Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Рейтинг:

Просмотров: 1348

§ 5а. модели без арбитражных возможностей

В § 4с, гл. III, были рассмотрены некоторые модели временной структуры стоимостей семейств облигаций. В частности, там отмечалось, что при описании динамики стоимостей P(t, Т) облигаций имеются два основных подхода - опосредованный (когда в качестве "базисного" процесса берется некоторый процесс "процентной ставки" г = {r(t))t^o и считается, что P(i,T) = F(t,r(t),T)), и прямой (когда Р(*,Т) задаются непосредственно как решения стохастических дифференциальных уравнений).

Эти подходы приводят к разным моделям, ив духе той постоянно используемой в книге концепции, что "справедливо" устроенный рынок - это рынок без арбитражных возможностей, естественно выяснить, прежде всего, при каких условиях в этих моделях отсутствует арбитраж и как в таких безарбитражных моделях "явно" представляются стоимости P(t, Т).

В случае опосредованного подхода будем считать, что (неотрицательный) процесс процентной ставки г = {r(t))t^o является решением стохастического дифференциального уравнения (ср. с (5) в §4с, гл. III)

dr{t) = a(t,r{t))dt + b(t,r{t))dWt, (1)

порождаемого некоторым винеровским процессом W = {Wt,&t)f^o- (Относительно броуновской (винеровской) фильтрации {3"t)t^a см. §4а.) Будем предполагать также, что коэффициенты а = a(t,r), b — b(t,r) таковы, что уравнение (1) имеет, и притом единственное, сильное решение (§3е,гл. III).

С процентной ставкой г - (r(t))t^o естественным образом связывается банковский счет

B(r) = (В«(г))«>0

с

Bt(r)=expQf r(e)ds), (2)

играющим, как и в случае с акциями и другими активами, роль некоторого "стандарта" при сравнении стоимостей различных облигаций. ^Всюду

далее предполагается, что J r(s) ds < оо (Р-п.н.), t > 0.^

Пусть P(t, Т) - стоимость некоторой Т-облигации (см. §4с, гл. III), предполагаемой ^-измеримой при каждом 0 ^ t < Т с Р(Т,Т) = 1. Всюду далее считается, что для каждого Т > 0 процессы (P(t,T))t^.o являются опциональными. Тогда, в частности, P(t, Т) - ^-измеримы для каждого Т > 0. По самому смыслу Р(*,Т) как цены облигаций с Р(Т,Т) - 1 будем также считать, что 0 < Р(*,Т) < 1. Образуем дисконтированную цену

Р(*,Т) = ^Щ,    0^t<T. (3) Bt(r)

Имея в виду утверждение "Первой фундаментальной теоремы" об отсутствии арбитражных возможностей (§2Ь, гл. V), а также веря в то, что "наличие мартингальной меры обеспечивает (или почти обеспечивает) отсутствие арбитражных возможностей" предположим, что существует мартингальная, или риск-нейтральная мера Рт на ^т, такая, что Рт ~ Рт ( = Р&г) и {P{t,T),&t)t^T является Рт-мартингалом. Тогда из (3) сразу заключаем, что

Цт (Р(Т, Т) | St) = P(t, Т),    t < Г, (4)

и, значит, справедлива следующая

(5)

Теорема 1. Если существует мартингальная мера Рт ~ Рт» относительно которой дисконтируемый процесс (P(t,T),&t)t^T есть Рт-мартингал, то

P(t,T) =Ерт(ехр(- j(s)ds^

Доказательство сразу следует из (4) и условия Р(Т, Т) = 1:

Е    (    1 Л-?^Т) *ЛВт(г)     7 ' что и приводит к представлению (5). _

Из (5) видим, что если относительно меры Р процесс г = {r(t))t^o является марковским, то стоимость P(t, Т) может быть записана в виде

P(t,T) = F(t,r(t),T).

При этом "безарбитражность" автоматически накладывает на функцию F(t, г, Т) некоторые ограничения (см. далее § 5с).

Замечание 1. Обратим внимание на то, что стоимость P(t, Т) облигаций не определяется однозначно по банковскому счету В (г) и требованию отсутствия арбитража (точнее, требованию наличия мартингальной меры) . Дело здесь в том, что ниоткуда не следует единственность меры Рт, а это означает, что P(t,T) может реализоваться (выражением (5)) разными способами в зависимости от выбираемой меры Рт •

Отметим также, что если вместо условия Р(Т, Т) = 1 требовать, чтобы

/т

< оо, то

ST (г)

Р(Т, Т) было равно /т, причем /т - ^т-измеримо и Е^ из (4) находим, что

F (JL- эЛ-Р(*'Г) ^т{вт(г)   **) Bt(r)

(6)

и, значит,

P(t,T) - Ерт j/Texp(- j(s)ds^ J

3. Перейдем теперь к рассмотрению не одной фиксированной Т-облига-пии, а семейства Т-облигаций

Р= {P(t,T); 0^і<Т, Т>0}. Определение 1. Пусть Р - вероятностная мера на (ft,    (^t)t^o) с 9 = J 9f Будем говорить, что мера Р со свойством Р '~ Р (т. е. Р* ~ Р*, t > 0) является локально мартингальной мерой для семейства V, если

— Р(*,Т)

при каждом Т > 0 дисконтируемые цены P(f, Т) —     '    , t ^ Т, являют-

St(r)

ся Рт-локальными мартингалами.

Для определения понятия безарбитражного (Я,Р)-рынка, состоящего из банковского счета В и семейства облигаций V, надо, прежде всего, остановиться на том, что здесь следует понимать под портфелем (стратегией).

Определение 2 ([38]). Под стратегией 7г = (/3,7) на (В, *Р)-рынке по-

нимается пара, состоящая из предсказуемого пропесса /3 = (/3{)г^>ои семей-

ства конечных борелевских мер (со знаком) 7 - (7t( - ))t^o, обладающих

следующими свойствами: при любых (иш функция множеств 7* = 7* (dT)

есть мера на (R+,         носитель которой сосредоточен на [t, оо) и при

каждом А Є ЈS(R+) процесс (7t(A))t^.o является предсказуемым.

Понятна интерпретация /3 и 7: Д - это "число" единиц банковского счета, a 7t (dT) - это "число" облигаций (на момент времени t) со сроком исполнения в интервале [Т, Т + dT].

Определение 3. Капиталом стратегии п называется (случайный) процесс X* = (Xf)t^0 с

/

оо P(t,T)lt(dT). (7)

(Предполагается, что при всех tnu интегралы Лебега-Стилтьеса в (7) определены.)

4. Дадим определение самофинансируемого портфеля тг = (/3,7) для (В, Р)-рынков.

С этой целью будем, придерживаясь прямого подхода (§4с, гл. III), предполагать, что динамика цен P(t,T) описывается HJM-моделыо: для 0 ^ t<ТиТ > 0

dP(t,T) = P(t,T)(A(t,T)dt + B(t,T)dWt), (8)

где W = (Wt)t^o - стандартный винеровский процесс, играющий роль "источника случайности'! К уравнениям (8) надо добавить краевые ус ловил Р(Т,Т) = 1, Т > 0. (Подробнее об условиях измеримости коэффициентов A(t,T), B(t,T), и условиях существования решений уравнений (8) см. §4с, гл. III).

С учетом уравнения

dBt(r)=r(t)Bt(r)dt (9) по формуле Ито находим, что

имеет дифференциал (по t при каждом Т)

dP(t,T) = P(t,T)([A{t,T)-r{t)]dt + B(t,T)dWt). (11)

(12)

В случае диффузионных (В, 5)-рынков стратегия тг = (/3,7) с капиталом X* — f3tBt + 7t5t называлась самофинансируемой, если

dX? =BtdBt + ltdSt,

(13)

то есть,

X? =Х5+ [* /Зи dBu + [ 7« dSu. Jo Jo

В рассматриваемом случае диффузионных (Б,Р)-рынков стратегию тг = (/3,7) с капиталом X? = PtBt{r) + f°°P{t,T)it(dt) естественно называть самофинансируемой ([38]), если (в символической форме)

/

оо dP(t,T)lt(dT), (14)

что следует понимать в том смысле, что (с учетом (8))

X? = Х£ + J* р, dBs(г) + j[*        A(s,T)P(s,T) Ъ(dT) ds

5. Для формулирования условий отсутствия в (В, V)-моделях арбитражных возможностей обратимся, прежде всего, к вопросу о существовании мартингальных мер.

С этой целью доопределим функции A(t, Т) nB(t, Т) для* > Т, полагая A(t,T) = r(t) иВ(і,Г) — В(Т,Т).

Тогда из (11) непосредственно видим, что для того, чтобы последовательность цен (P(t,T))t^.T образовывала при каждом Т > 0 локальный мартингал относительно исходной меры Р, необходимым образом должно быть выполнено условие

A(t,T)=r(t). (19) Из (8) следует, что в этом случае

dP(t,T) = P(t,T)(r(t)dt + B(t,T)dWt)

dP{t,T) = P{t,T)B(t,T) dWt. (20)

Учитывая формулы (14) и (15) из § 4c, гл. Ill, и то, что в предположении (19) —^— = 0, находим для f(t, Т) следующее соотношение:

df(t,T) =a(t,T)dt + b{t,T)dWt,

dWa. (15)

Если стратегия тх = (/3,7) является самофинансируемой, то для дискон тируемого капитала

X

находим, что

4 ад

/

оо         

dP{t,T)it{dT).

Как ив (14), символическая запись (17) означает (с учетом (11)), что П =Х* +J*y™{A(s,T)-r(s))P(s,T)ls(dT) ds

+-f [^°° B(s,T)P(s,T)ls(dT) где

a{t,T)'= b{t,T) / b(t,s)ds. Jo

Если же условие (19) не выполняется, то естественно (по аналогии со случаем акций) воспользоваться идеями "теоремы Гирсанова"

Для наших целей удобной является следующая формулировка.

Пусть на (П, (&t)t^o) с & = V &t помимо исходной меры Р существует также вероятностная мера Р такая, что Р '~ Р, т. е. Pt ~ Pt, t ^ 0.

Обозначим Zt = -т^-- Поскольку (^t)t^o есть броуновская (винеров-aPt ' екая) фильтрация, то, согласно теореме о представлении положительных

локальных мартингалов (см. формулу (22) в § Зс, гл. III),

где tp(s) - ^-измеримы, f*<p2(s)ds < оо (Р-п.н.) и EZt = 1 при каждом t > 0.

По теореме Гирсанова (см. § Зе, гл. III) процесс W = (Wt)t^o с

Wt=Wt- Г ф) ds (22) Jo

является относительно меры Р винеровским. Поэтому по этой мере Р

dP(t,T) =P(t,T)[(A(t,T)+<p(t)B(t,T))dt + B(t,T)Wt] (23)

и

dP(t,T) ^t,T)[(A(t,T) + ^)B(t,T)-r(t))dt + B(t,T)Wt] (24) (ср. с (8) и (11)).

_ Отсюда видим (ср. с (11)), что процессы {P{t,T))t^.T являются по мере Р локальными мартингалами при всех Т > 0 в том и только том случае, когда выполнено следующее соотношение:

A{t, Т) + <p(t)B(t, Т) - г (і) = 0. (25) Из (23) следует, что тогда

dP(t,T) = P(t,T)(r(t)dt + B{t,T)dWt), (26)

где W = (Wt)t^Q - винеровскийпроцесс по мере Р.

6. Определение того, что стратегия п = (/?, у) на (В, Р)-рынке является безарбитражной в момент времени Т (скажем, в 7УЛ+-версии) таково же, как ив § 1с. (В,Р)-рынок будет называться безарбитражным, если он является таковым при всех Т > 0.

Теорема 2. Пусть нашлась мера Р '~ Р такая, что процесс плотности Z = {Zt)t^o имеет вид (21) и выполнено условием (25).

Тогда при любом а ^ 0 в классе а-допустимых стратегий п (Xt > —a, t > 0) таких, что

B(s,T)la{dT)

л 2

ds < оо,      t > 0, (27)

арбитражные возможности отсутствуют.

Доказательство. При условиях (25) и (27) процесс 1С = (Щ)г^0 является, согласно (18), Р-локальным мартингалом.

В силу условия а-допустимости (Xt —а, t > 0) этот процесс есть также супермартингал. Поэтому, если Хд = 0, то ЕрХТ ^ 0 для любого Т > 0. Но Р(Х^ > 0) = Р(Х% > 0) = 1. Значит Х£ = О (Р- и Р-п.н.), Т > 0.

Теорема доказана.

Замечание 2. Пусть A(t,Т), B(t,T) иr(t) таковы, что функция не зависит от Т и для всех t > О

Г(*У^)'*<- <--)•

В этих предположениях при отыскании меры Р со свойством Р ~° Р естественно поступить так.

Обозначим функцию в (28) через <р = <p№i t ^ Т, образуем процесс Z = {Zt)t^0 по формуле (21) и предположим, что EZt = 1, t > 0. Тогда для каждого t > 0 мера Pt с dPt = Zt dPt является вероятностной и такой, что Pt ~ Pt.

Семейство мер {Pt, t ^ 0} является согласованным (в том смысле, что Ps = Pt | если s ^ t) и если существует на (Q, вероятностная мера Р такая, что Р '~ Р, то эта мера и будет требуемой мартингальной мерой.

В том случае, когда рассматриваемый (В, 7-))-рынок таков, что для всех Т-облигадий время исполнения^Т <С Т0, где То < оо, то в качестве требуемой меры Р можно взять меру Рт0-

Ясно также, что если Z^ — lim Zt, причем EZ^ = lnP(Z00 > 0) = 1,

t—too

то мера P с dP = Zoo dP будет требуемой мартингальной мерой со свойст-вомР ~ Р.

7. Приведем пример безарбитражной (В, Р)-модели. Следуя [36], [219], будем отправляться от форвардной процентной ставки f(t, Т) со стохастическим дифференциалом (по t при каждом Т)

df(t,T) = a(t,T)dt + b{t,T)dWt, (ЗО)

где

5. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования 895 Можно также воспользоваться и тем, что, согласно (2) в §4с, гл. III,

6(t,T) = сг > О,                (31)

a{t,T) =cr2(T-t),  t<T.   (32)

Тогда (30) примет вид

df(t,T) = а2(Т -t)dt + adWt,     (33)

откуда

f{t,T) = f{Q1T) + a2t(T-t^+aWt,              (34)

где /(0,Т) - "сегодняшняя" форвардная процентная ставка Т-облигаций, которая известна на (В, Р)-рынке (в момент t = 0). Из (34) и определения г (i) = f(t,t) следует, что

2

r(t)=f(0,t) + ^-t2 + aWt. (35)

Отсюда понятно, что процентная ставка г = (r(t))t>o подчиняется уравнению

dr(t) = + a2*) dt + adWt. (36)

(Ср. с моделью Хо и Ли (12) в § 4с, гл. III.) Коэффициенты A(t, Т) и B(t, Т) в уравнении (8) подсчитываются по коэффициентам a(t,T) = а2(Т - і) и b(t, Т) = а в (33) следующим образом:

A(t,T)=r(t)-J(t,s)ds+^j(t,s)ds^ =r(t), (37) B(t,T) = -ст(Т-і). (38)

Тем самым, в рассматриваемой (В, Р)-модели выполнено условие (19), и, следовательно, исходная мера Р является мартингальной и арбитраж отсутствует.

Сами цены P(t, Т) могут быть найдены из уравнения

dP(t, Т) = P(t, Т) [r(t) А - а(Т -1) dWt], t<T, решаемого для каждого Т > 0 при условии Р(Т, Т) = 1.

P(t,T) =ехр^-^  f{t,s)dsj,    t^T. (39)

Из (34)

ds + сг(Т - t)Wt

i-T

J    f(t,8)d8 = J [/(О,5)+Л^-0

т 2

/(0, в) ds + —«Г(Т - «) + «т(Т - t)Wt.

t *

P(t,T) =ехр|-jf  /(0,e)ds- ^-tT(T -1) + сг(Г - t)Wt

Следовательно,

г2 2

^Zlexp^ -            " *) + CT(T - t)W« (40)

Отсюда и (35) находим следующее представление для P(t, Т), выраженное через процентную ставку r(t):

Р(*,Т) = ^-^ехр{(Г-і)/(0,Т) - yi(T-i)2 - (T-i)r(i)}. (41)

(Ср. с аффинными моделями в § 4с, гл. III, и далее в § 5с.)

8. В рассмотренных выше "диффузионных" моделях для процентных ставок г = (r(t)), форвардных процентных ставок / = (f{t,T)), самих цен Т> = {P(t,T); 0 < t < Т, Т < оо} облигаций предполагалось, что все они порождаются одним источником случайности - винеровским процессом W = (Wt)t>0.

В обширной литературе, посвященной описанию динамики стоимостей облигаций, рассматриваются и другие модели, в которых вместо одного винеровского процесса W = (Wt)t^o берется многомерный винеровский процесс W ' (W1,..., W"). Для учета скачкообразных изменений в стоимостях Р(£,Т) к рассмотрению привлекаются и другие "источники случайности" - точечные процессы, маркированные точечные процессы, процессы Леви и др.

Отсылая читателя к специальной литературе (см., например, статьи [36], [38], [128] и библиографию к ним), приведем лишь только некоторые модели, в которых учитываются названные "источники случайности"

В [36], [38] для обобщения "диффузионных" моделей типа (1) вводятся в рассмотрение модели типа "диффузия со скачками":

d Г

dr(t) =atdt + YJbltdWi + / q(t,x)fi(dt,dx), (42) »=i •*

где [i = p(dt, dx) - некоторая целочисленная случайная мера на ІЦ- хіїхЕ и (И^1,..., Wd) - независимые винеровские процессы.

Соответствующие изменения вносятся и в модели, описывающие динамику P(t,T) и /(і,Г):

dP(t, Т) = P(t, Т) (A(t, T)dt + J2 В'(<>Т) dWf

+ P(t-T) f q(t,x,T)(i(dt,dx), (43) Je

d

df(t, T) = a(t, T)dt + J2 bi (*> T) dWi

i=l

+ I S(t,x,T)n(dt,dx). (44) Je

9. Рассмотрим теперь, следуя работе [128], некоторые модели, основанные на использовании процессов Леви как "источников случайности"

С этой целью обратимся сначала к уравнению (20), которое перепишем в виде

dP(t,T) = P(t,T)dH(t,T), (45)

где

H(t,T) = [ [r(s)ds+B{s,T)dWs]. (46) J о

Положим также

B2(s,T)

H(t,T) = j*^r(3)-

2

Тогда (см. (9)-(13) в § 3d) имеют место представления

P{t,T) = P(0,T)S(H(-,T))t (48)

P{t,T) = P(0,T)eH(t,T). (49) Учитывая (47), находим, что

Btir)

P(t,T)

P(t,T) =

(50)

= Р(0,Т)ехРу* B(s,T)dWa -±J*B2(s,T)dSy

Если, скажем, функция B(s,T), s ^ Т, является ограниченной, то видим, что выражение в правой части (50) является мартингалом.

Пусть теперь вместо винеровского процесса W = (Wt)t^o берется процесс Леви L = (Lt)t^o (см. § lb, гл. III). Зададимся вопросом о том, в каком виде надо определять процессы H(t, Т) и H(t, Т), предполагая, что вместо интегралов / В (s, Т) dWa теперь рассматриваются интегралы

J О

/ B(s,T) dLa, понимаемые как стохастические интегралы по семимартин-галу L — (Ls)s<t с детерминированными и ограниченными функциями B(s,T).

Если функции В (s, Т) являются по s достаточно гладкими, то можно воспользоваться и определением Н. Винера:

rt            ft я/Э

J B(s,T)dLs=B(t,T)Lt- у —{s,T)Lads.

(См. по этому поводу §3с, гл. III, и, в связи с процессами Леви, рабо-ту [128].) Пусть

2 Г

= Ь+?-а2+    (еХх - 1 - д(х)) u(dx) (51) ^ Jm

-кумулянтная функция (см. §3с) процесса ЛевиІ, = {Lt)t^o-

Будем при этом предполагать, что интеграл в (51) определен и конечен для всех А, таких, что |А| ^ с, где с = sup B(s, Т).

В соответствии со смыслом кумулянтной функции

EgALt^gMA) (52)

Пусть Xj = J*B{s,T)dLs, t J$ Т. Процесс Хт = [Xj)t^t является процессом с независимыми приращениями и его триплет (Вх ,СХ ,vxT) предсказуемых характеристик может быть найден по триплету (BL,CL, vL) процесса L (см. §5а, гл. ГХ в [128] и [250]). Тогда, применяя формулу Ито, можно найти (см. детали в [128]), что

ЕеА*«Т =ехр^У 4>{XB{s,T))da^.

Процесс ^ехр^А-Х"^ — jf (B(s,T)) ds^   ^ является мартингалом

(ср. с (11) в § Зс). Поэтому, желая иметь процесс (P(t,T))t^T мартингалом, естественно, обобщая представление (50), полагать

P{t,T) = Р(0,Т)ехРу* B(s,T)dLs - j(B(s,T))dsy (53)

Возвращаясь от P(t, Т) к процессу P(t, Т), находим, что (В, Р)-рьшок с Р(*,Т) = Р(0,Т)ея<*-т    t^T,  Т>0, (54)

где

Я(«,Т) = Г B{s,T)dLs+ [*[г(а)-ч>(В(з,Т))]<Ь, (55) jo Jo

обладает тем свойством, что относительно исходной меры Р дисконтируемые пены (P(i, T))t^T образуют мартингал ив классе «-допустимых стратегий на этом рынке отсутствуют арбитражные возможности (ср. с теоремой 2).

Используя формулу связи между H(t,T) и H(t,T) (см. (10) в § 3d), находим:

H(t,T)=H(t,T) + Y f*B3(s,T)da

+ ]Г (e-B(s,T)ALs - і - B{s,T) ALS) (56)

и

dP(t, T) = P(t-, T) dH(t, T). (57)

Замечание 3. Отправляясь от уравнений для P(t, Т), авторы работы [128] Э. ЭберлейниС. Рэйбл исследовали структуру форвардных и процентных ставок f(t, Т) и r(t), а также провели детальное рассмотрение гиперболического процесса Леей, т.е. процесса Леви, для которого случайная величина L имеет гиперболическое распределение (см. § Id, гл. III).