В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1016848 человек которые просмотрели 19404119 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1340

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 3d.  о связи стоимостей опционов европейского и американского типа

1. Ранее отмечалось, что на практике опционы Американского типа встречаются значительно чаще, нежели опционы Европейского типа. Однако, если для последних имеются такие замечательные результаты, как, скажем, формула Блэка и Шоулса, то расчеты для опционов Американского типа в задачах с конечным временным горизонтом наталкиваются на большие аналитические трудности, что, в конечном счете, связано со сложностями решения соответствующих задач Стефана.

Изформул(1)и(2)в§Заясно,чтоценаУ*(Г,х) > V(T,x),что,конечно, вполне естественно, поскольку по условиям контракта опционы Американского типа представляют возможность не просто дожидаться (терминального) момента исполнения, но и выбирать этот момент.

В настоящем параграфе приводятся некоторые результаты относительно связи пен для стандартных опционов покупателя и продавца, для которых платежные функции имеют вид <?(х) = (х — К)+ и д(х) = (К — х)+ соответственно.

Будем предполагать, что А = 0. Тем самым, формулы (1) и (2) из §3а принимают следующий вид:

V(T,x) = Exe-rTg(ST) (1)

и

V*(T,x)= sup Exe-rrg(ST), (2)

 

где x = So-

2. Совсем просто решается вопрос о соотношении стоимостей (пен) V(T, х) и V* (Г, х) в случае д(х) = (х — К)~*~, т. е. для опциона покупателя. В этом случае

V{T,x)=V(T,x), (3) и в классе 9Ло оптимальным является момент тт = Т (см. § Зс).

Замечание. Подчеркнем, что если Л > 0, то результат (3) уже не имеет места, и это вызвано тем, что процесс (e_(A+r^(5t — К)+)г^оЩял > О уже не будет субмартингалом (ср. с §3с).

Перейдем теперь к вопросу о величине "дефекта"

A0r(x)=V*(T,x)-V(T,x) (4)

для стандартного опциона продавца (д(х) = (К — ж)+), считая Л = 0 и обозначая ж* = x*(t), 0 < t < Т, пограничную функцию между областями остановки и продолжения наблюдений для оптимального момента остановки тт.

Теорема. В случае стандартного опциона продавца "дефект"

 

А0г(ж) = тКЕх /   e~rul(Su < х*{и)) da. (5) Jo

Следствие 1. Пусть Рт и Рг - рациональные стоимости опционов продавца Европейского и Американского типов (Рт = V(T, Sq), Рг = V*{T,So)).. Тогда

ГТ

Рт = Рт + rKESo /   e~rul(Su < х* (и)) du Jo

= Ке~гТФ(-у-) - 50Ф(-у+)

+ гК Г  e-ru$(-y-(u,x*{u)))du, (6) Jo

где (ср. с обозначениями в § lb)

и

Доказательство. Пусть

 

Y(t,x) = Et,xe-r(T-Vg(ST) (8)

 

и

У*(*,*)=  sup EttXe-r^-ty>g(ST), (9)

 

тдед{х) = (К — х)+. Тогда для

 

Дт(х)=У*(*,х)-У(*,х) (10)

 

находим, что

 

е-г'Дт(ж) = Е«,х{е-"«Т5(5гт) - e-rTg(ST)}, (11)

 

где т4т - оптимальный момент остановки в задаче (9). По формуле Ито (§ 5с, гл. III)

 

d(e-ru(K - Su)+) = e~rud(K - Su)+ - re~ru(K - Su)+du, (12)

 

и по формуле Ито-Мейера для выпуклых функций (см. §4а, гл. VII; [395; гл. IV]; ср. также с формулой Танака (17) в §5с, гл. III)

 

d(K - Su)+ = -I(SU < К) dSu + ~LU(K), (13)

 

где

LU{K) = lim І- Г l(St -К^є) dt (14) є4-0 £є Jo

- локальное время на [0,и], проводимое процессом S = [St)t^o на уровней.

е-гТ

Из (11)—(13) находим, что

'AtT(x) = -Et>x [Td(e-™(K - Su)+)

= -Et,x f e-™{-I{Su < K) dSu + dLu{K)

- r(K - SU)I(SU < K) du] = Et,x /   e~ru{-dLu{K) +I{SU < K)

(15)

x [rSu du + aSu dWu + (rK - rSu) du]}

Et,x f  e-™{rKI{Su <K)du- dLu (K)}.

 

Положим для t ^ Г

(16)

T

At = Г' e~TU{rKI{Su < K)du-dLu(K)}.

 

Тогда, поскольку     — T, из (15) получаем, что

e-rtAiT(x)^EttX[AT-At}. (17) Представим теперь At в виде

At = A + A2t,

где

ГІ

А] = /    e~rul(Su < x*{u)){rKI(Su <K)du- dLu(K)}, Jro

A2 = f ' e~rul(Su > x*(u)){rKI{Su <K)du- dLu(K)}.

 

Поскольку x* (и) < К для всех и < Т, то

 

А = Г ' e-rul(Su < x*{u))rKdu

= rK f e-rul(Su<x*{u))du. (18) Jo

Процесс А1 = {A])t^.T является предсказуемым субмартингалом и, согласно следствию 2 в § 5Ь, гл. III, компенсатор этого процесса совпадает с ним самим. Несколько более сложный анализ (см. [134], [135] и [363]) показывает, что компенсатор процесса А2 — (A2)t^.T равен нулю. Тем самым,

e~rt AtT(x) = EtfX[AT - At) = Et>x[AT - A]

= rKEt,xJ   e-rul(Su<x*(u))du (19)

и, следовательно, для Aq(x) имеет место формула (5).

Наконец, формула (6) из следствия 1 вытекает из (5) и формулы (18) в § lb для Рт-

Теорема и следствие 1 доказаны.

Следствие 2. Функции У* (t, х) ux*(t) связаны соотношением

Y*(t,x*(t))=K-x*{t),      t^T, (20)

которое можно рассматривать как интегральное соотношение для определения пограничной функции х* = x*(t), t ^ Т, с х*(Т) = ^lim x*(t).

Следует при этом подчеркнуть, что, на самом деле, функция Y* (t, х) также неизвестна. В реальной практике для этой функции используют приближения Уд (t, х), рассчитываемые методом индукции назад (см. п. 1 в §ЗЬ). Заменяя тогда в (19) функцию Y*(t, х) наУд(£,х), получаем функцию хд = хд (£), t < Т, которую и принимают в качестве аппроксимации длях* = x*(t),t 4 Т.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010