В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1162432 человек которые просмотрели 20811968 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Рынок облигаций. Торговля и управление рисками

Автор: Кристина И. Рэй

Жанр: Технический анализ

Рейтинг:

Просмотров: 1311

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |




Глава 6 волатильность — измерение поведения рынка

 

Трейдеры используют традиционные показатели, такие, как доходность и дюрация, для определения теоретической стоимости и риска для конкретной ценной бумаги в отдельно взятый момент. В реальности же цены все время движутся — то медленно, то очень быстро. Трейдеры, особенно трейдеры по опционам и другим производным инструментам, используют волатильность (volatility) в качестве количественной меры прошлого или будущего рыночного поведения облигации.

Волатильность характеризует размах колебания цены или доходности. Историческая волатильность (historical volatility) характеризует размеры изменений на рынке на основе фактических цен или доходностей в определенный период в прошлом. Неявная волатильность (implied volatility) характеризует величину ожидаемых будущих изменений, получаемую на базе текущих рыночных цен опционов. Историческая волатильность является фактом. Неявная волатильность представляет собой прогноз. Трейдеры используют волатильность, наблюдавшуюся в недавнем прошлом, в качестве индикатора для самого ближайшего будущего. Они используют неявную волатильность как консенсусное представление рынка о будущем.

Трейдеры могут использовать волатильность для оценки вероятности заданных изменений цены или доходности на конкретную дату. Использование волатильности для оценки вероятностей всех возможных изменений на рынке позволяет трейдеру рассчитать свой риск. Опционные трейдеры используют волатильность для оценки опционов пут и колл. Можно сказать, что опционные трейдеры мыслят категориями волатильности, при том что другие трейдеры мыслят категориями доходности.

 

СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

 

В большинстве задач финансовой теории, связанных с неопределенностью изменений на рынке, предполагается, что цены изменяются совершенно случайно (не могут быть спрогнозированы). Классический пример, отражающий физический смысл случайного изменения, — это случайное блуждание (random walk). Такая аналогия хорошо иллюстрирует те предположения и параметры, которые необходимы для определения вероятности любого многодневного события, порождаемого последовательностью однодневных событий.

Предположим, что пьяница начинает путь от фонарного столба, делая из этой точки случайные шаги. Каково распределение вероятностей (вероятность для каждого из возможных исходов) возможных расстояний от столба до точки, где он может оказаться? Давайте пока не будем думать о математике, а сосредоточимся на физических аспектах проблемы. Во-первых, хорошо бы знать, существует ли какое-либо смещение в его движениях, т.е. делает ли он левой ногой больший шаг, чем правой. Затем нужно знать длину шагов пьяницы — не просто среднюю длину его шага, а то, как распределены разные длины его шагов. Он может делать маленькие и большие шаги, а может делать одинаковые. Наконец, нужно знать, сколько шагов он сделает. Длина и количество шагов пьяницы определяют, как далеко он сможет уйти от столба. Если его шаги не показывают никакого направленного смещения, то наилучшее предположение будет состоять в том, что он окажется у столба — там, откуда выходил, т.е. чистое изменение его позиции будет нулевым.

Чтобы просчитать вероятность заданного изменения цены облигации, трейдеру нужно оценить значения переменных, аналогичных параметрам задачи со случайным блужданием. Трейдер должен определить: 1) среднее (mean) значение изменения цены (усредненное изменение цены в единицу времени), которое равно нулю, если нет смещения по направлению; 2) стандартное отклонение (standard deviation (STD)), характеризующее разброс изменения цены, и 3) период, охваченный вычислениями и соответствующий количеству изменений цены.

 

ЧТО ТАКОЕ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

 

Волатильность, на языке опционных трейдеров, — это стандартное отклонение изменения цены или доходности какого-либо инструмента в годовом исчислении. На рынке, где нет направленных смещений, волатильность — самый важный показатель, используемый для прогнозирования вероятности заданного изменения цены или доходности.

Волатильность выражается обычно либо как абсолютное изменение цены или доходности определенного инструмента, либо как процентное изменение. Абсолютными для облигации являются изменения, размер которых не зависит от ее цены или доходности. Трейдер, использующий абсолютную волатильность цены, считает, что изменение цены на один пункт одинаково вероятно при ценах облигации, равных 50 и 100. Относительное же изменение выражает движение цены или доходности в процентах от первоначальных значений. Трейдер, использующий относительную волатильность цены, полагает, что изменение цены на один пункт, когда облигация торгуется по 100, равновероятно изменению на полпункта, когда облигация торгуется по 50.

 

Вычисление исторической волатильности

 

Мы можем оценить среднее и стандартное отклонение для некоторой выборки данных по ценам облигации, используя приведенные ниже формулы. Начнем с вычисления абсолютной волатильности цены, потому что эти формулы проще.

Пусть

Pt — цена облигации в момент времени t; Т — число измерений (наблюдений) цены;

X — изменение цены за период между наблюдениями; X — Pt-Pt-X; а — стандартное отклонение,

тогда

Заметим, что необходимо (Г+1) наблюдений цены, чтобы получить Т изменений цены1.

1 Если среднее известно (например, трейдер считает среднее равным нулю, что должно говорить об отсутствии чистого тренда), то при вычислении стандартного отклонения в знаменателе используется N вместо N- 1.

Итак, мы рассчитали среднее и стандартное отклонения абсолютного изменения цены, потому что величины Xt были введены именно как абсолютное изменение цены. Точно так же можно рассчитать стандартное отклонение изменения доходности, или стандартное отклонение относительного изменения цены, определяя X соответствующим образом.

25

20

20%

о4

 

 

15

17%/

V

ч17%

о о I h-ск о а а> со

 

 

10-

VI2%

 

7%

 

з%

0

і і

-6   -5   -4   -3   -2   -1    0     1     2     3     4     5 6

Изменение цены, пункты

Среднее - 0 пунктов

Стандартное отклонение = 2 пункта

Изменение цены соответствует середине столбика шириной в 1 пункт

 

РИС. 6-1. Гистограмма нормального распределения с нулевым средним и стандартным отклонением, равным 2

 

На рис. 6-І показаны два способа определения вероятностей для изменений цены со средним, равным нулю, и стандартным отклонением, равным 2. График, составленный из прямоугольников, показывает вероятности попадания изменения цены в столбик (bin) шириной в один пункт. (В каждый столбик включаются все наблюдаемые изменения цены из соответствующего диапазона.) Этот вид графика называется гистограммой, он показывает вероятности попадания изменения цены в дискретные ценовые диапазоны. Например, из гистограммы видно, что с вероятностью в 12% повышение цены составит от Н/2 до 21/2 пункта.

Кривая, изображенная на рисунке, — это функция плотности вероятностей нормального распределения, колоколообразный вид которой известен всем студентам. Кривая является непрерывным аналогом гистограммы, показывающим вероятности попадания изменений цен в диапазоны с бесконечно малыми длинами2.

 

2 Математически нормальное распределение определяется следующей функцией плотности:

/(Х)._^=е-и-и)2/^^ V2jto2

где о — стандартное отклонение; х — среднее.

Функцию плотности вероятности нормального распределения можно рассматривать как гистограмму с бесконечным числом очень узких прямоугольников. Случайная величина, плотность вероятности распределения которой имеет подобную колоколообразную форму, называется нормально распределенной.

Некоторые трейдеры и аналитики понимают слово "нормальный" в словосочетании "нормальное распределение" слишком буквально. В статистике термин "нормальный" не означает "наиболее часто встречающийся" или "естественный". В XVIII в. математик Кетле проанализировал рост группы солдат и обнаружил (после изображения данных на графике в виде гистограммы), что он нормально распределен. Он решил, что отклонения роста солдат от определенного значения можно объяснить ошибками природы при создании ею "среднего" человека. Конечно, вполне разумно считать некоторый параметр, участвующий в расчете, распределенным по нормальному закону, но нормальное распределение вовсе не закон природы. И тем не менее большинство трейдеров используют модели, в основе которых лежит предположение о нормальном распределении изменений цен или доходностей облигаций независимо от того, процентные или абсолютные изменения имеются в виду.

Распределение на рис. 6-1 имеет нулевое среднее. Таким образом, это распределение не имеет смещения вправо или влево, т.е. существует 50%-я вероятность повышения или понижения цен.

Трейдеры могут рассчитать вероятность того, что изменение цены окажется внутри определенного диапазона, с помощью непрерывного распределения. Кроме того, они могут с помощью гистограммы определить вероятность того, что определенное изменение цены не превзойдет некоторого уровня, кратного стандартному отклонению (STD).

 

Стандартное

 

 

отклонение

Вероятность, %

Диапазон, пункты

1 STD

68,27

От-2,0 до +2,0

2 STD

95,45

От-4,0 до +4,0

3 STD

99,73

От-6,0 до +6,0

Согласно гистограмме приближенная вероятность того, что изменение цены не превысит одного стандартного отклонения в обе стороны, равна 66% (6%+17%+20%+17%+6%=66%). Для нормального распределения с нулевым средним вероятности, связанные с каждым диапазоном стандартного отклонения, постоянны. Так, вероятность для цены остаться в интервале шириной по одному стандартному отклонению в обе стороны всегда равна 68,27%.

Стандартное отклонение просто задает масштаб вдоль оси X. Например, если одно стандартное отклонение эквивалентно ценовому изменению в 4 пункта, вероятность того, что цена изменится на 8 пунктов (два стандартных отклонения), будет равна 95%. Конечно, суммарная вероятность всех исходов должна быть равна 100%, поэтому вероятность изменения цены более чем на 8 пунктов равна 5%.

Трейдер может рассчитать историческую волатильность, используя любую частоту наблюдений. Например, он может измерять изменения цены каждые 5 мин или один раз в году. Трейдеру не нужно использовать изменение цен за год, чтобы посчитать вероятности за год. Он может использовать стандартное отклонение однодневного изменения цены, чтобы посчитать стандартное отклонение изменения цены за год. Для нормально распределенных данных стандартное отклонение прямо пропорционально квадратному корню из времени:

где а, — стандартное отклонение на временном отрезке длиной /.

Если мы знаем стандартное отклонение для 1-дневных изменений цены, то можем рассчитать его для 2-дневных изменений:

її

°2 дня - -Лу х а1 день - Ь 41 х 0{ день •

Так как большинство дилеров собирают данные о ценах по окончании каждого торгового дня, то обычно они рассчитывают волатильность на основе ценовых изменений за день. Поскольку волатильность — это стандартное отклонение в годовом исчислении, то трейдер должен умножить

1-дневное стандартное отклонение на 15,8 (15,8 = 4Ї50, где 250 — число торговых дней в году), чтобы получить годовой показатель.

Трейдер часто использует историческую волатильность недавнего прошлого для оценки волатильности в ближайшем будущем. Конечно, он должен выбрать количество дней Г, которое будет включено в расчет исторической волатильности. Обычно трейдеры оценивают историческую волатильность за последние 5—50 дней. Они выбирают определенные периоды, которые считают важными, в соответствии с тем, как собираются применять результаты своих вычислений.

Если трейдер решил оценить вероятности изменений цен для нескольких предстоящих дней, он должен делать свои расчеты на основе такого периода, для которого характерно поведение цен, аналогичное ожидаемому им в будущем. Трейдер не может просто предположить, что волатильность за предыдущие 50 дней — это хороший индикатор волатильности в последующие 50 дней. Например, рынок облигаций в последнее время м;ог находиться под влиянием таких экстраординарных событий, как крах фондового рынка 1987 г. или вторжение США в Кувейт в 1991 г. Или, наоборот, рынок мог быть слишком спокойным, потому что близился конец года и трейдеры были малоактивны, желая зафиксировать свои бонусы. Сторого говоря, трейдеру следует использовать волатильность, полученную на основе его же собственного прогноза. Однако он может также применить и историческую волатильность, чтобы сформировать представление о будущем.

 

Быстрый приближенный расчет волатильности

 

Буквально все трейдеры испытывают трудности, когда им нужно оценить стандартное отклонение изменения цен на следующий месяц. С другой стороны, трейдер может получить оценку на следующий месяц среднего смешения (вверх или вниз) цены долгосрочной облигации. Такая оценка не позволяет сделать вывод о направлении движения рынка облигаций, а лишь дает возможность судить о величине такого изменения.

Величина среднего изменения цены более формально называется средним абсолютным отклонением (mean absolute deviation (MAD)P. Для вычисления стандартного отклонения на основе параметра среднего абсолютного отклонения в случае нормального распределения изменений цены4 применяется формула

 

^ *р - 1,2533x0,

 

где р — среднее абсолютное отклонение.

Например, 1-месячное стандартное отклонение, вызванное средним (за месяц) движением цены в 2 пункта, будет равно 2,51 пункта.

3          Иногда трейдеры считают среднее не равным нулю, в первую очередь для более длинных сделок. Например, в расчетах может быть учтено, что 6-месячный вексель "спустится*1 по кривой доходности и будет торговаться через 3 месяца по сегодняшней ставке дохода 3-месячного векселя.

4          Математическое обоснование приведено в приложении В.

Чтобы получить результат за год, умножим 2,51 пункта на Vl2 и получим годовое стандартное отклонение, равное 8,68 пункта. Этот расчет позволяет преобразовать представление о величине среднего изменения цены в число, которое трейдер может уже ввести в компьютерную модель.

Единицы волатильности

 

Большинство трейдеров используют, несмотря на их недостатки, единицы относительной ценовой волатильности для измерения вариаций цен облигаций и облигационных фьючерсов и единицы абсолютной и относительной волатильности доходности в отношении векселей и других краткосрочных инструментов.

Относительная волатильность цены и относительная волатильность доходности обладают рядом ценных математических свойств. Например, не допускается возможность существования отрицательной цены или доходности. Тем не менее предпочтение, отдаваемое трейдерами описанию волатильности в терминах процентного изменения цены, можно отнести к пережиткам тех времен, когда торговали фондовыми опционами, и, следовательно, это скорее традиция, чем сознательный выбор. Фондовые опционы, как внебиржевые (ОТС), так и продаваемые на Чикагской опционной бирже (Chicago Board Options Exchange (СВОЕ)), активно торговались задолго до появления рынка опционов на ценные бумаги с фиксированным доходом. Измерение движения цен акций с помощью относительной ценовой волатильности обоснованно; изменение цен на акции, продаваемые по 100, примерно в 10 раз превышает изменение цен на акции, продаваемые по 10. Когда трейдерам требовались компьютерные модели для оценки опционов на ценные бумаги с фиксированным доходом, аналитики часто адаптировали для этой цели модели оценки опционов на акции, в которых по-прежнему предполагалось, что масштабы изменений цен зависят от их уровня.

РИС. 6-2. Логнормальное распределение

Трейдеры наиболее часто выражают волатильность цен облигаций в единицах годовой относительной волатильности цены. Например, это

стандартная единица волатильности для опционов на облигационные фьючерсы на СВТ. Такая единица волатильности неявно предполагает логнормальное распределение, которое представлено на рис. 6-2. Хотя логарифм ценовых изменений имеет симметричную, нормальную форму, изображенную на рис. 6-1, сами изменения цен имеют более высокую вероятность больших изменений вверх и меньшую вероятность больших изменений вниз, чем при нормальном распределении. Чтобы подсчитать историческое стандартное отклонение в таких стандартных единицах волатильности, нужно вычислить логарифм отношения цен для двух последовательных дней:

/ Р Х( = In -у- .

Для получения годовой относительной волатильности цены нужно выразить стандартное отклонение в единицах относительного изменения

цены и умножить результат на 15,8 (л/250).

 

Пример расчета исторической волатильности

В табл. 6-1 приводится сравнение расчетов абсолютной и относительной ценовой волатильности для ежедневных наблюдений при двух различных исходных ценах. (Этот раздел необязателен для тех, кто не интересуется расчетами сложных показателей волатильности.) В ценовом ряду 1 при-

1 -дневное стандартное

отклонение 1-дневное среднее Волатильность

 

1,0000 0,0000 15,8000

 

0,0101 0,0000 16,0000

 

0,0204 0,0000 32,2000

 

меняется стартовая цена 100, в ценовом ряду 2 — цена 50. В вычислениях использован один и тот же 10-дневный ряд изменений цены, который дан в столбце "Изменение р".

Для вычисления стандартного отклонения абсолютного изменения цен сами цены не нужны: используются только их вариации. Для расчета стандартного отклонения абсолютных изменений цены используется формула

х=р,-р,_1.

Совершенно не важно при этом, начинаются ли изменения цены от начальной цены в 50 или в 100.

При вычислении стандартного отклонения относительного изменения цены используется формула

 

X= (Pt/Pt_{).

Здесь уровень цен имеет значение, как показывают вычисления значения Х9 приведенные в табл. 6-1. Следовательно, для получения цен, необходимых при расчетах X, нам нужно рассчитать ряд цен 1 (начинающийся с цены 100) и ряд цен 2 (начинающийся с цены 50).

В то время как среднее значение изменения цены за день равно нулю, стандартные отклонения этого изменения для двух рядов отличаются.

Стандартное отклонение абсолютных 1-дневных изменений цены равно 1,0. Практический смысл этого показателя понятен: вероятность того, что 1-дневные изменения цены в любом направлении не превысят одного пункта, равна 68%. Абсолютная волатильность цены для ряда цен 1 равна 1-дневному стандартному отклонению, умноженному на 15,8, т,е. составляет 15,8 пункта.

При расчете стандартного отклонения относительного изменения цены нужно провести некоторые преобразования. Для ряда 1 стандартное отклонение логарифма отношения цен за два последовательных дня равно 0,0101, а относительная волатильность цены равна 16,0% (0,0101 х х 15,8 = 0,16).

Для ряда 2 относительная волатильность цены заметно отличается. Так как ряд 2 начинается с цены 50, то в нем относительные изменения цен превосходят аналогичные изменения в ряду 1. Для ряда 2 стандартное отклонение 1-дневного изменения цены составляет 0,0204, что выражается в относительной волатильности цены в 32,2% (0,0204 х 15,8 -= 0,322).

Из табл. 6-1 видно, что для одинаковых ценовых изменений расчеты относительной волатильности цены дают различные результаты в зависимости от уровня цен. Если трейдер считает, что величина изменения цены будет пропорциональна уровню цен (т.е. относительная волатильность цены останется постоянной при изменении уровня цен),- то для оценки вероятностей будущих изменений цены он может использовать расчеты исторической относительной волатильности цены. Если же величина изменений цен остается постоянной при меняющемся уровне цен (как в нашем примере из табл. 6-1), то вычисление относительной волатильности цены может, лишь дезориентировать. Если бы трейдер использовал, например, 32%-ю волатильность (рассчитанную по ценам, близким к 50) для оценки будущих изменений цен вокруг отметки 100, он существенно переоценил бы их величину. Поэтому важно использовать оценку волатильности, отражающую фактические изменения цен. Трейдер должен выбирать показатель волатильности в соответствии со своими представлениями о динамике рынка, так как должен решить, зависит ли величина очередного изменения котировок облигаций от тех цен, по которым они торгуются сегодня, или не зависит.

 

Волатильность доходности

 

Многие из опционных трейдеров отслеживают и абсолютную, и относительную волатильность доходности даже для облигаций. Мы проанализируем, как соотношение цена—доходность влияет на распределение вероятностей (при условии, что динамика цен случайна). Так как взаимосвязь цена—доходность асимметрична относительно изменений цены вверх и вниз, то цены и доходности не могут быть одновременно нормально распределенными. Например, увеличение цены на 6 пунктов для 30-летней облигации с 8%-м купоном и при 8%-й доходности приводит к уменьшению доходности по ней на 51 bp, тогда как уменьшение цены на 6 пунктов приводит к увеличению доходности того же выпуска на 56 bp. Если мы трансформируем нормальное распределение для цены в распределение для доходности, то последнее уже не будет ни нормальным, ни симметричным относительно нуля.

Трейдер должен обоснованно выбрать показатель измерения волатильности. Популярность относительной волатильности цен вовсе не делает ее действительно наилучшим показателем. Трейдер должен выбирать как можно более стабильную переменную, а именно такую, которая лучше всего описывает движение цены облигации. Если, к примеру, трейдер считает, что величина изменений доходности почти не меняется во времени, то он фактически признает, что вероятность существенного роста цены больше, чем вероятность ее существенного снижения. Аналогично, если он думает, что величина относительного изменения цены останется постоянной, он фактически подразумевает, что, чем выше исходная цена облигации, тем больше, скорее всего, будет из-менение цены.

Наконец, трейдер должен еще выбрать, какая именно модель движения цен наилучшим образом описывает ценовую динамику облигации. Опционные трейдеры Уолл-стрита используют самые разнообразные предположения относительно движения цен облигаций (например, нормальное распределение либо логнормальное), поэтому и существует так много видов волатильности.

 

Допущения волатильности

В табл. 6-2 показаны три варианта поведения цен. На рынке с трендом (trending market) изменение цен имеет ярко выраженное смещение. Рынок может быть также в целом спокойным, но со случайными скачками (jumps) цен. Иногда рыночные цены замыкаются в некотором торговом диапазоне (trading range), т.е. меняются незначительно, оставаясь внутри узких рамок и колеблясь между двумя крайними значениями. На рис. 6-3 эти три варианта поведения цен изображены в схематичном виде.

Математическое определение волатильности отличается от ее семантического определения. Рынок с трендом может показаться самым вола-тильным, так как цены на нем значительно меняются в одном направлении. Точно так же волатильным может показаться и рынок, цены на котором изменяются внутри некоторого диапазона, так как они движутся ежедневно и в обоих направлениях. В действительности же стандартное отклонение для рынка, цены которого изменяются внутри определенного диапазона, совпадает со стандартным отклонением для рынка со скачком, а стандартное отклонение для ряда цен, изменяющихся с определенным трендом, на самом деле равно нулю! Вспомним, что формула расчета стандартного отклонения включает поправку, связанную со средним изменением за день. После коррекции на величину среднего изме-

Волатильность непосредственно не отображается в финансовый результат. Даже если трейдер определенно знает, какова будет волатильность цены облигации в течение нескольких следующих дней, но ничего, кроме волатильности, не знает, он не сможет провести сделку, гарантирующую получение прибыли. Цены облигаций могут двигаться во времени по разным траекториям, но при этом с одинаковыми стандартными отклонениями. Рассмотрим, например, ценовые ряды, приведенные в табл. 6-2.

 

РИС. 6-3» Модели рынков с трендом, скачком и торговым диапазоном

 

нения за день по каждой паре членов ценового ряда рынок с трендом демонстрирует полное отсутствие волатильности. Трейдер поступил бы неправильно, если бы использовал нулевую волатильность для прогноза изменения цен на следующую неделю, если на прошлой неделе цены изменились на 10 пунктов.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010