В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1016848 человек которые просмотрели 19404103 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1340

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 4ь.  о расчетах опционов европейского типа в однофакторных гауссовских моделях

1. Будем предполагать, что рассматриваемая (В, 7?)-модель рынка, состоящая из банковского счета и облигации, полностью определяется един-свтвенным фактором - процентной ставкой г = (r(t))t^x> являющейся гауссовско-марковским процессом, подчиняющимся стохастическому дифференциальному уравнению (4) из § 4а с (неслучайным) начальным условием г(0) = го.

Пусть Т° - некоторый момент (Т° < Т), рассматриваемый как момент исполнения опциона Европейского типа с функцией выплат /то = (Р(Т°, Т) - К)+ в случае опциона покупателя и /То = (К - Р(Т°, Т))+ -в случае опциона продавца.

Теорема. В рассматриваемой однофакторной гауссовской модели (В,'Р)-рынка рациональная стоимость С°(Т°,Т) стандартного опциона покупателя определяется формулой

 

С°(Т°,Т) = Р(0,Г)Ф(о+) -ХР(0,Т°)Ф(гі_) (1)

 

где

In   Р(°'Т)   ± 1а2(Т° Т)В2(Т° Т) ДГР(0,Г°) *2   К   '  >    К   ' '

*             а(Т°,Т)В{Т°,Т)  '               [ ]

 

Подпись: (4) (5)2    ч 1/2 ds

д(и) = ехр^-^ (3(s)ds

(6)

Рациональная стоимость Р°(Т°,Т) стандартного опциона продавца определяется формулой

 

Р°(Т°,Т) = А"Р(0,Т°)Ф(-й1_) - Р(0,Т)Ф(-о+)

 

Прежде чем переходить к доказательству формул (1) и (6), отметим, что они весьма схожи с формулами для рациональных стоимостей С(Т) и Р(Т) в случае акций (см. (9) и (18) в § lb).

Это сходство не столь уж удивительно, поскольку для рассматриваемой модёлипены P(t, Т) имеют, как и цены St в модели Блэка-Мертона-Шоул-са, логарифмически-нормальную структуру:

 

lnP(t,T)=A(t,T)-r(t)B(t,T),

 

где [r(t))t^.T является гауссовским процессом,

 

и (Wt)t-gr ~~ винеровский (и, значит, также гауссовский) процесс.

Более, пожалуй, удивительно то, что прошло столь много лет с 1973 года, когда была опубликована формула Блэкаи Шоулса, до 1989 года, когда появилась статья Ф. Джамшидиана (F. Jamshidian, [256]), в которой были получены формулы (1) и (6) для модели Васичека (ct(t) = a, (3(t) = /3, 7(i) = 7; см. (4) в § 4а и (8) в §4а, гл. III). Приводимое ниже доказательство следует, в основном, работе [257].

2. В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках (см. раздел 5 в гл. VII) и в предположении, что исходная вероятностная мера на (Q, &•', {&t)t^.T), &т = является мартингальной, находим, полагая

R{t)=exp(- J r(u)duj, (7)

что

+

С°(Т°,Т) = ER(T°)(P{T°,T) -К)'

= е(/(Р(Т°,Г) > K)R{T°)(P{T°,T) - АГ)) = е(/(Р(Т°,Г) > K)R{T°)P(T°,T)^

-КЕ(і(Р(Т°,Т) > k)r{7°f). (8)

Ясно, что событие

(Р(Т°,Т) Ж} = (Л(Т°,Т) - г(Т°)В{Т°,Т) > ЪхК)

= {г(Т°)<г'}, (9)

где

= ЫК-А(Т*,Т)

-В{Т°,Т)                ( >

nA(t,T), B(t,T) определены формулами (13) и (14) в §4а. Пусть

 

£ = г(Т°),    г)=      r{u)du,     С= / r(u)du. Jo Jo

Тогда из (8) и (9) находим, что

С°(Т°,Т) = E(/(f ^ г*)е-") - КЕ(Щ ^ г*)е~с). (И)

Для дальнейшего упрощения этой формулы полезным является следующее утверждение, справедливость которого устанавливается прямым подсчетом (см. [257; лемма 4.2]).

Лемма. Пусть (X, У) - гауссовская пара случайных величин с вектором средних значений (рх, ру) « матрицей ковариаций ( "х' Рх? . Тогда

ЕЦХ ^ х) ехр(-У) = ехр(1с4 - Hy) Ф(ї) (12)

и

ЕІ{Х ^ х)Х ехр(-У)

= ехр(^у -       •                - РхуЩх) - <тх<р(х)}, (13)

 

 

где

4. Опционы на диффузионном (В, 7?)-рьшке облигаций Из (11) и (12) находим, что

 

~ х — (цх - Pxy)

х =          ,

-х2/2

ip(x) =

ох

V2w

Ф(х) = f    tp(y) dy.

J — ОО

du,

С учетом формул (6), (10) и (11) из §4а нетрудно подсчитать, что Н = Er(T°) = д(Т°) (г0 +^ya(s) ,

 

fi„ = Е у   r(u) du = го у   д(и) du + J   у   ^ya(s) ds

Гт°          Г7"        Гт° Г Г дЫ)

ds,

fie = E /    r(u) du = rQ I    g(u) du +       —^—-a(s) ds

Jo           Jo           Jo    Uo 91s)

 

'? = Di *■>*-Z [/ ИТ*'""

/э?с = Cov ^r(T°), У   r(u) duj /э^^ - Cov

/то

= Cov (r{T°),       r(u) duj + Cov ^r(T°), ^ * r(u) Jt*

С°(Т°,Т) = Е(/(£ ^ г»)е-ч) -КЕ(/(е < г')е~<)

 

-ДГ^Ф^-^)»^-'^-^'). (14)

 

Подставляя сюда вышеприведенные значения /і^, /і,,, /і^, о„, ос, PЈv и р££, после некоторых алгебраических преобразований (см. [257; Appendix 4b]) приходим к требуемой формуле (1).

Формула (6) следует непосредственно из (1) с учетом того, что

 

(К - Р(Т°,Т))+ = (Р(Т°,Т) - К)+ - Р(Т°,Т)+К.

 

(Ср., например, с выводом формулы (9) в §4d, гл. VI.) Теорема доказана.

3. Из формулы (6) следует, что рациональная стоимость Р°(Т°, Т) определяется по "начальным" ценам Р(0,Т°), Р(0,Т), константе К и величине сг(Т°,Т)В(Т0,Т), определяемой, в свою очередь, по коэффициентам /3(s), 7(3) приТ0 ^ s ^ Т.

В случае модели Васичека (3(s) = s, 7(e) = 7, и нетрудно найти, что

 

*{7°,Т)В(7°,Т) = 1(1-е-^-^)(±(1-е-^))1/2.

 

Начальные цены Р(0, Т°) и Р(0, Т) определяются в этом случае из формулы (см. (12) в §4а)

Р(0, t) = ехр{ Л(0, t) - гоВ(0,1)}

4/У

01

В(0,*) = 1[1-е-^].

 

Л(0, *) = i [1 - є"/» - #] [£ - ^1 - £ [1 - є"/»]2,

§ 4с. О расчетах опционов Американского типа в однофакторных гауссовских моделях

1. Продолжая рассмотрение однофакторнойгауссовской (В, Р)-модели, для которой в § 4Ь "О расчетах опционов Европейского типа..." были приведены формулы для С°(Т°,Т) и Р°(Т°,Т), будем обозначать С*(Т°,Т) и Р* (Т°, Т) соответствующие рациональные стоимости для опционов (покупателя и продавца) Американского типа. При этом предполагается, что моменты исполнения принадлежат классу

 

mtj° ={т = т{ш): 0 < т(ш) ^ Т°, ш Є П}.

 

Рассматриваемый (В, Р)-рынок является и безарбитражным, иполным, и в соответствии с общей теорией расчетов в подобных моделях (см. раздел 2, гл. VI, и раздел 5, гл. VII),

(2)

 

С*(Т°,Т)=   sup   Eexpf- Гr(u)du ](Р(т,Т) -К)+ (1)

 

Р*(Т°,Т) =   sup   Eexpf- Г r{u) dv) (К - Р(т,Т)) +.

.слпТ°   V    Л) /

 

Поскольку

Р(т, Т) = ехр (Л(т, Т) - г(т)В(т, Г)), (3)

то видим, что задачи (1) и (2) относятся к стандартным задачам об оптимальной остановке

 

"  sup  Eexpf- Г r{u)du)G(T,T;r(T)) " (4)

2. Совсем просто решается вопрос относительно отыскания величины С* (Т°, Т). Действительно, как и в случае стандартных опционов-колл на (В, 5)-рынках, процесс

 

(ехр (- jf* г (и) du^j (P(t, Т) - K)+^j

является субмартингалом, и, значит, по теореме Дуба об остановке С*(Т°,Т) = С°(Т°,Т), что в §5Ь, гл. VT, и в § ЗЬ интерпретировалось как то, что рассматриваемый "опцион-колл Американского типа является опционом Европейского типа"

Переходя к отысканию стоимости Р* (Т°, Т), введем величины

 

Y*{t,r)=   sup   Е<)Гехр(- f r{u)du)G(T,T;r{T)), (5)

 

где Et>r - усреднение в предположении r(і) — г, Шт° - класс моментов остановки т = т(ш) таких, что t ^ т(ш) < Т°, и

 

G(t,T;r(t)) =(K-P(t,T))+= (К-exp(A(t,T)-r(t)B(t,T))Y

с функциями A(t, Т) и B(t, Т), определяемыми формулами (13) и (14) в § 4а. Обозначим

 

Ст = {(t,r):Y*(t,r) > G(i,T;r), 0 ^ t < Г,г > 0}

и

DT = {(t,r):Y*(t,r) = G(t,T;r), 0^t<T,r>0}.

Основываясь на характеристических свойствах цен Y*(t,r) как наименьших эксцессивных мажорант функций G(t,T; г) (см. [340], [363], [441; гл. III], [467], [478]), можно показать, что существует непрерывная пограничная функция г* = r*(t), t < Т°, такая, что области Ст и DT (продолжения и остановки наблюдений) имеют следующий вид:

Ст = {{t,r):r{t) <r*{t), 0<І<Т, r>0}

для марковских процессов г — [r(t))t^.T и неотрицательных функций G(t, Т; г(т)), общая теория решения которых достаточно хорошо развита (см., например, [441]).

и

DT = {(*,r): r(i) > r*{t), 0 ^ t < T, r > 0}.

При этом Y* = Y* (£, г) и пограничная функция г* =r*(t) являются решениями следующей задачи Стефана:

 

д¥*£Г) + LY*(t,r)-rY*(t,г) = 0,     (і,г) Є СТ,

где

ХУ,«,„=(а(.)-«*)^ + Ь*(.)^;

в области DT

dY*{t,r)

(7)

Y*(f,r) = G(i,T;r), (6) и на dDT вьшолняется условие гладкого склеивания

дг

dG(t,T;r)

rtr*(t) д1"

Точное аналитическое решение этой задачи неизвестно (как, впрочем, и в случае (В, 5)-моделей; см. § Зс). В то же самое время, учитывая широкую распространенность опционов Американского типа на практике, хотелось бы иметь представление о том, насколько стоимость Р* (Т°, Т) опциона Американского типа больше стоимости Р° (Т°, Т) опциона Европейского типа, как ведет себя пограничная функция г* = г* (i), t < Т°.

Рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы в § 3d для установления связи между стоимостями опционов Европейского и Американского типов на (В, S)-рынке, применимы в рассматриваемом случае (В,Р)-рьшков и приводят к следующему результату (ср. с (19) B§3d): дляО<і<Т°

 

Y*{t,r) =Y°{t,r)+K^TЕіуГ^ехр(- Jj{u)duy(s)l(r{s) >r*(s))|rfs,

(8)

где

У°(і,г) = Ettrexp(~jK(u)du^ (K - P(T°,T))+

= Е«,г exp(-£г(и) du (К - exp(A(T°,T) - r(T°)B(T°,Г))).

(9)

Пользуясь формулами (12) и (13) из §4Ь и найденными там значениями для величин /if, nv,..., после несложных алгебраических преобразований получаем: для 0 ^ t ^ Т°

 

Y*(t,r)=Y°(t,r)

 

+ К I P(t,s){${-v*{t,s))f{t,s)+a{t,s)4>(v*{t,s))}ds, Jt (10)

где

 

a2(t,s) = D(r(s) (t)=r),

Q

f{t,s) = -—lnP{t,s),

 

(Детали вывода формул (8) и (10) см. в [257].) В частности, поскольку

Р*(Т°,Т) =У*(0,г0) и Р°(Т°,Т) = У°(0,го),

то

Р*(Т°,Т) =Р°(Т°,Т)

+ К / P(0,s){<!>(-v*(0,s))f(0,s)+a(0,s)ip(v*(0,s))}ds. Jo

В заключение отметим, что формула (10) дает возможность (индукцией назад) получать, по крайней мере, приближенные значения и для стоимости Р*(Т°,Т), и для пограничной функции г* = r*{t),t< Т°.

По поводу разнообразных методов численных расчетов опционов Американского типа (в том числе и в "случаях с дивидендами") см., например, [28], [29], [56], [57], [179], [257], [376], [478] и [479].

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010