарбитражными моделями) относительно и{Нс,р, — г^-представимости"

Теорема 2. Пусть (0,3', {3t)t^o, Р) - каноническое фильтрованное вероятностное пространство.

а) Если Н — (Ht,3t)t^o является процессом броуновского движения, то всякий локальный мартингал N = (Nt,3t)t^o имеет вид

N = Но + f ■ Н, (2)

где /2.(я)€<с.

Ь) Если семимартингал Н = (Ht,3t) является процессом с независимыми приращениями, то всякий локальный мартингал N = {Nt,3t)t^o допускает представление (1).

Доказательство непосредственно следует из теоремы 1 в силу единств ен-ности винеровской меры и того факта, что для процессов с независимыми приращениями их триплет является детерминированным, и по нему распределение вероятностей определяется (в силу формулы Леви-Хинчина) однозначным образом.

Отметим, что утверждение а) уже приводилось ранее (§ Зс, гл. III).

4. Наряду с изложенными в теореме 2 случаями а) и Ь), относящимися к числу "классических" остановимся вкратце еще на одном случае, когда также имеет место результат об "{Нс, ц—^-представимости" локальных мартингалов.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (ср. с §3е, гл. III):

dHt = b(t, Ht)dt + a{t,Ht) dBt + g (S(t, Hux)) [n{dt, dx; ш) - u{dt, dx; u)) + g'(5(t,ht,x))fi{dt,dx;u>), (3)

где b, a, S - борелевские функции, g = g(x) - функция урезания, g'(x) = x — g (x), В - броуновское движение, ц - однородная пуассоновская мера с компенсатором v{dt, dx) — dt F{dx) (§ За). Хорошо известно (см., например, [250; гл. III, § 2с]), что в случае (локально) лишпицевых коэффициентов, удовлетворяющих условию линейного роста, стохастическое дифференциальное уравнение 3 (с начальным условием Hq = Const) имеет единственное сильное решение (§ Зе, гл. III). При этом оказывается, что независимо от того, каково исходное вероятностное пространство, на котором определены броуновское движение и пуассоновская мера, распределение вероятностей процесса-решения Н на каноническом пространстве (0,3) определяется однозначным образом.

cKt{ojt,A) = /іА{о} (*(*,««*,*)) F(dx).

Процесс Н является семимартингалом с триплетом (В, С, v), где

Таким образом, при наличии сформулированных условий на коэффициенты (локальное условие Липшица и линейный рост) можно утверждать, что всякий локальный мартингал N = (Nt,3t)t^o допускает "(Hc,p—i>)-представление" (Подробнее см. [250; гл. III, § 2а].)

§ 3g. Теорема Гирсанова для семимартингалов. Структура плотностей вероятностных мер

Если М = (Mt,3t)t^o ~ лока^ный мартингал на (0,3, (3t)t^o, Р)

~ loc

и мера Р <g; Р, то относительно этой меры процесс М является семимар-тингалом (см. (7) в §3е).

Весьма замечательно, что относительно такой замены меры всякий се-мимартингал переходит также в семимартингал. Иначе говоря, класс семимартингалов является устойчивым по отношению к локально непрерывной замене меры. (Этот результат является простым следствием формулы Иго для семимартингалов (§ 5с, гл. III).)

С точки зрения отсутствия арбитражных возможностей для финансо-

вой математики особенно интересен вопрос о том, относительно какихмер

с;            ~ loc      ~ 1°с

Р со свойством Р ~ Р или Р "С Р рассматриваемый семимартингал X, описывающий, скажем, динамику пен, является локальным мартингалом или мартингалом.

Один из возможных подходов к решению этой задачи состоит в выяс-

~ loc

нении того, как при локально абсолютной непрерывной замене меры Р -С Р преобразуется каноническое представление (по мере Р)

X = Х0 + В + Xе + д * [р - v) + {х - д{х)) * р (1)

семимартингала X с триплетом (В, С, v) в каноническое представление

Х = Х0+В + Хс+д*(р-ї) + (х-д(х))*р (2)

тт dPt

Пусть Zt = 35-, t > 0. Положим

d(Zc,Xc)   I(Z_ > 0)

P    d{Xc,Xc) '     Z.     '    1 '

f = e;^/(z_>o)

P, (4)

(по мере Р) этого семимартингала с новым триплетом (В, С, и), aft dPt

где Е£ - усреднение по мере М£ на (ft х К+ х Е,&®2&(Ж+)®£), определяемое формулой W * М£ = E(W * р) для всех измеримых неотрицательных функций W = W(w,t,x). (Ср. с определением У„(х, J), Mn(dx,du>) в §3е, гл. V.)

Процессы 0 и Y играют ключевую роль в вопросах преобразования триплетов при замене меры, а следующий результат часто называют "теоремой Гирсанова" для семимартингалов.

~ loc dPt Теорема 1. Пусть Р <С Р, Zt = —, t > 0, и процессы /3 и Y

drt

определяются по Z = (Zt)t-^o по формулам (3) и (4). Тогда В, С и v, определяемые формулами

 

B = B + f3-C + g(x){Y-l)*v, (5)

С = С, (6) v = Y-v, (7)

 

задают версию триплета семимартингала X по мере Р.

Доказательство этой теоремы (не только в сформулированном случае одномерных семимартингалов, но и в многомерном случае) дается в [250; гл. III, § 3d] и в техническом отношении является довольно трудным. Отсылая за деталями доказательства к указанной монографии, прокомментируем содержательную сторону утверждения этой теоремы.

Прежде всего отметим, что для случая дискретного времени соответствующий результат был доказан в § Зе, гл. V, где объясняется смысл дискретных (по времени) аналогов меры М£ и величины У.

Утверждение (5) показывает, как трансформируется "сносовая" компонента В триплета (В, С, и).

Утверждение (6) говорит о том, что квадратические характеристики у непрерывной мартингальной составляющей Xе на самом деле при абсолютно непрерывной замене меры не изменяются (с точностью до Р-стохас-тической эквивалентности).

Утверждение (7) показывает, что У есть не что иное, как производная Радона-Никодима меры v по мере v.

(8)

3. Если семимартингал X является специальным, то в каноническом представлении (2) можно положить g(x) = іи тогда

 

X = Хо + В + Xе + х * {р - v).

Отсюда видим, что специальный семимартингал X является локальным мартингалом, если В = 0- Вместе с теоремой 1 это замечание приводит к следующему предложению.

Теорема 2. Пусть Р << Р в при этом (х2 Л х) * ї> Є si^c- Тогда специальный семимартингал X относительно меры Р является локальным мартингалом, если

 

B + f3-C + x{Y -l)*v = 0. (9)

 

4. Формулы (3) и (4) показывают, как, зная процесс Z = (Zt)t^o, находить /3 и У. Естественно теперь поставить обратный вопрос, как по /3 и У найти соответствующий процесс Z.

Решение этого вопроса открывает путь к построению меры Р, относительно которой семимартингал X становится локальным мартингалом. Действительно, если /3 и У таковы, что выполнено условиеJ 9), и по ним восстанавливается процесс Z, то тогда заведомо по мере Р с dP? — Zt oIPt пропесс X = (Xt)t^t будет на [О, Т] локальным мартингалом.

Пусть X - семимартингал, заданный на каноническом пространстве (О, (&t)t~^o, Р)- Предположим, что всякий Р-мартингал М допускает "{Xе, /і—^-представление":

 

М =M0 + f-Xc + W* (10)

 

(См. формулу (1) в §3f.)

— loc

Теорема 3. Пусть Р <tC Р, Z = (Zt)t^o является процессом плотности, c({<}xЈ;w) = 0, t > 0, /3 uY определены по формулам (3) и (4). Тогда (при выполнении свойства "(Хс,р—и)-представимости") процесс Z удовлетворяет соотношению

Z = Z0 + (Z-0) ■ Xе + Z_(y - 1) * (р. - v). (11)

 

Если при всех t > О

/З2 ■ (Xc)t + (1 - W)2 * vt < oo, (12)

 

то процесс N = (Nt)t^o с

Nt = /3 ■ Xtc + (У - 1) * {ji - v)t (13) является Р-локальным мартингалом. Процесс Z = {Zt)t^o является решением уравнения Долеан

dZ = Z- dN (14) и может быть представлен в виде

Zt = Z0s(N)t, (15)

 

g(N)t=eN<-№2c*  Л (l+ANs)e-AN°. (16)

 

Приведенная формулировка теоремы предполагает, что v({t}xE; ш) = 0. Это условие означает, что процесс X является квазинепрерывным слева, т.е. для любого предсказуемого момента остановки т величина АХТ = О на множестве {г < оо}. В общем случае соответствующая формулировка вместе с доказательством дается в [250; гл. III, § 5а].

Замечание. По поводу непосредственного применения результатов теорем 2 и 3 в диффузионных моделях см. следующий § 4а.

 

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010