В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1049236 человек которые просмотрели 19724255 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1362

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§3b. задачи об оптимальной остановке и задача стефана

1. Из изложения в предшествующем параграфе следует, что для описания структуры оптимального момента остановки и областей продолжения и остановки наблюдений надо уметь находить функцию V* — V*(t,x) или, равносильно, функцию Y*(t,x) = V*(T — t,x).

В общей теории оптимальных правил остановки для марковских процессов можно найти разнообразные характеризапии этих функций.

Так, например, известно (см. [441]), что функция У* = Y*(t, х) является наименьшей /3-жсцессивной мажорантой (неотрицательной боре-левской) функции у - д(х). Иначе говоря, среди всех функшп^ = F(t,x), обладающих тем свойством, что для 0<£<£ + Д^Т

TasTAF{t,x) = EtiXF(t + A,St+A),x = 5«,и

д(х) < F(t, х),    хЄЕ,  O^t^T, (2)

функция У* = Y* (t, х) является наименьшей.

Из этой характеризапии, в частности, следует, что

 

тах{<?(х), e~^ATAY*(t,x)} < Y'{t,x). (3)

Естественно ожидать, что для малых А > 0 и t — 0, А,..., [Т/А]А функция У* (t, х) "близка" к функции

Yl(t,x)=    sup    Et,xe-^T-^g(Sr), (4) remJ(A)

 

где 9ЛТ(Д) - моменты остановки г такие, что т ~ кА, к — 0,1,..., [Т/А], t < г < Г и {ы: т < кА} Є &кА(А), ЗкА(А) = а{ш: SA, S2A, • - -, SkA}.

Из теории оптимальных правил остановки следует, что высказанное предположение о "близости" этих функций при малых А > 0 допускает строгую формулировку (см. [441; гл. III, §2]). Далее, поскольку для Уд(г,х) с t = 0, А,..., [Г/Д]А имеют место рекуррентные соотношения

YA(t,x) = тах{з(х), е~^лЕіхУд(£ + А,St+д)} (5)

(см. случай дискретного времени в §2а, гл. VI, и §4, гл. II, в [441]), то в предположении достаточной гладкости У* (t, х) из (5) по формуле Тейлора находим, что

Y*(t,x) = max{g(x),(l-I3A) Y*(t,x) + ^9Yх) + LY*(t,s)) Л +о(Д)},

(6)

где

TO.„^ + I„V^. (V,

Из (6) видим, что там, где У * (t, х) > д (х), т. е. в области продолжения наблюдений, для У* = У * (t, х) выполнено уравнение

 

-^-г/ЗУ* =£У*. (8)

e-p&TAF(t,x) < F{t,x), хеЕ,

(1)

Замечание 1. По своему виду уравнение (8) такое же, как и уравнение (12) в § За, что и неудивительно по следующим причинам.

Предположим, что в классе OTtjT существует оптимальный момент tJ . Тогда

Y*(t,x) = Et,xe-^?-»g(Stt).

Поскольку

Y(t,x) = Et,xe-KT-Vg(ST),

то интуитивно понятно, что если точка (t, х) Е Ст, то (обратные) уравнения по t и х для функций У* (і, х) и У (t, х) должны быть одни и те же, поскольку коэффициенты соответствующих уравнений определяются по локальным характеристикам одного и того же двумерного процесса (и, Suh^u^T в окрестности начальной точки (t, а;), где х = St.

Замечание 2. Выводу уравнений типа (8) для У* (t, х), действующих в области продолжения наблюдений, и их применениям в теории опционов посвящена обширная литература: например, монографии [266], [287], [441], [478] и статьи [33], [66], [134], [135], [179], [247], [265], [272], [340], [363], [467].

О связи между задачами об оптимальной остановке и задачами Стефана уже говорилось в разделе 5, гл. VI, при рассмотрении опционов Американского типа на биномиальном (В, 5)-рынке. В случае непрерывного времени эта связь, видимо, впервые была обнаружена в статистическом последовательном анализе при рассмотрении вопросов различения статистических гипотез относительно сноса винеровского процесса ([349], [67], [300], [440]; см. также историк»-библиографическую справку в [116] и в [441]).

В финансовой литературе одной из первых работ, где рассматривалась задача Стефана, или задача со свободной границей, была статья Г. Мак-кина [340], посвященная расчетам рациональной стоимости варрантов Американского типа.

В математической физике задача Стефана возникает при изучении физических процессов, связанных с фазовым превращением вещества ([413], [463]). Простейшим примером такой двухфазной задачи Стефана является, например, следующая задача.

Пусть известно, что пространство "время-состояние" Ш+ х Е = {(t, х): t ^ 0, х > 0} состоит из двух фаз

 

С(1) = {{t,x):t^0, 0<x<x(t)}

С(2) = {(t,x): t > 0, x{t) < х < со},

где х — x(t), t ^ 0, есть некоторая гранила разделения фаз, скажем, граница "лед-вода" внутри замерзающей воды. Предполагается, что температура u(t, х) в момент времени t в сечении х в каждой из фаз С^1 г — 1,2, удовлетворяет "своему" уравнению теплопроводности

ди    ,  д?и       .    , „

CiPim=kidx^'   , = 1'2' (9)

где (в теплофизических терминах) с* - удельные теплоемкости, pi -плотности фаз, ki - коэффициенты теплопроводности (см., например, [335; т. 5, с. 324]).

Уравнения (9) рассматриваются при

граничном условии u(0, t) = Const, начальном условии и(х, 0) - Const и, например, при следующем

условии на границе фаз: при t > 0

 

u(t,x(t-)) =u(t,x{t+)), (10)

£(*.«('-)) = £('.»(*+)). (и)

с дополнительным предположением, что х(0) = 0.

При сформулированных условиях задача Стефана состоит в том, чтобы найти функцию и — u(t, х), описывающую температурный режим фаз, и границу х = x(t), t ^ 0, разделения этих фаз.

4. Мы привели пример двухфазной задачи Стефана из математической физики с тем, чтобы подчеркнуть как их общность, так и отличие от тех задач Стефана, которые возникают в связи с отысканием оптимальных правил остановки и, в частности, в связи с опционами Американского типа.

Выше отмечалось, что в случае стандартных опционов покупателя и продавца также имеет место двухфазная ситуация - при отыскании оптимальных правил остановки можно ограничиться рассмотрением лишь двух односвязных фаз: области продолжения наблюдений СТ, где для У* (t, х) действует уравнение (8), и области DT, где У* = Y*(t,x) совпадает с функцией g = g{x).

В следующем параграфе приводятся точные формулировки соответствующих задач Стефана для этих двух опционов и описываются качественные свойства соответствующих решений У* = У* (£, х)тлх* = x*(t).




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010