Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2 Автор: Ширяев Н. А. Жанр: Разная литература Рейтинг: Просмотров: 1410 |
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | |
§ 5а. модели без арбитражных возможностейВ § 4с, гл. III, были рассмотрены некоторые модели временной структуры стоимостей семейств облигаций. В частности, там отмечалось, что при описании динамики стоимостей P(t, Т) облигаций имеются два основных подхода - опосредованный (когда в качестве "базисного" процесса берется некоторый процесс "процентной ставки" г = {r(t))t^o и считается, что P(i,T) = F(t,r(t),T)), и прямой (когда Р(*,Т) задаются непосредственно как решения стохастических дифференциальных уравнений). Эти подходы приводят к разным моделям, ив духе той постоянно используемой в книге концепции, что "справедливо" устроенный рынок - это рынок без арбитражных возможностей, естественно выяснить, прежде всего, при каких условиях в этих моделях отсутствует арбитраж и как в таких безарбитражных моделях "явно" представляются стоимости P(t, Т). В случае опосредованного подхода будем считать, что (неотрицательный) процесс процентной ставки г = {r(t))t^o является решением стохастического дифференциального уравнения (ср. с (5) в §4с, гл. III)
dr{t) = a(t,r{t))dt + b(t,r{t))dWt, (1) порождаемого некоторым винеровским процессом W = {Wt,&t)f^o- (Относительно броуновской (винеровской) фильтрации {3"t)t^a см. §4а.) Будем предполагать также, что коэффициенты а = a(t,r), b — b(t,r) таковы, что уравнение (1) имеет, и притом единственное, сильное решение (§3е,гл. III). С процентной ставкой г - (r(t))t^o естественным образом связывается банковский счет B(r) = (В«(г))«>0 с Bt(r)=expQf r(e)ds), (2) играющим, как и в случае с акциями и другими активами, роль некоторого "стандарта" при сравнении стоимостей различных облигаций. ^Всюду далее предполагается, что J r(s) ds < оо (Р-п.н.), t > 0.^ Пусть P(t, Т) - стоимость некоторой Т-облигации (см. §4с, гл. III), предполагаемой ^-измеримой при каждом 0 ^ t < Т с Р(Т,Т) = 1. Всюду далее считается, что для каждого Т > 0 процессы (P(t,T))t^.o являются опциональными. Тогда, в частности, P(t, Т) - ^-измеримы для каждого Т > 0. По самому смыслу Р(*,Т) как цены облигаций с Р(Т,Т) - 1 будем также считать, что 0 < Р(*,Т) < 1. Образуем дисконтированную цену Р(*,Т) = ^Щ, 0^t<T. (3) Bt(r) Имея в виду утверждение "Первой фундаментальной теоремы" об отсутствии арбитражных возможностей (§2Ь, гл. V), а также веря в то, что "наличие мартингальной меры обеспечивает (или почти обеспечивает) отсутствие арбитражных возможностей" предположим, что существует мартингальная, или риск-нейтральная мера Рт на ^т, такая, что Рт ~ Рт ( = Р&г) и {P{t,T),&t)t^T является Рт-мартингалом. Тогда из (3) сразу заключаем, что
Цт (Р(Т, Т) | St) = P(t, Т), t < Г, (4) и, значит, справедлива следующая (5) Теорема 1. Если существует мартингальная мера Рт ~ Рт» относительно которой дисконтируемый процесс (P(t,T),&t)t^T есть Рт-мартингал, то P(t,T) =Ерт(ехр(- j(s)ds^ Доказательство сразу следует из (4) и условия Р(Т, Т) = 1: Е ( 1 Л-?^Т) *ЛВт(г) 7 ' что и приводит к представлению (5). _ Из (5) видим, что если относительно меры Р процесс г = {r(t))t^o является марковским, то стоимость P(t, Т) может быть записана в виде P(t,T) = F(t,r(t),T). При этом "безарбитражность" автоматически накладывает на функцию F(t, г, Т) некоторые ограничения (см. далее § 5с). Замечание 1. Обратим внимание на то, что стоимость P(t, Т) облигаций не определяется однозначно по банковскому счету В (г) и требованию отсутствия арбитража (точнее, требованию наличия мартингальной меры) . Дело здесь в том, что ниоткуда не следует единственность меры Рт, а это означает, что P(t,T) может реализоваться (выражением (5)) разными способами в зависимости от выбираемой меры Рт • Отметим также, что если вместо условия Р(Т, Т) = 1 требовать, чтобы /т < оо, то ST (г) Р(Т, Т) было равно /т, причем /т - ^т-измеримо и Е^ из (4) находим, что F (JL- эЛ-Р(*'Г) ^т{вт(г) **) Bt(r) (6) и, значит, P(t,T) - Ерт j/Texp(- j(s)ds^ J 3. Перейдем теперь к рассмотрению не одной фиксированной Т-облига-пии, а семейства Т-облигаций Р= {P(t,T); 0^і<Т, Т>0}. Определение 1. Пусть Р - вероятностная мера на (ft, (^t)t^o) с 9 = J 9f Будем говорить, что мера Р со свойством Р '~ Р (т. е. Р* ~ Р*, t > 0) является локально мартингальной мерой для семейства V, если — Р(*,Т) при каждом Т > 0 дисконтируемые цены P(f, Т) — ' , t ^ Т, являют- St(r) ся Рт-локальными мартингалами. Для определения понятия безарбитражного (Я,Р)-рынка, состоящего из банковского счета В и семейства облигаций V, надо, прежде всего, остановиться на том, что здесь следует понимать под портфелем (стратегией). Определение 2 ([38]). Под стратегией 7г = (/3,7) на (В, *Р)-рынке по- нимается пара, состоящая из предсказуемого пропесса /3 = (/3{)г^>ои семей- ства конечных борелевских мер (со знаком) 7 - (7t( - ))t^o, обладающих следующими свойствами: при любых (иш функция множеств 7* = 7* (dT) есть мера на (R+, носитель которой сосредоточен на [t, оо) и при каждом А Є ЈS(R+) процесс (7t(A))t^.o является предсказуемым. Понятна интерпретация /3 и 7: Д - это "число" единиц банковского счета, a 7t (dT) - это "число" облигаций (на момент времени t) со сроком исполнения в интервале [Т, Т + dT]. Определение 3. Капиталом стратегии п называется (случайный) процесс X* = (Xf)t^0 с / оо P(t,T)lt(dT). (7)
(Предполагается, что при всех tnu интегралы Лебега-Стилтьеса в (7) определены.) 4. Дадим определение самофинансируемого портфеля тг = (/3,7) для (В, Р)-рынков. С этой целью будем, придерживаясь прямого подхода (§4с, гл. III), предполагать, что динамика цен P(t,T) описывается HJM-моделыо: для 0 ^ t<ТиТ > 0
dP(t,T) = P(t,T)(A(t,T)dt + B(t,T)dWt), (8)
где W = (Wt)t^o - стандартный винеровский процесс, играющий роль "источника случайности'! К уравнениям (8) надо добавить краевые ус ловил Р(Т,Т) = 1, Т > 0. (Подробнее об условиях измеримости коэффициентов A(t,T), B(t,T), и условиях существования решений уравнений (8) см. §4с, гл. III). С учетом уравнения dBt(r)=r(t)Bt(r)dt (9) по формуле Ито находим, что имеет дифференциал (по t при каждом Т) dP(t,T) = P(t,T)([A{t,T)-r{t)]dt + B(t,T)dWt). (11) (12) В случае диффузионных (В, 5)-рынков стратегия тг = (/3,7) с капиталом X* — f3tBt + 7t5t называлась самофинансируемой, если dX? =BtdBt + ltdSt, (13) то есть, X? =Х5+ [* /Зи dBu + [ 7« dSu. Jo Jo В рассматриваемом случае диффузионных (Б,Р)-рынков стратегию тг = (/3,7) с капиталом X? = PtBt{r) + f°°P{t,T)it(dt) естественно называть самофинансируемой ([38]), если (в символической форме) / оо dP(t,T)lt(dT), (14)
что следует понимать в том смысле, что (с учетом (8)) X? = Х£ + J* р, dBs(г) + j[* A(s,T)P(s,T) Ъ(dT) ds 5. Для формулирования условий отсутствия в (В, V)-моделях арбитражных возможностей обратимся, прежде всего, к вопросу о существовании мартингальных мер. С этой целью доопределим функции A(t, Т) nB(t, Т) для* > Т, полагая A(t,T) = r(t) иВ(і,Г) — В(Т,Т). Тогда из (11) непосредственно видим, что для того, чтобы последовательность цен (P(t,T))t^.T образовывала при каждом Т > 0 локальный мартингал относительно исходной меры Р, необходимым образом должно быть выполнено условие A(t,T)=r(t). (19) Из (8) следует, что в этом случае
dP(t,T) = P(t,T)(r(t)dt + B(t,T)dWt)
dP{t,T) = P{t,T)B(t,T) dWt. (20) Учитывая формулы (14) и (15) из § 4c, гл. Ill, и то, что в предположении (19) —^— = 0, находим для f(t, Т) следующее соотношение:
df(t,T) =a(t,T)dt + b{t,T)dWt, dWa. (15) Если стратегия тх = (/3,7) является самофинансируемой, то для дискон тируемого капитала X находим, что 4 ад / оо dP{t,T)it{dT). Как ив (14), символическая запись (17) означает (с учетом (11)), что П =Х* +J*y™{A(s,T)-r(s))P(s,T)ls(dT) ds +-f [^°° B(s,T)P(s,T)ls(dT) где a{t,T)'= b{t,T) / b(t,s)ds. Jo Если же условие (19) не выполняется, то естественно (по аналогии со случаем акций) воспользоваться идеями "теоремы Гирсанова" Для наших целей удобной является следующая формулировка. Пусть на (П, (&t)t^o) с & = V &t помимо исходной меры Р существует также вероятностная мера Р такая, что Р '~ Р, т. е. Pt ~ Pt, t ^ 0. Обозначим Zt = -т^-- Поскольку (^t)t^o есть броуновская (винеров-aPt ' екая) фильтрация, то, согласно теореме о представлении положительных локальных мартингалов (см. формулу (22) в § Зс, гл. III), где tp(s) - ^-измеримы, f*<p2(s)ds < оо (Р-п.н.) и EZt = 1 при каждом t > 0. По теореме Гирсанова (см. § Зе, гл. III) процесс W = (Wt)t^o с Wt=Wt- Г ф) ds (22) Jo является относительно меры Р винеровским. Поэтому по этой мере Р dP(t,T) =P(t,T)[(A(t,T)+<p(t)B(t,T))dt + B(t,T)Wt] (23) и dP(t,T) ^t,T)[(A(t,T) + ^)B(t,T)-r(t))dt + B(t,T)Wt] (24) (ср. с (8) и (11)). _ Отсюда видим (ср. с (11)), что процессы {P{t,T))t^.T являются по мере Р локальными мартингалами при всех Т > 0 в том и только том случае, когда выполнено следующее соотношение: A{t, Т) + <p(t)B(t, Т) - г (і) = 0. (25) Из (23) следует, что тогда dP(t,T) = P(t,T)(r(t)dt + B{t,T)dWt), (26) где W = (Wt)t^Q - винеровскийпроцесс по мере Р. 6. Определение того, что стратегия п = (/?, у) на (В, Р)-рынке является безарбитражной в момент времени Т (скажем, в 7УЛ+-версии) таково же, как ив § 1с. (В,Р)-рынок будет называться безарбитражным, если он является таковым при всех Т > 0. Теорема 2. Пусть нашлась мера Р '~ Р такая, что процесс плотности Z = {Zt)t^o имеет вид (21) и выполнено условием (25). Тогда при любом а ^ 0 в классе а-допустимых стратегий п (Xt > —a, t > 0) таких, что B(s,T)la{dT) л 2 ds < оо, t > 0, (27)
арбитражные возможности отсутствуют. Доказательство. При условиях (25) и (27) процесс 1С = (Щ)г^0 является, согласно (18), Р-локальным мартингалом. В силу условия а-допустимости (Xt —а, t > 0) этот процесс есть также супермартингал. Поэтому, если Хд = 0, то ЕрХТ ^ 0 для любого Т > 0. Но Р(Х^ > 0) = Р(Х% > 0) = 1. Значит Х£ = О (Р- и Р-п.н.), Т > 0. Теорема доказана. Замечание 2. Пусть A(t,Т), B(t,T) иr(t) таковы, что функция не зависит от Т и для всех t > О Г(*У^)'*<- <--)• В этих предположениях при отыскании меры Р со свойством Р ~° Р естественно поступить так. Обозначим функцию в (28) через <р = <p№i t ^ Т, образуем процесс Z = {Zt)t^0 по формуле (21) и предположим, что EZt = 1, t > 0. Тогда для каждого t > 0 мера Pt с dPt = Zt dPt является вероятностной и такой, что Pt ~ Pt. Семейство мер {Pt, t ^ 0} является согласованным (в том смысле, что Ps = Pt | если s ^ t) и если существует на (Q, вероятностная мера Р такая, что Р '~ Р, то эта мера и будет требуемой мартингальной мерой. В том случае, когда рассматриваемый (В, 7-))-рынок таков, что для всех Т-облигадий время исполнения^Т <С Т0, где То < оо, то в качестве требуемой меры Р можно взять меру Рт0- Ясно также, что если Z^ — lim Zt, причем EZ^ = lnP(Z00 > 0) = 1, t—too то мера P с dP = Zoo dP будет требуемой мартингальной мерой со свойст-вомР ~ Р. 7. Приведем пример безарбитражной (В, Р)-модели. Следуя [36], [219], будем отправляться от форвардной процентной ставки f(t, Т) со стохастическим дифференциалом (по t при каждом Т)
df(t,T) = a(t,T)dt + b{t,T)dWt, (ЗО)
где 5. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования 895 Можно также воспользоваться и тем, что, согласно (2) в §4с, гл. III, 6(t,T) = сг > О, (31) a{t,T) =cr2(T-t), t<T. (32) Тогда (30) примет вид
df(t,T) = а2(Т -t)dt + adWt, (33)
откуда f{t,T) = f{Q1T) + a2t(T-t^+aWt, (34) где /(0,Т) - "сегодняшняя" форвардная процентная ставка Т-облигаций, которая известна на (В, Р)-рынке (в момент t = 0). Из (34) и определения г (i) = f(t,t) следует, что 2 r(t)=f(0,t) + ^-t2 + aWt. (35) Отсюда понятно, что процентная ставка г = (r(t))t>o подчиняется уравнению dr(t) = + a2*) dt + adWt. (36) (Ср. с моделью Хо и Ли (12) в § 4с, гл. III.) Коэффициенты A(t, Т) и B(t, Т) в уравнении (8) подсчитываются по коэффициентам a(t,T) = а2(Т - і) и b(t, Т) = а в (33) следующим образом:
A(t,T)=r(t)-J(t,s)ds+^j(t,s)ds^ =r(t), (37) B(t,T) = -ст(Т-і). (38) Тем самым, в рассматриваемой (В, Р)-модели выполнено условие (19), и, следовательно, исходная мера Р является мартингальной и арбитраж отсутствует. Сами цены P(t, Т) могут быть найдены из уравнения dP(t, Т) = P(t, Т) [r(t) А - а(Т -1) dWt], t<T, решаемого для каждого Т > 0 при условии Р(Т, Т) = 1.
P(t,T) =ехр^-^ f{t,s)dsj, t^T. (39)
Из (34) ds + сг(Т - t)Wt
i-T J f(t,8)d8 = J [/(О,5)+Л^-0 т 2 /(0, в) ds + —«Г(Т - «) + «т(Т - t)Wt. t * P(t,T) =ехр|-jf /(0,e)ds- ^-tT(T -1) + сг(Г - t)Wt Следовательно, г2 2 ^Zlexp^ - " *) + CT(T - t)W« (40) Отсюда и (35) находим следующее представление для P(t, Т), выраженное через процентную ставку r(t):
Р(*,Т) = ^-^ехр{(Г-і)/(0,Т) - yi(T-i)2 - (T-i)r(i)}. (41)
(Ср. с аффинными моделями в § 4с, гл. III, и далее в § 5с.) 8. В рассмотренных выше "диффузионных" моделях для процентных ставок г = (r(t)), форвардных процентных ставок / = (f{t,T)), самих цен Т> = {P(t,T); 0 < t < Т, Т < оо} облигаций предполагалось, что все они порождаются одним источником случайности - винеровским процессом W = (Wt)t>0. В обширной литературе, посвященной описанию динамики стоимостей облигаций, рассматриваются и другие модели, в которых вместо одного винеровского процесса W = (Wt)t^o берется многомерный винеровский процесс W ' (W1,..., W"). Для учета скачкообразных изменений в стоимостях Р(£,Т) к рассмотрению привлекаются и другие "источники случайности" - точечные процессы, маркированные точечные процессы, процессы Леви и др.
В [36], [38] для обобщения "диффузионных" моделей типа (1) вводятся в рассмотрение модели типа "диффузия со скачками": d Г dr(t) =atdt + YJbltdWi + / q(t,x)fi(dt,dx), (42) »=i •* где [i = p(dt, dx) - некоторая целочисленная случайная мера на ІЦ- хіїхЕ и (И^1,..., Wd) - независимые винеровские процессы. Соответствующие изменения вносятся и в модели, описывающие динамику P(t,T) и /(і,Г):
dP(t, Т) = P(t, Т) (A(t, T)dt + J2 В'(<>Т) dWf + P(t-T) f q(t,x,T)(i(dt,dx), (43) Je d df(t, T) = a(t, T)dt + J2 bi (*> T) dWi i=l + I S(t,x,T)n(dt,dx). (44) Je 9. Рассмотрим теперь, следуя работе [128], некоторые модели, основанные на использовании процессов Леви как "источников случайности" С этой целью обратимся сначала к уравнению (20), которое перепишем в виде dP(t,T) = P(t,T)dH(t,T), (45) где H(t,T) = [ [r(s)ds+B{s,T)dWs]. (46) J о Положим также B2(s,T) H(t,T) = j*^r(3)- 2 Тогда (см. (9)-(13) в § 3d) имеют место представления P{t,T) = P(0,T)S(H(-,T))t (48) P{t,T) = P(0,T)eH(t,T). (49) Учитывая (47), находим, что Btir) P(t,T) P(t,T) = (50) = Р(0,Т)ехРу* B(s,T)dWa -±J*B2(s,T)dSy Если, скажем, функция B(s,T), s ^ Т, является ограниченной, то видим, что выражение в правой части (50) является мартингалом. Пусть теперь вместо винеровского процесса W = (Wt)t^o берется процесс Леви L = (Lt)t^o (см. § lb, гл. III). Зададимся вопросом о том, в каком виде надо определять процессы H(t, Т) и H(t, Т), предполагая, что вместо интегралов / В (s, Т) dWa теперь рассматриваются интегралы J О / B(s,T) dLa, понимаемые как стохастические интегралы по семимартин-галу L — (Ls)s<t с детерминированными и ограниченными функциями B(s,T). Если функции В (s, Т) являются по s достаточно гладкими, то можно воспользоваться и определением Н. Винера: rt ft я/Э J B(s,T)dLs=B(t,T)Lt- у —{s,T)Lads. (См. по этому поводу §3с, гл. III, и, в связи с процессами Леви, рабо-ту [128].) Пусть 2 Г = Ь+?-а2+ (еХх - 1 - д(х)) u(dx) (51) ^ Jm -кумулянтная функция (см. §3с) процесса ЛевиІ, = {Lt)t^o- Будем при этом предполагать, что интеграл в (51) определен и конечен для всех А, таких, что |А| ^ с, где с = sup B(s, Т). В соответствии со смыслом кумулянтной функции EgALt^gMA) (52) Пусть Xj = J*B{s,T)dLs, t J$ Т. Процесс Хт = [Xj)t^t является процессом с независимыми приращениями и его триплет (Вх ,СХ ,vxT) предсказуемых характеристик может быть найден по триплету (BL,CL, vL) процесса L (см. §5а, гл. ГХ в [128] и [250]). Тогда, применяя формулу Ито, можно найти (см. детали в [128]), что ЕеА*«Т =ехр^У 4>{XB{s,T))da^. Процесс ^ехр^А-Х"^ — jf (B(s,T)) ds^ ^ является мартингалом (ср. с (11) в § Зс). Поэтому, желая иметь процесс (P(t,T))t^T мартингалом, естественно, обобщая представление (50), полагать P{t,T) = Р(0,Т)ехРу* B(s,T)dLs - j(B(s,T))dsy (53) Возвращаясь от P(t, Т) к процессу P(t, Т), находим, что (В, Р)-рьшок с Р(*,Т) = Р(0,Т)ея<*-т t^T, Т>0, (54) где Я(«,Т) = Г B{s,T)dLs+ [*[г(а)-ч>(В(з,Т))]<Ь, (55) jo Jo обладает тем свойством, что относительно исходной меры Р дисконтируемые пены (P(i, T))t^T образуют мартингал ив классе «-допустимых стратегий на этом рынке отсутствуют арбитражные возможности (ср. с теоремой 2). Используя формулу связи между H(t,T) и H(t,T) (см. (10) в § 3d), находим: H(t,T)=H(t,T) + Y f*B3(s,T)da + ]Г (e-B(s,T)ALs - і - B{s,T) ALS) (56)
и dP(t, T) = P(t-, T) dH(t, T). (57) Замечание 3. Отправляясь от уравнений для P(t, Т), авторы работы [128] Э. ЭберлейниС. Рэйбл исследовали структуру форвардных и процентных ставок f(t, Т) и r(t), а также провели детальное рассмотрение гиперболического процесса Леей, т.е. процесса Леви, для которого случайная величина L имеет гиперболическое распределение (см. § Id, гл. III). |
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | |
Добавление комментария:
![]() |
Навигация
Прочие
Лучшие книги
- Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях
- Внутридневная торговля на FOREX-Игрок
- Призрак биржи
- Торговля с использованием уровней ДиНаполи
- Технический анализ.Полный курс Ч.2
- Полное руководство по Daytrading High
- Дейтрейд онлайн
- Создание и оптимизация торговых систем в MetaStock
- Технический анализ. Эффективные инструменты для активного инвестора
- Краткий курс по Закону волн Эллиотта
Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.