В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1016849 человек которые просмотрели 19404355 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1340

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 1а. формула башелье

В идейном отношении материал настоящей главы, относящийся к непрерывному времени, самым непосредственным образом связан с изложением в шестой главе для случая дискретного времени.

При этом наш основной интерес будет связан с опционами, на примере которых можно хорошо проиллюстрировать роль и возможности теории арбитража и методов стохастического исчисления для расчетов в финансовых моделях с непрерывным временем.

Ранее (§ 2а, гл. I) отмечалось, что Л. Башелье был, безусловно, первым, кто для описания динамики цен акций обратился (см. [12]) к моделям "случайных блужданий и их предельным образованиям" которые, говоря современным языком, есть не что иное, как броуновское движение.

Считая, что цены акций флуктуируют как броуновское движение, Л. Башелье привел ряд расчетов для (рациональных) стоимостей некоторых опционов, имевших в его время хождение во Франции, и затем сравнил их с реальными рыночными пенами.

Приводимая ниже формула (5) является модернизированной версией ряда "опционных" результатов из работы Л. Башелье [12]. Это и объясняет данное ей название "формулы Башелье"

В линейной модели Башелье предполагается, что (В, S1)-рынок устроен так, что банковский счет В = (Bt)t^T не меняется со временем (Bt = 1), а цена акции S = (St)t^T описывается линейным броуновским движением со сносом:

St=So+fit+aWt,     t^T, (1)

где W = (Wt)t^o ~ стандартный винеровский процесс (броуновское движение), заданный на некотором вероятностном пространстве (ft, Р).

В этой модели цены принимают и отрицательные значения, и потому она не может считаться адекватно отражающей реальную картину. Тем не менее, ее рассмотрение представляет интерес с разных точек зрения - как исторически первой диффузионной модели, как модели, которая является и безарбитражной, и полной (см. гл. VII).

Положим

-&)'•) (2)

и пусть З-t - сг-алгебра, t ^ Т, порожденная значениями винеровского процесса Wa, s ^ t,n пополненная множествами Р-нулевой вероятности. Определим на (ft, &т) новую меру Рт, полагая (ср. с (8) в §4а, гл. VII)

dPT = ZTdPT, (3)

гдеРт = Р&Т-

Заметим, что в рассматриваемой модели мера Рт является единственной мартингальной мерой (см. п. 5, § 4а, гл. VII), т. е. мерой, обладающей тем свойством, что Рт ~ Рт, и процесс S — (St)t^T является мартингалом. При этом, по теореме Гирсанова (§ Зе, гл. III или § ЗЬ, гл. VH),

La,w(S0+fit+ o-Wt;t^ ТРТ) =La.w(S0 + (rWf,t^TPT)- (4)

Теорема ("формула Башелье"). В модели (1) рациональная стоимость Ст — С(/т; Р) стандартного опциона-колл Европейского типа с платежной функцией /т = (St — К)+ определяется формулой

1       _SS /-Х

В частности, при So = К

 

(5)

 

где

= ~7к=е   2 >      ф(ж) = /     Ч>(У) ЛУ-

j — оо

Доказательство. Если проанализировать доказательства теорем в §§ 4а, 4Ь, то можно заметить, что их утверждения, сформулированные для модели (положительных) пен (5) в §4а, остаются в силе и для рассматриваемой модели (1). ("Ключевая" формула (14) в §4Ь примет

сейчас вид: vt = Z7X(—+Xt^ cZtro(2).) Тем самым, в данном случае V а        о1 J

{В, 5)-рынок является безарбитражным, Т-полным и рациональная цена Ст = Е(гт/т) = Ерт(/т). (7) В силу (4) и свойства автомодельности винеровского процесса, Ерт(5т - К)+ = Е?т (So + (*Т + oWT - К)+ = ЕРт (S0- К + oWT) + = E(S0-K + ay/TW1) + . (8)

Заметим, что если £ - случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение <уК(0, 1), то для а є 1R, b ^ 0

E{a + bЈ)+= f     {a + bx)ip{x)dx = аф(^-) +Ь f xcp(x)dx

і-alb       УЬ/ J-a/Ь

= аф(^)-ь|_"^Мх))-аф(^)+^(^). (9)

Полагая

а = S0 - К,    b = aVf, из (7), (8) и (9) получаем требуемую формулу (5).

3. Будем обозначать тт — (/?,7) стратегию (из класса самофинансируемых), которая имеет начальный капитал Х£ = Ст и обладает свойством воспроизводимости платежной функции /т, т.е. пусть ХТ = /т (Р-п.н.).

Из §4Ъ, гл. VII, следует, что капитал Хп = (XX)t^T этой стратегии таков, что

X* =EpT(/T|^t). (Ю) Поскольку /т = (St — Щ+, то, в силу марковского характера процесса S = {St)t^T,

XX = E~PT((ST-K)+#t)

= Ерт (((St -К) + (ST - St))+ I St) = Е(а + Ь£)+ = аф(^)+Ыр^), (11) где а = St - К и Ь = ojT - t.

Обозначим для 0^і^Ти5>0

<*8)-<в-*К^)+'^'(^ї} <і2)

Тогда из (11) видим, что X* = C(t, St). В то же самое время

dXf=ytdSt. (13) По формуле Ито, примененной к C(t, St), находим, что

 

Сопоставляя (14) и (13) и применяя следствие 1 к разложению Дуба-Мейера (§ 5Ь, гл. III), заключаем, что

 

^=*S{t'St)- (i5)

После дифференцирования правой части в (12) и простых преобразований получаем, что

 

Соответствующее значение j3t определяется из тех соображений, что

 

C(*,5«)=ft+7t5t. (17)

 

Иначе говоря,

Pt = C(t,St)-itSt. (18) С учетом (12) и (16) находим, что

 

~Л-М7&У'^*{3&)- (19)

Интересно отметить следующие особенности в поведении 7t и при 11 Т.

Предположим, что в окрестности терминального момента Т цены акций St > К. Тогда из (16) и (19) видим, что при 11 Т

Ъ -> 1,    Pt -> -К. (20) Если же St < К, то при t f Т"

 

7*    0>    А     0. (21)

Каждое из этих соотношений представляется вполне естественным.

Действительно, если St < К в окрестности момента Т, то платежная функция /у = 0, и понятно, что продавцу опциона достаточно иметь в момент времени Т капитал Хт, равный нулю, что и будет иметь место при выполнении свойств (21).

Если же в окрестности момента Т цены St таковы, что St > К, то /г = St — К, и продавцу опциона надо будет иметь капитал Хт — St — К. Поскольку Х^ -= fit + It St, то видим, что при выполнении (20) продавец получит требуемую сумму, так как Х£ = (3t + It St —> St — К.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010