В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449343 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1342

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4а.  о проблематике расчетов опционов на рынке облигации

До сих пор опционы рассматривались лишь на (В, 5)-рьшках акций. В реальной же финансовой практике можно встретить самые разнообразные опционы: например, на евродоллары, фьючерсы, валюту, ..., и даже опционы на опционы. Помимо стандартных опционов-колл и оппионов-пут имеют хождение разнообразные их комбинации. При этом многие опционные финансовые инструменты имеют весьма изощренную структуру, определяемую и видом платежных функций, и типом тех основных ценных бумаг, которые участвуют в составлении опционных контрактов.

О разнообразии опционов, многие из которых относятся к числу "экзотических" можно судить, например, по их (английским) наименованиям: up-and-out put, up-and-in put, down-and-out call, down-and-in call, barrier option, Bermuda option, Rainbow option, Russian option, knock-out option, digital option, all-or-nothing, one-touch all-or-nothing, supershares,... (cm. [232], [414], [415]).

Говоря о расчетах упомянутых опционов и других производных финансовых инструментов, следует отметить, что их методология такая же, как и в моделях, рассмотренных Ф. Блэком, М. Шоулсом и Р. Мертоном ([44], [346]) в случае (В, 5)-рынка акций. При этом снова возможны два пути - мартингальный и базирующийся на непосредственном обращении к "фундаментальному уравнению" (ср. с § § lb, с).

Последующее изложение будет относиться к расчетам стандартных опционов Европейского и Американского типа для случая, когда вместо {В, 5)-рьшка рассматривается (В, Т^-рынок, состоящий из банковского счета В = {Bt)t^T и единственной облигации с моментом исполнения Т, структура которой описывается (положительным) процессом Р - {P{t,T))t^.T, подчиненным условию Р(Г, Т) = 1.

В соответствии с изложением в §4а, гл. III, и §5а, гл. VII, будем при описании (В,'PJ-pbiBKa придерживаться опосредованного подхода, считая, что эволюция банковского счета В = {Bt)t^.T такова, что

Bt =Ј0expQT r{s)ds), (1)

где г = {r(t))t^T - некоторый стохастический процесс процентной ставки.

Что же касается динамики процесса цен Р = (Р (t, Т)) t^T облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (П,&т, (^t)t^T) дисконтированные цены

Р(*,Т) = ^%^,    *<Т, (2) Bt

образуют мартингал.

(3)

Согласно теореме 1 из § 5а, гл. VII, имеем

Р{і,Т) = в(ехр(-£ r{s)ds^

а в силу теоремы 2 из того же самого §5а, гл. VII, рассматриваемый (В, Р)-рынок является безарбитражным (скажем, в NA+-версии).

3. Из (1) и (3) видим, что на (І^Т^-рьшке динамика процессов (Bt)t^.T и (P(t,T))t^r существенно зависит от структуры процесса г = {r[t))t^T-

Наше основное предположение относительно этого процесса будет состоять в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

dr{t) = (a{t) - 0{t)r(t)) dt + -y{t) dWt, (4)

порождаемым винеровским процессом [Wt)t^T и (неслучайным) начальным условием г(0) = г0. Функции a{t), /3(f), l{t) предполагаются детерминированными, причем

Г {a{t) + i3{t)+l2(t))dt<*o. (5) Jo

(6)

(7) (8)

В этих предположеыиях уравнение (4) имеет, и притом единственное, (сильное) решение

" t{a)

 

где

g{t) =ехр(-     0(a) ch) — фундаментальное решение уравнения

g(t) = l- f* 0(a)g{a)da. Jo

Замечание 1. Согласно изложению в §4а, гл. III, модель (4) есть не что иное, как модель Холла и Уайта, частными случаями которой являются модели Мертона, Васинека, Хо и Ли (см. формулы (14), (7), (8) и (12) в указанном §4а).

4. Из марковости процесса г = (г(£))^т следует, что

гТ >

r(t)

Р(*,Т) = Е гТ

exp^— J r(s)ds Обозначим /(t, Г) = J1 r(s) ds. Тогда из (6) нетрудно найти, что

E(l(t,Т) | r(t)) = r{t) lTg^du + £ [jT 9^а(з) *] du, (10)

(И)

D(l(t,T) (t)) = J*J*^7(»)d«]

Поэтому из (3) следует, что для

P(t,T) = E[exp(-J(*,T))|r(t)] =exp(lD(J(t,T)|r(t))-E(J(*,T)|r(t))) имеет место следующее представление:

P(t,T) =exp{A(t,T) -r(t)B(t,T)), (12)

где

 

«^-Гда*1 (14)

Замечание 2. Согласно терминологии § 4с, гл. III, модели, в которых цены P{t,T) представляются в виде (12), называются однофакторны-ми аффинными моделями. Сделанное дополнительное предположение, что процесс г = (r(t))t^T является гауссовско-марковским, дает возможность для таких моделей, часто называемых одно факторными га-уссовскими моделями, довольно детально провести соответствующие расчеты для стандартных опционов Европейского и Американского типов на рассматриваемых (В,Р)-рьшках. Этим вопросам посвящены последующие § § 4Ь, с.

Замечание 3. По поводу согласования разных моделей, описывающих динамику пен облигаций, с эмпирическими данными см., например, [257].




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010