В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1070321 человек которые просмотрели 19912549 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1378

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4ь. цена хеджирования на полных рынках

1. Представление о хеджировании и способах отыскания "цены хеджирования" для полных и неполных рынков в случае дискретного времени было дано в гл. VI.

В общих семимартингальных моделях соответствующее изложение, проходит параллельным образом, за исключением разве лишь того, что надо четко оговаривать, какие классы стратегий являются допустимыми.

Будем придерживаться диффузионной модели (В(0), 5)-рынка, описанной в п. 4 в § 4а, и следовать обозначениям, принятым в этом параграфе.

Несколько видоизменяя введенное выше (§2d) понятие Т-полноты, будем говорить, что неотрицательное .^-измеримое платежное поручение /т с EZt/t < оо является воспроизводимым (достижимым), если найдется стратегия 7Г Є П+ (S) такая, что Хт = /т (Р-п.н.). Понятно, что если fx ограничено, то условие EZt/t < со выполнено.

Определение. Если платежное поручение fx воспроизводимо, то ценой (совершенного) хеджирования Европейского типа (ср. с терминологией в § lb, гл. VI), или просто ценой, называется величина

 

С(/т;Р) = inf{x ^ 0: Этт Є П+(5) clj = х, ХТ = /т}- (1)

 

2. Теорема. Пусть Рт - единственная мартингалъная мера. Тогда цена

С(/т;Р)=Ерг/т   ( = EZt/t)- (2)

(3)

Доказательство. Если тг = (/?,7) является а-допустимой самофинансируемой стратегией, то

XI =XZ+ [%udSu, t^T, Jo

причем (согласно теореме Анселя-Стрикера; см. п. 6, § 1а) Хж = (XЈ)t<^t является Ру-супермартингалом и, значит,

EfTXT < Х%. (4) Поэтому если Хт = /ті т° Ерг/т ^ -^о и

EZT/T-E?T/T<C(/T;P). (5)

Покажем теперь, что существует 0-допустимая самофинансируемая стратегия тг с начальным капиталом Х£ = EZt/t, которая воспроизводит ft,t.e.XT =/т(Р-п.н.).

Определим процесс

 

Xt = E(ZTfT&t),    t^T. (6)

 

Ясно, что X = (Xt,&t)t4T ждется мяртятталом. относительно "броуновской фильтрации" и, по теореме о представлении (см. §3с, гл. ПІ), най-

»т

дется такой процесс ф = (tpt, &t)t<^T с jQ фі ds < со, что

 

Xt =X0+ f^sdBa. (7) Jo

 

Заметим, что процесс (Z^1 Xt)t^.T таков, что он воспроизводит /т-

 

Z^XT = /г- (8)

Покажем теперь, что найдется 0-допустимый самофинансируемый портфель ж = (/?,7), такой, что

 

X? = Z^Xt. (9)

Поскольку

dZt = -Zt^dBu (10)

o~t

то по формуле Ито (§ 3d, гл. Ш)

ад-1)-яг1 ((^)Я*+(и)

и

d{Z^Xt) = ZtldXt + Xtd{Z^) + d{Z~r)dXt

= ггНФг dBt) + xtz~x ((^Ydt +   dBt)+zr1 (^t)dt

 

= Zf Vt (dBt + ^dt)+ XtZf1^ (dBt + ^ dt)

(13)

0>        cr*'

— St (a* dBt + f*t dt) Положим

 

Тогда видим, что

d(Zr'1Xt)=jtdSt, (15)

/ -ylal du < оо (Р-п.н.), t ^ Т. Jo

причем

(16)

Z^Xt = E(ZTfT) + f^udSu.

Jo

(Ср. (16) с условием (18) в §4а.) Тем самым, для t ^ Т

 

(17)

Полагая

г-1

fit = Z-'Xt - ytSt, (18)

находим, что (в силу (15)) стратегия тг — (/?, 7) является самофинансируемой с капиталом X* — (XЈ)t^T, таким, что

Xt = E(ZTfT) (19)

и

Xf = Zr1Xt,    Х| = /т. (20)

Из (5), сопоставляя (19) и (20), получаем требуемое равенство (2). Заметим, что построенная стратегия п является 0-допустимой, поскольку Xf > 0, t < Т.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010