В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1048878 человек которые просмотрели 19721837 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1362

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 2с.  комбинации опционов покупателя и продавца

1. Как отмечалось в § 4е, гл. VI, на практике широкое хождение имеют не только отдельные виды опционов, но и их разнообразные комбинации. Примером может служить, например, опцион-стрэнгл, образованный из опциона-колл и опциона-пут с разными ценами исполнения.

В настоящем параграфе будет приведен пример расчета опциона-стрэнгл Американского типа, снова в предположении, что моментом исполнения может быть любой момент времени на [0, оо), а структура рассматриваемого (В, 5)-рьшка описывается соотношениями (1)-(2) из §2а.

Иначе говоря, предполагается, что

Bt = B0ert (1)

и

St = SoexpjcrWt + (fi- y)t j, (2)

где W = (Wt)t^o ~ стандартный винеровский процесс, причем ц = г. В этом случае мартингальной является исходная мера Р.

Для дисконтируемого ошшона-стрэнгл функция выплат имеет вид (ср. с(3)в§2а)

St = e-Xtg(St),    t 0,

где

( Ki-a, a^Kx,

g(s) = j 0,            K!<a<K2, (3)

[s-K2, О K2.

В соответствии с общей теорией (раздел 4, гл. VII, и раздел 2, гл. VI), цена

V*(x)=   sup B0Exjf- =   sup  Exe-^+r^g(ST), (4)

 

где 9Я"о° = {т = t(cj) : 0 ^ т(а>) < оо, и> Є О} - класс конечных моментов остановки, а Ех - усреднение в предположении, что Sq = x є E — (0,00).

2. Для отыскания пены V*(x) и соответствующего оптимального момента остановки воспользуемся "мартингальным" приемом из [32], использованным в предшествующих параграфах (см., например, "второе доказательство" в п. 6, §2а). Будем при этом полагать начальное состояние So — 1 и считать, что цены исполнения К и К2 таковы, что К < 1 < К2.

Пусть

/1     г       (1     г 2    2(А + г) ...

 

72=(2-^J-vl2-^J (6)

корни квадратного уравнения (30) в § 2а.

Как показано в §§2а,Ь, процессы Mt(1) = e-^Sj1 и м2) = е'0*^2 с /3 = А + г, £ ^ О, являются Р-мартингалами. Тем самым, Р-мартингалом является неотрицательный процесс Mt (р) = рМ^ + (1 — р)М^ для любого 0 ^ р ^ 1, и

V'(l) =  sup Eie-^+r^g(ST) reang°

=  sup EMT(p)       fSr) (7)

 

Поступая как и в п. 6, § 2a, введем меры Р(р) так, что

 

dP*(p)

= Mt(p). (8)

dPt

Тогда из (7) заключаем, что

 

где Ер(р) - усреднение по мере Р(р).

Следуюпшй шаг состоит в выборе подходящего значения р из множества [0,1] (далее оно будет обозначаться р*), для которого удается решить соответствующую задачу об оптимальной остановке (9).

Как показывается в [32], следующая система уравнений для (р, s, s2):

 

s2 - К2  Кх - si

£2                  _ Р71Д21 +(1 -P)12s12

71 J. /1 _ «W72       > l11^

ps? + (1 - p)s?    ps? + (1 - p)sJ* ' (10)

^2       = FJlsJ1 +(1 -p)725z2

s2-AT2       ps71 + (l-p)s7

Tlo./1_^e72      ' (12)

si     _ Р71Д71 + (1 -p)72^I2 ~~    ps71 + (l-p)s7

її              у

где p є [0,1], s2 > ^2> si < K, имеет и притом единственное решение Пусть

^2-^2 /

p*(^)71 + (i-p*)(^)^ V р*(*ї)71 + (і

Несложный анализ доказывает, что

g(s)       _             g(s)       ,_

Si Іґз-п + (l-p-)s-n - Ті p-s-n + (1 -„•)*■» (-c>-

 

При этом максимум функции G(s) =   „з71 +^ — р«)д72 достигается

в точках s* < К и s > .KV Следовательно, из (9)

^*(1)>с*. (13)

Определим

т* = inf{t: 5t = s* VLjmSt = s^}-

Из свойств линейного броуновского движения со сносом вытекает, что Р(т* < оо) = 1. Поэтому Ep(p.)G(5T.) = с* и, значит,

 

а момент т* является оптимальным моментом остановки.

Замечание. Если К = К2, то опцион-стрэнгл превращается в опцион-стрэддл (см. п. 2, §4е, гл. vi).

 

§ 2d.  Русский опцион

1. Будем рассматривать диффузионный (В, 5)-рьшок с

 

dBt = rBt dt,    Bq > 0, (1)

 

dSt = St(rdt + adWt),    S0 > 0, (2)

или, равносильно,

 

Bt =B0ert,

St = SQert-e°Wt-!Јt.

 

Поскольку

s1=sle„Wt_sit^ (3)

Bt B0

Подпись: и, следовательно, Ее-АтS fSt

то относительно исходной меры г пронесе —     I — I     является мар-

в Bt/t>o

танталом.

Пусть

где

9t

ft=e-Xt9t(S),    tЈ0, (4)

 

(5) = (maxSu - aSt)+,    a > 0. (5)

Опционы Американского типа с функциями выплат (4), называемые "Русскими опционами", [435], [434], относятся к классу опционов продавца (оп-ционы-пут) с последействием и дисконтированием. (Ср. с § 5d, гл. VI.)

Используя те же самые обозначения (Ех, 9Я"о°, 9Л"о°і... ),чтоив § §2а,Ь, положим

V.(x)=  sup Exe-rrfT(S) (6)

и

U.(x) =   sup  EEe-rT/T(S)/(r < оо). (7)

 

В отличие от "одномерных" задач об оптимальной остановке марковского процесса S — [St)t^o, рассмотренных в § §2а,Ь, задачи (6) и (7) являются "двумерными" в том смысле, что функционалы ft(S) зависят от

двумерного марковского процесса ( St, max Su ).

Весьма замечательно, однако, что методы "замены меры" позволяют эти "двумерные" задачи свести к некоторым новым, являющимся уже "одномерными" что позволяет найти явные выражения и для U*(x) (= Um(x)), и для оптимальных моментов остановки.

2. Идея отмеченной редукции "двумерных" задач к "одномерным" была достаточно четко изложена в § 5d, гл. VI, для случая дискретного времени.

В рассматриваемом случае поступим так же, как в п. 5, § 2а, считая исходное фильтрованное вероятностное пространство (ft, 9, (&t), Р) координатным винеровским пространством.

Пусть Р - мера на (ft, §•) такая, что ее сужение Pt ~ Pt и

 

где

Относительно меры Р процесс W — (Wj)t^o с

Wt=Wt-at (10) является, по теореме Гирсанова, в им еров с ким, и для т є ЭЛ"^

Exe-^y9r(S)I(T <со)= хЕхе-^^-9-^>1(г < оо)

с   _Аг7 (тах«<т Su - aST)+   . .

= хЕхе     ZT       -—-       1{т < oo)

-At

maxu<T 5„

                ^             a

jT

xEe

l +

J(t< oo). (11)

 

Введем пронесе (tpt)t>0i полагая

max(maxtl^t5u,5oV'o) ,1оЛ

Фі =        S             ' (12)

где фо ^ 1.

Ясно, что если фо = 1, то

Фі =        ^— (із)

maxu<t 5„

— а

ot

 

+

І(т < оо) = Ее-Ат[^г - а}+ І(т < оо). (14)

St

Будем обозначать Р^ - распределение вероятностей процесса (VOt^o в предположении, что фо = ф ^ 1, и рассмотрим следующие задачи об оптимальной остановке:

U(1>)=   sup E>-AT[V>,--a]+ (15)

и л

C7(V) =   sup Е^е-Ат[^г - a]+ /(г < оо), (16)

которые можно рассматривать как задачи расчета дисконтируемого опциона-колл Американского типа, когда процесс цен акций задается процессом №)і>о, аВе = 1. (Подчеркнем, что исходная задача относится к опцио-ну-пут)

Из (6), (7) и (15), (16) находим (с учетом (11) и (14)), что

U.{x)=xU{l),     U.{x)=xU(l). (17)

3. Прежде чем сформулировать основные результаты относительно решения задач об оптимальной остановке (15) и (16), остановимся на некоторых свойствах процесса (xpt)t^o с гро = 1-

Лемма. 1) Относительно меры Р процесс (ipt)t^o является диффузионным марковским процессом на фазовом пространстве Е = [1,оо) с мгновенным отражением в точке {1}.

2)            Процесс (ipt)t^o имеет стохастический дифференциал

 

dipt = -ipt (rdt + a dWt) + d<pu (18)

где ((ft)t^o ~ неубывающий процесс, растущий на множестве {(w,t): V>t(o;) = 1}, и W = {Wt)t^.o ~ винеровский процесс (по мере Р).

3)           Если q — q(tp) - функция на Е = [1,оо) такая, что q Є С2 на

(1,оо) и существует q'{l+) = lim q'(ip), то

Для получения представления (18) положим

Nt  - max|max5u, S0ipo }• (22)

Ясно, что процесс TV = (Nt)t^o является неубывающим процессом ограниченной вариации. Из (2) и (10)

dSt = St [(г + а2) dt + а dWt] (23)

 

(24)

Поэтому, по формуле Ито,

di>t=Ntd^+±-dNt

ЭД) = -^0 + ^20,      Ф>1, (19)

-ipt[rdt+o-dWt} + d^, (25) bt

или, в интегральной форме,

<?'(!+) = О- (20)

Доказательство. Из (12) находим, что

ґтахи<і+д5„ S0^o

ipt+A = max^   , с           f

L        bt+A          bt+A J

— maxI шаХц<* ^u     ^oV'o       maxt<u^t+A Su/St

St ■ St+A/St' St ■ St+A/St'        St+A/St J

/,             1       max«<t+A Su/St , .

L       ot+A/bt     bt+A/bt )

Заметим, что для t < и ^ t + A

 

Тем самым, с учетом того, что процесс W является винеровским относительно меры Р, видим, что имеет место следующее свойство "марковости":

Law{фі+А 9t,P)= Law(V>t+A | </>t, P).

(26)

/•'          /"*                          ft dtf

А=І>о~г     i>udu-a I  V« dWu + / ——

Jo           Jo           Jo Su

Обозначим

rt

JO

и заметим, что dNu (u>) = Она множестве {(a>, и): ^„(w) > 1} (в том смысле, что f*I(t{)u(u)) > 1)dNu(w) = о). Поэтому

<Pt = Г/(^«=1)^, (28) Jo ьи

что более наглядно показывает, что изменение значений процесса (^t)t^o происходит только тогда, когда процесс (tpt) t>o попадает в граничную точ-ку{1}-

(29)

Покажем, что для всякого t > 0

( I(ipu = l)du = 0 (Р-п.н.). Jo

Подпись: 7к = - + (-1)У(-) +В,      Л =1,2, (31)По теореме Фубини

гоо        г оо ^   Г°° ^

Е /    1{фи = 1) du = /    Е1(фи = 1) du = /    P(V« = 1) du = 0,

7o          Jo Jo

поскольку P(^>u = 1) = 0, что следует из того, что двумерное распределение пары (max WS1 Wu ) имеет плотность.

Тем самым, процесс {фг)^о проводит в точке {1} нулевое (Р-п.н.) время и, значит, эта точка есть мгновенно отражающая граница ([239; гл. IV, §7]).

4. Теорема. Пусть А > 0, а^О, ф^ 1. Тогда

^        ^   Пф-а)-^1-^,   ф<ф,         , ч

и(ф) = и(ф) - I  12фъ - Ифъ (30)

I ф - а, Ф^Ф,

где

А    , ,чЬ //J4^2 2

являются корнями квадратного уравнения

Как ив § § 2а,Ь, приведем два доказательства - первое ("марковское"), основанное на решении задачи Стефана, и второе, опирающееся на "мар-тингальные" соображения.

Первое доказательство. Те же самые соображение, что и в § § 2а, Ь, основанные на представлении (22) из § 2а, показывают, что области продолжения наблюдений С и прекращения наблюдений D в задаче (15) должны иметь следующий вид:

С = {ф > 1: ф < ф } = {ф ^ 1: Щф) > 9(ф)}

и

D = {ф > 1: ф ^ ф } = {ф > 1:и(ф)=д(ф)},

где д(ф) = (ф - а)+.

Как и в § § 2а, Ь, неизвестный порог фтл.1](ф) определяются из решения задачи Стефана:

ЬЇЇ(ф) = ЇЇ(ф),   К ф < ф, (34) U'(l+) = 0, (35) и(ф)=д(ф),  ф^ф, (36)

Подпись: <М{ф)2   А7 - В = 0 (32)

7

с

,    ,    2г         „ 2Л

і4 = 1 + -2 ,      В = -_- ;

' ф)

=

ф72

о-

, то

 

 

 

72

71

-1

1

72-71

71

72

-1

 

"порог" ф является решением трансцендентного уравнения

 

(33)

 

в области ф > а. Если а = 0, то

 

Момент ^ r = mf{*^0: Vt 5*V>}

таков, что P^(r < оо) = 1, V ^ 1> u ■является оптимальным как в классе 9д"о°' так и в классе З^о ■

аф

(37)

1*$ аФ

где оператор L определен формулой (19).

Будем искать решение уравнения (34) в виде й(ф) = ф"1'. Тогда для 7 получаем квадратное уравнение (32), корнями которого являются 71 < 0 и 72 > 1, задаваемые формулами (31).

Тем самым, уравнение (34), "действующее" в области {ф: 1 < ф < ф}, имеет вид

и(ф) = Сіф^ +с2ф™, (38)

где с, с2 - некоторые константы.

Для определения ф и констант с и сг имеются три дополнительных условия: (35), (36) и (37), которые, с учетом (38), принимают следующий вид:

Сі7і + С272 = 0, (35') с!</> + С2Ф™ = ф - а, (36') сі7і^1_1 + C272?Y2~1 = 1- (37')

Из (36') и (37')

(39)

(7i - 7г)^71

«72 + (1 - 7г)^   Я7і + (1 ~ 7і)^

сі = —   —           , с2

(72 -7і)^72

(40)

Из (35')

72

С            с2,

72-71

(41)

ф =

что лает для ф уравнение (33). Если а = 0, то из этого уравнения следует, что

72   71 - 1

71 72-1

Наконец, из (38) и (39) с учетом (33) находим, что в области С

72 ф^1 — 7і'0'Г2

{ф: ф < ф}

Щф) = (ф-а)

72 ф~П — ■ухФ'12

)>*)

Покажем теперь, что Р^(т < оо) = 1, ф Р 1. Для этого достаточно

(42)

показать, что

/supu^t5u

Р sup    ^            

для любого ф > 1. (Для V> = 1 свойство (42) очевидно.) Имеем

= ехрУІ,

St

где

Yt = sup

u<t

a(Wu-Wt)+ (r+y)(u-*)

Образуем последовательность моментов остановки (ок)к^о такую, что сто = О,

 

CTfc+i = inf{* ^ o-fc +l:Yt = 0},.-. . Тогда видим, что для у — їпф р О

ш: sup Yt(uj) Ру) = [J {ш:      sup     У4И ^ у}.

1      t<°o               fc>0 <7*^*<<7*+1

Для разных к события <ш:      sup     Yt[b>) Р у> являются незави-

симыми и их вероятности равны и положительны.   Отсюда, по лемме

Бореля-Кантелли, вытекает, что Р< и>: sup Yt(oj) > у I = 1 и, значит,

I     t<oo J

Р,(т < со) = 1.

Осталось лишь доказать, что момент т = inf {t Р 0:фі ^ Ф} является оптимальным в задачах (15) и (16).

Один из методов доказ ательства состоит в установлении "проверочных" свойств (А) и (В) из § 2а, что делается точно так же, как и в случае опционов продавца и покупателя. Подробности см. в [444].) Приведем теперь иное доказательство, основанное на "мартингальных" соображениях (ср. сп.5в§2аи[32]).

Второе доказательство. Для простоты будем предполагать о = 0. (По поводу общего случая а р 0 см. [32].) Обозначим

Mt = е~ХіфМфі) (43)

и определим функцию h — п(ф), ф^1, так, чтобы по мере Р процесс М = (Mt)t^o был локальным мартингалом.

Применяя формулу Ито к e-A'Vt/i(V't), находим, что

d(e"AVtM^t)) = е~Хіфі [At dt + Bt {-a dWt + dtpt)], (44)

где

At = -(Х + гМфь) + (a2 - г)фік'{фі) + Х-о2фЬ!'(фі), (45) В1 = Ы(фг)+Кфг). (46)

Из (44) видим, что для того, чтобы процесс М = (Mt)t^o являлся локальным мартингалом, функцию h = к(ф),ф Р 1, достаточно определить из решения следующей задачи:

^а2ф2к"(ф) + (а2 -г)фк'{ф)-{ + гЩф) =0,     ф > 1, (47) с граничным условием

Л7(1+)+Л(1+)=0. (48) Перепишем уравнение (47) в виде

ф2к"{ф) +2[і-^фкІ{ф)-2 {^Pj = 0 (49)

и будем искать решение этого уравнения в форме к{ф) = фх. Тогда для определения х получаем квадратное уравнение

 

а:2+2:(1-2г)-2(А + г) =0. (50)

 

Сопоставим это уравнение с уравнением (32):

 

72 - 7(1 + 2г) - 2А = 0; (51)

 

замечаем, что если доложить 7 = х +1, то уравнение (51) перейдет в уравнение (50) и, значит, корни хі и л обоих уравнений связаны соотношениями 7і = хі + 1, г = 1,2.

Общее решение уравнения (49) (для а1 = 1) имеет вид

 

Цф) =d1ipXl + d^x*, Ф>1-

 

Возьмем решение h = п{ф) таким, что выполняется свойство (48). Тог-

да

1 + х2 72

d2 =

х2 — х     72 — 7i 1 +жі _ 71 х -х2     7i - 72

Следовательно,

щ) = _L_ [72^-i - 71V72"1]- (52) 72 - 7i

Корни 71 < 0, 72 > 1 и h' (ф) = 0 при ф = ф, где V> определяется из соотношения

^-^71(72-1) =L (53) 72(71 - 1)

Соноставляя (53) с (41), замечаем, что величина ф в точности совпадает со значением ф, определяемым формулой (41). При этом в точке ф функция к{ф) принимает свое минимальное значение.

Из (43)-(48) видим, что для найденной функции h = К(ф) процесс

 

Mt = е-^фіЦфі),    t ^ 0,

является неотрицательным локальным мартингалом и, значит, супермартингалом. Поэтому для всякого т Є 9Я"о° и фо = 1

Еіе-Хтфт = Е1к~1(фт)Мт $EiA_1(^)AfT

= Л-^^ЕіД/г $ п-1{ф)ЕіМ0 = h'1^)

72-71             Г       72 - 7i

= —~    = ф ■ —^           ^— .

72V0'1-1 — 7і^72_1       72V0'1 — 7і^72

Если = 1, то момент г = inf ^ 0: фг ^ V>} является, как показано выше, конечным с вероятностью единица (Pi(г < 00) = 1), и для этого момента

Eie-AfVf = Ei/r^M? = h-Нф)  ( = U(l)),

что и доказывает оптимальность момента г в классе Wig0 ПРИ Фо = 1- (Аналогичные соображения остаются в силе для любого фо ^ ф.)

Обратимся к исходным задачам (6) и (7). Из (11), считана = 0, находим, что

Еже-(А+г)т5т(5)/(т < оо) = хЕе~Хтфт1{т < оо). (54)

Здесь фо = 1 и, как установлено выше, момент т = inf {t :фг ^ ф} является оптимальным моментом остановки в том смысле, что

sup Ее_Ат^г/(г < оо) = Ее~х9ф91 (т < оо) = Ее~х9ф9 (55)

 

и

sup  Ее-Хтфт1(т < оо) = Ee_A?Vr- (56)

 

Тем самым, момент т является оптимальным моментом в задаче (7).

Рассуждениями, которые были использованы выше при доказательстве свойства Р-ф{т < оо) - 1, можно, анализируя процесс (фг)г^о, также доказать, что момент г является конечным и до мере Р. Тем самым, момент т является оптимальным в исходных задачах (6) и (7).

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010