В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1049240 человек которые просмотрели 19724299 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы стохастической финансовой математики Том 2

Автор: Ширяев Н. А.

Жанр: Разная литература

Рейтинг:

Просмотров: 1362

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |




§ 1с. верхние и нижние цены в одношаговой модели

Рассмотрим простую "одношаговую модель" (В, S)-рынка, состоящего из банковского счета В = (Вп) и одной акции S = (Sn) с п — О,1. Предполагается, что константы Во > 0, So > 0 и (см. § 1а)

(1)

В = Во(1 + г), 5Х = 50(1 + р),

 

где процентная ставка г есть константа (г ^ 0) и процентная ставка р является случайной величиной (р > —1).

Поскольку в эту модель вся "случайность" входит через значения р, то достаточно оперировать лишь с распределением вероятностей Р = P(dp) на числовой прямой Ш = {р: р < оо} с борелевской системой 9Ь(К).

Будем предполагать, что носитель меры P(dp) сосредоточен на интервале [о, 6], где —1<а<Ь<оо. Если мера P(dp) сосредоточена в двух точках {а} и {Ь}, то (1) является одношаговой CR R- моде ль ю, о которой шла речь в § 1е, гл. II.

Пусть f — f (S) - функция платежного обязательства, и, для простоты записи, С*(Р) = С*(/; Р), С»(Р) =С„(/;Р)- Поскольку В0 > 0, то, без ограничения общности, можно считать Bq = 1.

В рассматриваемой одношаговой модели портфель 7г определяется парой чисел (3 и 7, значения которых должны выбираться в момент времени п = 0.

Согласно данным в предшествующем параграфе определениям,

 

С*(Р) =       inf      (/3 + 7S0) (2) и поэтому, интегрируя обе части этого неравенства по мере Р Є ^(Р), с учетом (7) находим, что

 

и

1 + г

:,(Р)=      sup     (P + ySo), (3)

(/3,7)єя.(р)

где

Я*(Р) = {(/3, j):/3Bi + 7S1 > /(50, Р-п.н.} (4)

и

Л,(Р) = {(p,1):pBx + 1Sl </(Si), Р-п.н.}. (5) Рассмотрим входящее в Я*(Р) ограничение

 

/3(l+r) + 7S0(l+p) >/(50(1+р))  (Р-п.н.) (6)

 

и введем (на первый взгляд, искусственным образом) класс &(Р) {Р   - P(dp)} распределений на [а, Ь], обладающих следующими двумя свойствами:

Р ~ Р

(т.е. меры Р и Р взаимно абсолютно непрерывны: Р С Р, Р < Р) и

 

[bpP(dp) = r. (7)

J а

Будем предполагать, что этот класс ^(Р) Ф 0. (Это, например, заведомо так в модели CRR, рассматриваемой далее в § Id и детально в п. 6, § 3f.)

Отметим теперь важное обстоятельство, на котором основаны многие расчеты в финансовой математике:

 

если мера Р ~ Р, то в неравенстве (6) условие "Р-п.н." может быть заменено на условие "Р-п.н.".

 

Следовательно, если (/3,7) Є Н*(Р), то

 

p(l + r)+jS0(l+p)>f{So(l + P))  (Р-п.н.), (8)

Из этого неравенства очевидным образом вытекает следующая оценка снизу для С*(Р):

 

С,{Р) = (^ЙчР){/? + 75о)

>   sup   Е,ІШ±±Р)1  (=я.}. (10) рєз»(р) +

Аналогичным образом получаем опенку сверху для С» (Р):

С.(РХ    -І   Ер!Щ±М   (=*.)■ (И)

рє9»(р)              1 + г

Таким образом,

С(Р)<*. <**<С*(Р), (12)

что доказывает (в предположении 9*{Р) ф 0) неравенство С»(Р) ^ С*(Р), которое из определений С» (Р) и С* (Р) сразу не столь уж очевидно. Обратимся к свойству (7), записав его в виде

Ер^ = 1. (13) г 1 + г

В силу (1), оно равносильно тому, что

Е 5L=Sb (14)

рВх    В0             V '

Ер

Полагая &о = {0, Щ, & = с(р), видим, что

5о Во

V-On/п=0,1

т.е. относительно меры Р последовательность (       )          является мар-

тингалом.

Именно это обстоятельство, имеющее место и в более общем случае, объясняет, почему меры Р из класса £?(Р) принято в финансовой математике называть мартингалъными мерами.

/(5о(1 + р))

1+Г

ЕР z(p)

(15)

Отметим, что появление таких мер при расчетах, скажем, верхних и нижних мер может, на первый взгляд, показаться несколько искусственным, поскольку на исходном стохастическом базисе уже есть "исходная" вероятностная мера и, казалось бы, все расчеты должны быть основаны лишь на этой мере. На самом деле так оно и есть, поскольку

f(S0(l + p)) l + r

dP

где z(p) — — - производная Радона-Никодима меры Р относительно меры Р.

Однако появление мартингальных мер носит более глубокий характер, поскольку их наличие самым непосредственным образом связано с отсутствием арбитражных возможностей на рассматриваемом (-В,5)-рынке.

Этот вопрос будет детально обсуждаться ниже в разделе 2: "Рынок без арбитражных возможностей" Сейчас же займемся вопросом о том, когда в неравенствах (10) и (11) можно гарантировать, на самом деле, выполнение равенств.

3. Предположим, что функция fx = f(So(l + х)) является выпуклой (вниз) и непрерывной на [а, Ь]. (Напомним, что всякая выпуклая на замкнутом множестве [а, Ь] функция является непрерывной на открытом множестве (а, Ь), будучи, быть может, разрывной лишь в концевых точках интервала.)

Проведем через точки (a, fa) и (Ь, Д) прямую у = у(х). Если уравнение этой прямой есть

у(х) = nS0{l + x) + v, (16)

то, очевидно,

fb-fa      (1 + b)fa ~ (1 + a)fb ,17ч

 

Введем стратегию п* = (/?*, j*) с

 

1 + г

Поскольку (1 + г)в* + 50(1 + р)7* = v + A*So(l + р) > f(p) Для всех р е [а, Ь], то 7Г* Є Я*(Р) и, значит,

С*(Р)=      inf     (/3 + -ySo)^P*+l*So = T^—+^S0. (19) (/3,7)Ђh-(p)v l+r

Сделаем теперь следующее предположение относительно множества мартингальных мер £?(Р):

(А*): существует подпоследовательность мер, скажем (P„)„j>i, из £?(Р), слабо сходящаяся к мере Р*, сосредоточенной в двух точках а и Ь.

Если это предположение (А*) выполнено, то тогда из равенств

Е- 1+^ = 1 р" 1 + г

получим, что

Ep*TT7-L

Отсюда находим, что вероятности р* = Р* {Ь} и q* = Р* {а} подчиняются двум условиям:

p*+q* = l

 

bp* + aq* = г.

С ледов ательно,

г -а         Ь-г (оп,

Р = т      ,    Q = 7                • W

о — а   о — а

Далее, опять же из предположения слабой сходимости мер Р„ к мере Р*, находим, что, с учетом (19),

 

sup   Ep-^-^limEj; -^_ = Ер.-^-

р€9»(р)      1 + 7"        "       "1 + г                1 + г

„,    /б      ,            fa            Г -a     fb               Ь-Г fa

= Р т— 1" Я  т-        = 7                    7-            1-

1 + г        1+г     6-а 1 + г    6-а 1 + г

 

1 + 7-

>      inf     (/3 + 7S0) = С*(Р). (21) Вместе с противоположным неравенством (10) получаем, что

С*(Р) =      inf     (p + -yS0)=   sup   Eg/(S°(1+P)). (22)

 

Анализируя сказанное, отметим, что непрерывность и выпуклость / = /(5о(1 + р)) как функции от р Є [а, 6] является довольно стандартным предположением и поэтому не вызывает серьезных возражений.

Более "тяжелым" является сделанное выше допущение (А*) относительно слабой компактности семейства мартингальных мер с предельной мерой, сосредоточенной в двух точках а и Ь. На самом деле, это не такое уж "страшное" предположение, если исходить из априорного допущения, что в окрестностях точек а и 6 есть ненулевые Р-массы, т.е. для всякого є > 0 вероятность Р[а, а + є] > 0 и Р[Ь — є, b] > 0. Тогда, если есть хотя бы одна такая мартингальная мера Р ~ Р (т.е. обладающая

свойствами Р[а,а + є] > 0,   Р[Ь - є,b] > 0,  Ve > 0, и Ґ'pP(dp) = г),

то требуемую последовательность мер {Рп} можно построить с помощью "перекачивания" масс меры Р в сужающиеся (є 4- 0) окрестности [а, а + є] и [Ь — є, о] точек а и b с сохранением свойств эквивалентности Р„ ~ Р.

В следующем параграфе мы рассмотрим модель CRR (Кокса-Росса-Рубинштейна), в которой исходная мера Р "сидит" в точках а и & и построение меры Р* не вызывает никаких затруднений. (В сущности, мы ее уже построили в (20).)

Сформулируем полученный результат относительно С* в виде следующего утверждения (см. также [93]).

е(Р)=   sup   Ер     ° ~_       ■ (23)

-               г 1+г

Теоремаї. Пусть функция платежного обязательства f (So{l+р)) является выпуклой и непрерывной по р на [а,Ь], и выполнено условие слабой компактности (А*). Тогда верхняя цена

/(Sb(i + p))

рєз»(р)

При этом sup достигается на мере Р* и

C4P) = LZ^-h-+b-^J^, (24) v '     6-а 1 + г    6-а 1 + г

где /р = /(5о(1 + р)).

4. Обратимся теперь к нижней пене С». Согласно (3) и (11),

 

с,(Р)=      sup     (/3 + 7S0)       inf   ергтт> (25)

03,7)€я.(р)       рєз»(р)     *- + г

где fp = /(5о(1 + р)) и р Є [а, Ъ].

Если функция fp выпукла вниз на [а, Ъ], то для точки г Є (а, Ь) можно найти А = А (г) такое, что

/ (50(1 +p))>f (So(l + г)) + (р - г)А(г) (26)

для всякого р Є [а, Ь], где

г/(г) = /(50(1+г)) + (р-г)А(г)

есть "опорная прямая'; проходящая через точку г, и такая, что график fp лежит выше этой прямой.

Пусть Р Є &(Р). Тогда из (26) находим, что

inf   E5/(So(l + p))^/(So(l+r)) (27)

pЂs»(p)

"Р        1 + г          " 1+г

 

Определим

 

1 + г

А(г)

Тогда (26) примет следующий вид: для р Є [а, Ь]

f(S0{l + p))>P.(l + r) + y.S0{l + p),

из которого следует, ЧТО 7Г* = (/3,, 7») Є Я» (Р).

Следуя той же самой схеме, что и при доказательстве теоремы 1, предположим, что выполнено следующее условие

(Л„): существует подпоследовательность мер, скажем, {Р„}п>1 из £?(Р), слабо сходящаяся к мере Р», сосредоточенной в одной точке г.

Тогда, в предположении непрерывности функции fp,

■ і с fp ^ у р fp с fp /(5о(1+г))

mf Ер-—— ^ hmЕр      — ЕР, —           

 

= /3» + 5о7» ^      sup     (/3 + 5о7) = С*(Р),

(/3,7)€Н,(Р)

что вместе с (26) доказывает следующий результат.

Теорема 2. Пусть функция fp непрерывна, выпукла вниз на [а, Ь] и ■ выполнено условие слабой компактности {А*). Тогда нижняя-цена

С.(Р)=    inf   Ер^Ы. (28) Р€3»(Р) 1+г

Яри этол* inf достигается на мере Р, и

С,(Р) = т^-. (29) 1 + г

 

dp

Замечание. Пусть, например, Р(dp) =           мера равномерного рас-

Ь — а

пределения на [а, Ь]. В этом случае условия (А*) и (А*) выполнены и, следовательно, верхние и нижние пены определяются формулами (24) и (29).

5. Проведенный выше "вероятностный" анализ верхних и нижних пен постулировал, что вся неопределенность в ценах акций подчиняется вероятностному описанию, что было воплощено в предположении, что р является случайной величиной с распределением вероятностей P(dp).

Но на р можно смотреть и просто как на некоторую "хаотическую" величину, принимающую значения в интервале [а,Ь]. В этом случае вместо классов Я* (Р) и Я» (Р) естественно ввести классы

Н* = {(/3)7): /3(1 + г) + 750(1 + р) > /(50(1 + р)), Vp Є [а, Ь]} #* = {(/?,7):/3(l+r) + 7So(l + pK/(So(l+p)), Vpe{a,b]},

в которых условие выполнения неравенств "Р-п.н." заменено на условие "при всех р Є [а, Ь]'! Понятно, что для каждой вероятностной меры Р

Я*СЯ*(Р), Я»СЯ,(Р).

Заметим, что даже при отсутствии исходной вероятностной меры, ничто не препятствует тому, чтобы ввести (пусть и искусственным образом) на [а, Ь] распределения вероятностей Р = P(dp) со свойством (ср. с (7))

ь

pP(dp)=r.

 

Класс таких мер & заведомо не пуст - к нему принадлежат рассмотренные выше мера Р*, сосредоточенная в двух точках а и Ь (см. (20)), и мера Р», сосредоточенная в одной точке г. По аналогии с (2) и (3) определим

С*=     inf_ (/3+7S0) (>С*(Р))

03,7)€я*

 

С, =    sup   (/3 + 7S0) (^С,(Р))-

(/3>7)ЄЯ,

Из приведенных выше рассмотрений (см. (8), (9) и (10)) находим, что для всякой вероятностной меры Р

С* =    inf ^ (/3 + 7S0) > sup E~pf{Sf + p))

(/3,7)ЄЯ*           ре§5     1 + г

> sup e^^::^ (зо)

PgS»

РЄЗ»(Р)

/($>(!+p))

C =    sup   (/3 + 7Sb)< inlE/(S°(1 + p))

03,7)єя»             рєз»      1 + r

< inf ^ІШШ. (зі)

РЄЗ»(Р)              l + r

1+г

Заметим теперь, что поскольку класс 9* включает и "двухточечную" меру Р*, и "одноточечную" меру Р»,введенные выше, то (ср. (21))

с /(50(1+р)) ^с   /(50(1 + р))    Л    , /а

р                             ^ Ер»                    =р -        hq          (32)

-   —    Р               1 + г       1+Г         1+Г         1 + Г

 

/(Sp(l + p))        /(S0(l + p)) fr

PЈ&>     1 + Г       1+Г         1 + Г

Рассмотренная в доказательстве теоремы 1 стратегия 7г* очевидно принадлежит классу Н*, и для нее (в предположении, что /р является выпуклой вниз функцией на [а, Ь])

 

(/?,7)єя«             1+Г         1 + Г

что вместе с (30) и (32) показывает (ср. с (23)), что

C*=supE~/S°(1+^, (34)

1 + Г

причем (ср. с (24))

 

1+г- 1+г

гда/р = /(50(1 + р)).

Аналогичным образом находим (ср. с (28) и (29)), что

/(50(1 + р))

С.=>^Ер" "v   '      , (36)

pe3s   v        1 + Г

причем § Id. Пример полного рынка — CRR-ыоделъ

1. Снова рассмотрим "одношаговую" модель (В, 3)-рывка., предполагая

Бі=В0(1 + г), 51=50(1 + р),

где р является случайной величиной, принимающей всего лишь два значения аиЬтакие, что

-1 < а < г < Ь. (2)

Этот простой (В, 5)-рьшок носит название одношаговой "СДД-модели" в честь Кокса, Росса и Рубинштейна, рассмотревших ее в [82].

Мы предполагаем, что исходное распределение Р случайной величины р таково, что

р = Р{Ь} > 0,     q = Р{а} > 0.

Тогда единственной (мартингальной) мерой, эквивалентной мере Р и удовлетворяющей свойству (7) из предыдущего параграфа, является мера Р* такая, что

Р*Щ=Р*,     P*W = <7*,

г-а        „ Ь-г

Р = т      ,    Я = z                , (3)

где (см. (20) в § 1с)

п* =

Ь — а

ичто(см. (11)и(12)в§1с)

 

С* = 737- • (37) 1+г

Тем самым, доказана следующая

Теорема 3. В случае "хаотической" величины, р Є [а,Ь], входящей в (1), для всякой выпуклой книзу функции f = f(So(l + р)), р Є [а, Ь], верхняя и нижняя цены С* и С* определяются формулами (34), (35) и (36), (37), соответственно.

Замечание. Сопоставление результатов теорем 1, 2 и 3 показывает, что если исходная вероятностная мера Р достаточно "размыта" имея массы в окрестностях точек а, г и Ь, то класс мартингальных мер 9*(Р) так же "богат", как и класс ^,ив неравенствах С, ^ С»(Р)иС*(Р) ^ С* достигаются равенства.

С.(РКЕр.-^-^С*(Р). (4)

1 + г

На самом же деле, в рассматриваемом случае для любого платежного поручения/ = /(5о(1+р))пеныС»(Р)иС*(Р) совпадают и, следовательно, их общее значение С(Р) определяется формулой

 

С(Р) = ЕР. Jf- = р* - А_ + Я* ГІГ ■ 1 + г        1 + г       1 + г

 

По-существу, все необходимое для доказательства равенства С* (Р) = С* (Р) уже содержится в предшествующих рассуждениях в § 1с.

Действительно, рассмотрим стратегию 7г* = (/3*, 7*), введенную выше, с параметрами

1 4- г

где        определены в (17) из § 1с.

В силу того, что и для р — а,п для р — Ь

/Г (1 + г) + 7*S0(1 + Р) - / (Sb(l + Р)),

мы видим, что здесь платежное поручение является достижимым, и, значит, тг* Є Я'(Р)ПЯ,(Р). Поэтому

 

С,(Р) =      sup     (р + jS0)           7*So

03,7)€Я.(р)

^      inf     (/3 + 7S0) = C*(P). (/9,7)ЄЯ*(р)

Вместе с неравенствами (4) это доказывает требуемое совпадение цен С* (Р) и С* (Р) и формулу (5) для их общего значения С(Р).

2. Еще раз отметим, что материал, изложенный в этом и предшествующем параграфах, выявляет следующие важные моменты, которым следуют и в более общих случаях при использовании мартингальных методов в финансовых расчетах, связанных с заданным платежным поручением:

(I) если класс мартингальных мер не пуст,

 

&(Р) ф 0, (6)

то тогда

с,(ркс*(р)

(в силу (12), § 1с); (II) если класс

ff*(P)n#,(P)^0, (7) т.е. платежное поручение достижимо, то

С«(Р)^С*(Р);

В следующем разделе будет показано, что непустота класса мартингальных мер £?(Р) самым непосредственным образом связана с отсутствием арбитражных возможностей.

Непустота же класса Н*(Р) ПЯ»(Р) (для любого платежного поручения /) оказывается связанной с вопросом единственности мартингаль-ной меры, т. е. с вопросом о том, когда множество_мер £?(Р) состоит всего лишь из одной (мартингальной) меры, скажем, Р, которая эквивалентна мере Р (Р ~ Р).

(III) при одновременном выполнении (6) и (7) нижние и верхние це-ны С* (Р) и С* (Р) совпадают.

отвечающий стратегии ж  - (/3,7) с предсказуемыми /3 = (/3„)„^о и

7=(71,...,7<1),У = (7;)п^о-

Если я- - самофинансируемая стратегия (ж Є SF), то (см. (12) в § 1а)

 

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010