В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1180285 человек которые просмотрели 20956535 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Рынок облигаций. Торговля и управление рисками

Автор: Кристина И. Рэй

Жанр: Технический анализ

Рейтинг:

Просмотров: 1320

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |




Глава 1 1 кривая доходности — прогноз будущих процентных ставок

 

На втором месте за "чистыми" длинными и короткими позициями по частоте использования в сделках у трейдеров стоит игра на изменении формы кривой доходности. Суть ее состоит в том, что трейдеры покупают ценные бумаги с одним сроком обращения и продают ценные бумаги с другим сроком. Игра на кривой доходности может иметь почти такие же результаты, как и обычная сделка. Несмотря на то что Казначейство сохраняет предложение новых выпусков на относительно постоянном уровне, форма кривой доходности может изменяться весьма значительно. Как отмечалось в гл. 5, кривая доходности обычно имеет положительный наклон — с превышением доходности долгосрочных бумаг над доходностями краткосрочных. Иногда же эта кривая становится "плоской", когда ставки дохода на все бумаги одинаковы, или даже перевернутой, или инверсной (inverse), когда доходность долгосрочных бумаг ниже доходности краткосрочных Может показаться, что форму кривой доходности для казначейских ценных бумаг в большей мере определяет спрос, чем предложение. Одним из факторов, определяющих спрос инвесторов на бумаги с различными сроками обращения, является прогноз будущих процентных ставок.

 

ВЛИЯНИЕ ПРОГНОЗА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК НА ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ

 

Предположим, что инвестор может разместить свои средства в казначейские обязательства сроком на 30 лет, причем ставка "овернайт" составляет 6%, а доходность длинной облигации — 8%. Какую из бумаг — со сроком обращения в один день или 30 лет — следует купить сегодня инвестору?

На первый взгляд кажется, что инвестору определенно следует покупать 30-летний выпуск, поскольку его доходность на 2% выше ставки 1-дневного выпуска. Но что случится, если завтра доходности всех бумаг

 

6-месячная инвестиция

6-месячная инвестиция

->+

г = 6-месячная ставка сегодня

г = 6-месячная ставка через 6 месяцев

 

ИЛИ

Годовая инвестиция

 

г = годовая ставка сегодня

 

Время

 

РИС. 11-1. Временная шкала для двух вариантов инвестиций

 

возрастут на 1%? Если инвестор купил 1-дневную бумагу, завтра он может разместить весь свой первоначальный капитал на 30 лет (минус один день) с доходностью, на 1% превышающей ставку предыдущего дня. Другими словами, он обменял потерю доходности в 2% за один день на выигрыш доходности в 1% на протяжении 30 лет.

Таким образом, инвесторам не следует автоматически покупать бумаги со сроком погашения, которому соответствует наибольшая доходность (впрочем, они так и не поступают). Выбор инвестором стратегии зависит от его прогноза процентных ставок, а успешное использование им этой стратегии определяется тем, насколько точен его прогноз.

 

Форвардная отдача — продвижение вперед на основе прогноза

 

Инвесторы могут с помощью расчетов определить наилучшее для данного прогноза направление инвестиций. Предположим, что инвестор имеет капитал, который он может инвестировать на год в один из двух выпусков: в 6-месячный выпуск с доходностью 9,54% и в годовой выпуск с доходностью 9,92%'.

Как показано на рис. 11-1, чтобы инвестировать средства на год, инвестор может купить либо годовой выпуск сегодня, либо сегодня 6-месяч-

 

1 Если не оговорено другое, предполагается, что все доходности приведены в облигационном эквиваленте, что подразумевает полугодовое начисление процентов на проценты.

ный выпуск и спустя 6 месяцев — другой 6-месячный выпуск по ставке, которая установится в будущем.

Главной целью любого инвестора является получение как можно более высокого дохода. На жаргоне аналитика, инвестор желает максимизировать форвардную стоимость (forward value) инвестированных им средств, рассчитанную на конец срока инвестирования. Следовательно, лучшей из двух стратегий инвестирования является та, которая позволит получить большую будущую стоимость.

Для сравнения будущих стоимостей двух стратегий инвестирования рассчитаем сначала будущую стоимость годовой инвестиции — ее срок совпадает с периодом владения выпуском инвестором. Если инвестор покупает годовой выпуск, то будущая стоимость его капитала известна2 — его доход к концу года не зависит от будущего поведения цен. Для вычисления будущей стоимости годовой инвестиции мы используем стандартную формулу будущей стоимости (с полугодовым начислением процентов на проценты, поскольку именно это предполагают использованные нами доходности), в соответствии с которой каждый инвестированный сегодня доллар возрастает до 1,10 долл.:

 

FV() = (1 + 0,0992/2) х(1 + 0,0992/2) = 1,1017.

Затем сравним будущую стоимость годовой инвестиции с будущей стоимостью двух последовательных 6-месячных инвестиций. Инвестирование в 6-месячные выпуски является более рискованной стратегией, потому что инвестор не знает, какими через 6 месяцев будут 6-месячные процентные ставки. Сначала предположим, что, по мнению инвестора, будущие 6-месячные ставки будут такими же, как и сегодня. В таком случае каждый доллар, который он инвестирует сегодня, возрастет до 1,099 долл.:

 

FV() = (1 + 0,0954/2) х(1 + 0,0954/2) = 1,0977.

2 Исходя из того что в случае с купонной ценной бумагой купонные платежи будут ре инвестироваться по ставке доходности к погашению.

Если инвестор считает, что 6-месячные ставки останутся неизменными, то ему следует покупать годовую ценную бумагу, потому что будущая стоимость (1,1017) инвестиции в годовой выпуск выше, чем будущая стоимость (1,0977) двух последовательных инвестиций в 6-месячные выпуски. Но что, если инвестор ожидает повышения процентных ставок? Если он считает, что 6-месячные процентные ставки через 6 месяцев поднимутся до 11%, т.е. будут намного выше, чем сегодня, тогда будущая стоимость 1 долл., инвестированного в два последовательно купленных 6-месячных выпуска, составит 1,1053 долл.:

FV{) - (1 + 0,0954/2) х(1 + 0,1100/2) - 1,1053.

 

В этом случае для инвестора лучше купить 6-месячный выпуск сегодня и реинвестировать полученные средства по прогнозной ставке в 1 % через 6 месяцев (так как будущая стоимость выше). Таким образом, если инвестор считает, что процентные ставки сильно повысятся, ему лучше приобрести краткосрочный выпуск, оставив себе достаточно ликвидную позицию, чтобы получить выгоду от повышения ставок в будущем.

 

Неявная форвардная ставка — движение назад на основе рыночной доходности

 

Выбирая наилучший срок инвестирования, инвестор может для принятия решения либо использовать прямой прогноз, либо определить значение будущей процентной ставки, при котором все сроки являются одинаково прибыльными.

Не многие трейдеры и инвесторы могут точно прогнозировать конкретную ставку. Более точно они могут судить о том, превзойдут ли процентные ставки некоторый заданный уровень. Ставка, при которой два инвестиционных решения являются одинаково прибыльными, называется неявной форвардной ставкой (implied forward rate), потому что данный прогноз скрыт во временно'й структуре процента (доходности как функции срока до погашения). А именно при данном уровне форвардной ставки инвестору при выборе выпуска безразличен срок его погашения.

Приняв в предыдущем примере будущую стоимость годовой инвестиции равной будущей стоимости 6-месячной инвестиции, мы можем рассчитать неявную 6-месячную форвардную ставку:

Пусть

г — 6-месячная ставка через 6 месяцев, тогда

(1 + 0,0992/2) х (1 + 0,0992/2) = (1 + 0,0954/2) х (1 + г/2).

Отсюда можно получить неявную форвардную ставку г:

г = 0,1030 = 10,30%.

Если инвестор ожидает, что через 6 месяцев 6-месячные ставки будут выше 10,30%, ему следует покупать сегодня 6-месячный выпуск. Если же он ожидает, что через 6 месяцев 6-месячные ставки будут ниже 10,30%, ему следует покупать сегодня годовой выпуск.

ТЕОРИЯ ОЖИДАНИЙ

 

Теория ожиданий (expectations theory) утверждает, что инвестор выбирает сектор кривой доходности исключительно в соответствии со своими ожиданиями относительно будущей доходности. Теория ожиданий предполагает: 1) единственной целью инвестора является максимизация будущих номинальных доходов и 2) инвестор использует любую позицию, которая максимизирует, согласно его прогнозу, будущие доходы. Другими словами, теория ожиданий исходит из того, что единственной причиной предпочтения инвестором одного срока обращения ценной бумаги другому является ожидание получения благодаря этому выбору большей прибыли.

Поскольку доходностью на рынке управляют спрос и предложение, теория ожиданий предполагает, что форма кривой доходности отражает прогнозы доходности всех участников рынка облигаций. Если ставки 6-месячного и годового векселей равны соответственно 9,54 и 9,92%, то неявная форвардная ставка в 10*30%, по теории ожиданий, является кон-сенсусным рыночным прогнозом.

В теории ожиданий подразумевается, что инвесторы делают прогнозы на период от текущего момента до даты погашения самой долгосрочной облигации и действуют в соответствии с этими прогнозами. Например, считается, что разница в доходностях между "старой" облигацией (со сроком до погашения 293Д года) и длинной облигацией (со сроком до погашения 30 лет), по теории ожиданий, отражает прогноз инвестора о 3-месячных ставках через 293Д года.

Теория ожиданий дает уравнения, с помощью которых можно рассчитать неявные форвардные ставки для выпуска с любым сроком до погашения и на любую будущую дату. Использование таких уравнений ограничено лишь объемом имеющейся рыночной информации. Поскольку срок действия самого долгосрочного казначейского выпуска 30 лет, сумма сроков, соответствующих форвардной ставке процента и периоду до будущей даты, когда капитал может быть реинвестирован, не может превышать 30 лет. Например, мы можем рассчитать доходности 10-летних казначейских выпусков самое большее на 20 лет вперед или доходности 6-месячных выпусков самое большее на 29L/2 года вперед.

С помощью уравнения расчета для неявной форвардной ставки можно найти только одну форвардную ставку на любую будущую дату. Можно получить последовательность форвардных ставок, повторяя этот процесс вычисления при продвижении вперед во времени. Например, мы можем найти 6-месячную ставку через 6 месяцев, а затем использовать текущую 6-месячную ставку, 6-месячную ставку через 6 месяцев и іУз-летнюю доходность3, чтобы рассчитать 6-месячную ставку через год.

Пусть

6-месячная ставка сегодня   = 9,54%,

6-месячная ставка через 6 месяцев — 10,30%, іу2-летняя доходность сегодня = 10,25%, г — 6-месячная ставка через год.

Сначала рассчитаем будущую стоимость ll/2-№T№ инвестиции, разной будущей стоимости трех последовательных 6-месячных инвестиции:

(1 + 0,1025/2) х (1 + 0,1025/2) х (1 + 0,1025/2) = = (1 + 0,0954/2) х (1 + 0,1030/2) х (1 + г/2).

 

Отсюда находим г.

 

/■«=0,1091 = 10,91%

Таким образом, через год 6-месячная ставка, спрогнозированная на основе кривой доходности, составит 10,91%.

•я Напомним, что ставка процента и доходность не одно и то же. Ставка — это заданный годовой процент, в то время как доходность — расчетный показатель. Ставка, умноженная на номинальную стоимость выпуска, используется для расчеіа простого проценті, обычно для краткосрочных инвестиций. Доходность является ставкой реинвестирования (reinvestment rate), обеспечивающей равенство приведенной стоимости всех купонных платежей и основной суммы (при полугодовом начислении процентов на проценты) с текущей рыночной ценой. Однако доходности могут использоваться как ставки в формулах, и которых подразумевается полугодовое начисление процентов.

203ак 13471

Пока мы нашли три последовательные 6-месячные ставки: 9,54; 10,30 и 10,91%. Мы могли бы продолжать и дальше, пока не определили бы прогнозы для 60 ставок (необходимое количество ставок для 30 лет с двумя периодами в году). Такая последовательность дала бы нам одну реальную ставку (текущую) и 59 прогнозных. График неявной форвардной ставки для данного срока до погашения как функции форвардного срока называется кривой ставок спот (spot rate curve). В то время как кривая доходности дает графическое представление доходности выпуском как функции их срока, оставшегося до погашения, кривая ставок спот отражает форвардную доходность выпуска с фиксированным сроком до погашения как функцию времени. Так, прогнозы для 60 ставок 6-месячного выпуска могли бы определить для нас кривую 6-месячных ставок спот Если бы мы располагали выпусками, погашаемыми каждый день, то теоретически могли бы рассчитать прогноз для неявных форвардных ставок, на 30 лет. На практике, однако, большинство трейдеров используют 3-месячные или 6-месячные ставки спот.

Вычисление неявных форвардных ставок

 

Мы показали на примере расчет неявных форвардных ставок. Теперь выведем уравнение, с помощью которого можно получить любую неявную форвардную ставку.

Во-первых, нам нужна формула для вычисления будущей стоимости инвестиции для разных будущих ставок реинвестирования. Мы знаем, что будущая стоимость 1 долл. при единой ставке реинвестирования равна:

 

FV{) = (1 + г/л)"*

 

где

г           — ставка реинвестирования (в десятичной форме),

t           — срок (в годах),

п          — количество реинвестиционных периодов в году.

В приведенной формуле основная сумма и процент реинвестируются каждый раз с постоянной ставкой г. Можно обобщить эту формулу и получить будущую стоимость для множества будущих ставок, по-прежнему предполагая, что все будущие инвестиционные периоды одинаковой длины года4):

Пусть

г,- — ставка для периода /, тогда

mi) =

і +

 

п

х

г2

1 + — П

 

X

 

X

1 +

tun

п

 

Эту формулу можно представить как произведение5:

FV() = П

1=1

1

П

Значения ff могут с течением времени изменяться. Обозначим ставку реинвестирования с заданным сроком до погашения в будущий момент времени:

4 Например, л = 2 при полугодовом начислении процентов и инвестиционных периодах, равных '/2 года-

произведение всех п значений X.

 

Гц — ставка для срока до погашения / на момент у.

Например,

 

гх 00 — текущая годовая ставка. /•о.5д5 = 6-месячная ставка через 6 месяцев.

 

Мы могли бы использовать доходности двух различных казначейских выпусков со сроками до погашения, tx и t2 в качестве ставок на интервалах от текущего момента до моментов t} и t2 соответственно:

/> о — ставка от текущего момента до момента tb rt q — ставка от текущего момента до момента гъ

 

где t2 > tv

Зная ставки от текущего момента до момента t и от текущего момента до момента t2, можно определить ставку на интервале от момента t до момента t2 (как показано на рис. 11-2), приравнивая будущие стоимости двух альтернативных инвестиций на момент t2,

 

срок до погашения, форвардный срок

 

f = О    f = f,     t = t2

Время

 

РИС. 11 -2. Обозначения для вычисления неявной форвардной ставки

Расхождение между двумя выпусками появляется в момент ч и остается в силе в течение периода /2 ~" h- Поэтому необходимо решить уравнение относительно неявной форвардной ставки rtl

Первым возможным направлением инвестирования является вложение в краткосрочный выпуск по известной ставке с последующим реинвестированием поступлений по неявной форвардной ставке. Будущая стоимость инвестиции по ставке г, 0, от момента tj с последующим реинвестированием поступлений по ставке rtj     , до момента t2 равна:

'Iх'7 /

ті) = П

t=

і +

 

п

* п

1 +

Ъ-tiJi

п

 

+

г/ьО

tt-xn

 

1 +

п

п

Вторым возможным направлением инвестирования является вложение по ставке для более длительного срока до погашения. Будущая стоимость инвестиции по ставке воздействующей в течение времени /2, рав-

на:

FV() = П /=1

1 +

 

П

 

1 +

Ъ,0

п

Будущая стоимость первой альтернативы должна равняться будущей стоимости второй. Прираиняв будущие стоимости двух возможных инвестиций и решив полученное уравнение относительно rt2-w мы получим неявную форвардную ставку:

 

Уравнения вовсе не предполагают, что будущие стоимости двух инвестиций должны совпадать в любой момент в будущем; они равны только в самом конце. В действительности, если краткосрочная ставка не равна долгосрочной, будущие денежные потоки до последнего момента не будут соответствовать друг другу.

Кроме того, формула для будущей стоимости выполняется для любой периодичности начисления процентов, что делает эту формулу пригодной для всех видов расчетов форвардной ставки. Уравнение неявной форвардной ставки, например, можно использовать для расчета неявных форвардных ставок репо. Если мы хотим применить эту формулу для расчета завтрашней неявной форвардной ставки "овернайт" на основе сегодняшней ставки "овернайт" и 2-дневных ставок, нам следовало бы исходить из ежедневного реинвестирования, поскольку проценты по репо выплачиваются в конце срока каждого репо.

 

Некоторые правила, касающиеся неявных форвардных ставок

 

Из уравнений расчета неявной форвардной ставки вытекают некоторые простые правила для уровня форвардных ставок, получаемых на основе текущей кривой доходности.

 

ПРАВИЛО 1. Если ставки краткосрочного и долгосрочного выпусков совпадают, то такой же будет и неявная форвардная ставка в период между датами их погашения.

 

Например, если доходности 2- и 4-летней нот одинаковы, то такой же будет и неявная форвардная доходность 2-летней ноты через два года.

Для доказательства этого правила в уравнении расчета неявной форвардной ставки ставку долгосрочного вьдауска приравняем к ставке краткосрочного выпуска, т.е.

 

После этой подстановки получим

 

Подобным же образом можно доказать

 

ПРАВИЛО 2. Если ставка краткосрочного выпуска ниже ставки долгосрочного выпуска, то неявная форвардная ставка в период между датами их погашения выше ставки долгосрочного выпуска

 

и

ПРАВИЛО 3. Если ставка краткосрочного выпуска выше ставки долгосрочного выпуска, то неявная форвардная ставка в период между датами их погашения ниже ставки долгосрочного выпуска.

Зі и" три правила означают;

горизонтальная кривая доходности говорит о неизменности ставок в будущем,

кривая доходности с положительным наклоном говорит о повышении ставок в будущем,

"инверсная" кривая доходности говорит о снижении ставок в будущем.

 

Неявные форвардные доходности (пример)

 

Мы можем использовать доходности казначейских выпусков на протяжении их срока до погашения в качестве ставок процента в расчетах неявной форвардной ставки только при условии полугодового начисления процентов на проценты.

Если

п = 2 (полугодовое начисление процентов),

то

Подпись:
где

Ymt — доходность выпуска со сроком до погашения т на будущий момент /.

Затем мы можем использовать полученные значения неявных форвардных ставок в качестве неявных форвардных доходностей. Например, если мы знаем доходность годового векселя и доходность 3-летней ноты, мы можем рассчитать неявную форвардную доходность для 2-летней ноты через один год:

Пусть

п

h

h

 

ГП~ '1-4

2,

1 год, 3 года.

7, о — доходность годового выпуска сегодня, Уг о — доходность 3-летнего выпуска сегодня, 72, — доходность 2-летнего выпуска через 1 год.

Тогда

 

^2,1 я ^3-1,1

(і + Ухо / 2) (1 + Уио I 2)

(3-1)

 

-1

 

Если, например, мы рассчитаем неявную форвардную доходность

летней ноты через один год исходя из исторических средних доходностей для годового и 3-летнего выпусков, для которых:

YUQ = 9,94% - 0,0994, Г30 = 10,38% = 0,1038,

то получим

Y2ii = 0,1060 = 10,60%.

Средняя историческая неявная форвардная доходность 2-летней ноты через год составит 10,60%. Это значит, что инвестор получит в конце

летнего периода одну и ту же сумму денег независимо от того, покупает ли он годовой вексель по ставке 9,94% и реинвестирует поступления в 2-летнюю ноту по ставке 10,60%, или он покупает сегодня 3-летнюю ноту по ставке 10,38%.

 

Расчет кривой неявных форвардных ставок доходности

 

Аналитик может вычислить неявную форвардную ставку на заданную будущую дату для одного срока погашения, но может рассчитать и неявные форвардные ставки на ту же самую будущую дату для всех сроков погашения. Во втором случае аналитик получает кривую неявных форвардных доходностей (implied forward yield curve).

Наиболее простым способом расчета доходности всех выпусков на какую-либо будущую дату является расчет кривой доходности на эту будущую дату с использованием сегодняшней кривой ставок спот. Мы вновь выведем общую формулу с условием равенства будущих стоимостей двух альтернативных вложений: 1) инвестиции в выпуск по его доходности к погашению, и 2) ряд последовательных инвестиций по ставкам спот. Инвестиции могут быть произведены в любой будущий момент: 1 долл., инвестированный в момент по ставкам спот, к моменту t2 возрастает до:

1—     j + r/n,i/n

п

FVhJ2 (1) = П

где

 

FVtl,2 — будущая стоимость в момент t2 единичной инвестиции, сделанной в момент tu п      — количество периодов реинвестирования в году, ґ/п,і/п — ставка спот в момент і/п со сроком до погашения 1/л, ц      — момент осуществления инвестиции (в годах), t2      — момент, на который рассчитывается FV(b годах).

Аналогично будущая стоимость 1 долл., инвестированного в момент /, в выпуск со сроком до погашения t2 — tv равна

hxn-l {        у

^,.,20)=.П 1+-*2UL

 

=   1 +

П

где Ymt — доходность выпуска в момент t со сроком до погашения т.

Приравняв будущие стоимости двух возможных инвестиций и решив полученное уравнение относительно Yn-tuiv<> мы получаем:

            і

Y, ft « п х

'2 -'ИМ

п

 

П

-1

 

 

Чтобы найти доходность выпуска в момент t со сроком до погашения т, положим

 

Переписав приведенное уравнение относительно * и ту а также полагая л = 2, получим формулу для неявных форвардных доходностей, выраженных через 6-месячные ставки спот.

 

Построение кривой неявных форвардных ставок доходности на основе 6-месячных ставок спот

 

 

Ym,t - 2 х .

 

П ^JIf1

Utxl     L )

1

/их 2 -1

 

 

В частном случае сегодняшней доходности (Г =* 0) для выпуска со сроком до погашения т это уравнение упрощается до формулы обычной кривой доходности, построенной на основе ставок спот.

Построение кривой доходности на основе ставок спот

 

Ут,0 " 2 X

1Г('М

і

ту 2

-1

 

 

Эти два уравнения позволяют рассчитать доходность к погашению для выпуска со сроком до погашения т в момент / при условии, чго начисление процентов производится дважды в год.

 

Тождественность вариантов инвестиций во времени: пример денежных потоков

 

В следующем примере на базе последовательности четырех 6-месячных ставок спот мы подсчитаем доходность 2-летней ноты и покажем, что будущая стоимость денежных средств, реинвестируемых каждые 6 месяцев по одной и той же ставке в течение 2 лет, равна будущей стоимости той же суммы, инвестированной сразу на два года. В уравнении сегодняшней ставки дохода выпуска, рассчитанной на основе ставок спот, мы сначала используем ставки спот для вычисления доходности 2-летней ноты:

Пусть

т      =2 (2-летняя нота),

t       = О (сегодняшняя ставка дохода),

год о  ~ 6,0% (первая 6-месячная ставка спот),

гід о.5 = 790% (вторая 6-месячная ставка спот),

ri.5, i.o ~ 8,0% (третья 6-месячная ставка спот),

г2д 1.5 — 9,0% (четвертая 6-месячная ставка спот).

Тогда

 

*2-yr.today ~ *2,0 ~

= 2 X

1 +

0,06

, 0,071

1 +

0,08

1 +

0,09

- 1

 

= 0,075 - 7,50%.

 

Данные ставки спот соответствуют сегодняшней доходности 2-летней ноты, равной 7,5%. Далее мы рассмотрим денежные потоки для двух возможных видов инвестиций:

вложение в объеме стоимости 2-летней ноты, производимое посредством четырех последовательных 6-месячных инвестиций по ставкам спот;

покупка 2-летней ноты и инвестирование всех купонных платежей по доходности к погашению.

В табл. 11-1 сравниваются денежные потоки в соответствии с предположением, что купон 2-летней ноты составляет 7,5%, что равно рассчитанной доходности. Поскольку цена этого выпуска равна номиналу, мы должны сравнивать будущую стоимость ноты с будущей стоимостью инвестиции в объеме 100 по ставкам спот.

В конце первого периода покупатель ноты получает только купонный доход (7*5/2 = 3,75), в то время как инвестирующий по ставкам спот возвращает себе основную сумму в 100 единиц плюс проценты за 6 месяцев от вложения по первой ставке спот в 6,0% — всего 103 [(100) х (1 + °>06/2) = 103,00].

В конце второго периода покупатель ноты получает еще один купонный доход в 3,75 плюс проценты на предьідущий купонный платеж по ставке, равной доходности к погашению. Всего он получит 7,64 [3,75+ + (3,75) х (1 +°°75/2) = 7,64], Между тем инвестирующий по ставкам спот реинвестировал свои 103,00 по новой ставке спот в 7%, что увеличило его капитал к концу второго периода до 106,61 [103,00 (1 + °>07/2) = 106,61].

К концу четвертого периода (когда погашается 2-летняя нота) покупатель ноты получает основную сумму ноты в 100, ив результате будущая стоимость его инвестиций возрастает до 115,86, что совпадает с будущей стоимостью вложений для инвестирующего по ставкам спот. Отметим, что денежные потоки по обеим инвестициям до конца четвертого периода не совпадают. Если цена наличного выпуска остается равной номиналу, то стоимость инвестиции при вложении в 2-летнюю ноту до последней даты превышает стоимость вложений по ставкам спот.

Такое сравнение может ввести в заблуждение — покупатель ноты может получить "бумажную" (нереализованную) прибыль или убыток в течение срока до погашения. Не следует ожидать, что доходность ноты с течением времени не будет изменяться: если нотой продолжают торговать по доходности, рассчитанной на основе ставок спот, то эта доходность с течением времени должна меняться.

Мы можем использовать формулу расчета форвардной доходности, чтобы определить, какой будет доходность выпуска через 6 месяцев — в конце первого периода. В этот момент до погашения ноты останется только полтора года. Чтобы рассчитать неявную форвардную доходность этой ноты на основе остальных ставок спот, возьмем

t =0,5, т = 1,5.

Тогда

 

^11/2-Уі% 6 мес. до ~ *1.5, 0.5 ~

 

2 х

, 0,071

 

1 +

0,08

1 +

0,09

 

~ 1

 

= 0,0800 - 8,00%.

 

Если ставки спот остаются без изменения, а нота по-прежнему торгуется по доходности, соответствующей ставкам спот, значит, ноту должны были бы продавать в конце первого периода по доходности 8,0% (что соответствует цене 99,30).

Теперь мы можем определить прибыль, с которой ликвидируется каждая инвестиция в конце первого периода. Владелец ноты может продать ее за 99,30, получив убыток в размере 0,70 пункта (100,00 — 99,30 = = 0,70). В результате вычитания этого убытка из процентного дохода в 3,75 прибыль держателя ноты по прошествии первых 6 месяцев после инвестирования составит 3,05 пункта (3,75 - 0,70 = 3,05). Использующий ставки спот инвестор, позиция которого автоматически ликвидируется в конце каждого периода, зарабатывает разницу между объемом инвестиции в 100 и суммой в 103, полученной им после первых 6 месяцев. Он получает прибыль в размере 3,00 пунктов (103,00 - 100,00 = 3,00), которая примерно равна прибыли владельца ноты.

Точно так же доходность 1-летней ноты в конце второго периода составляет 8,50%. Цена 1-летней ноты при доходности в 8,50% равна 99,06. На этот момент держатель ноты получает прибыль 6,70 пункта (99,06 — 100,00 + 7,64 — 6,70), что несколько превышает прибыль при инвестировании по ставкам спот — 6,61 пункта (106,61 — 100,00 = 6,61).

Таким образом, хотя денежные потоки по двум возможным ^направлениям инвестирования различны, соответствующие им размеры прибыли, рассчитанные с учетом рыночной переоценки, отличаются незначительно. Все различия связаны с тем, что купонные доходы реинвестируются по ставкам спот, а не по доходности к погашению. Поэтому инвестиции в бескупонные выпуски, исключающие любую неопределенность, связанную с реинвестированием (нет купонов, которые нужно реинвестировать), с учетом переоценки дают равные прибыли как для единой инвестиции на весь срок, так и для инвестиций по ставкам спот в каждый период времени. Это показано в табл. 11-2.

Цена 2-летнего выпуска с нулевым купоном при 2-летней доходности 7,50% равна 86,31. Поэтому в табл. 11-2 сравниваются две суммы прибыли (с учетом переоценки): от инвестиции в бескупонный 2-летний выпуск и от инвестиции по ставкам спот в объеме 86,31. В последней колонке таблицы показаны цены бескупонной ноты с соответствующим сроком до погашения при неявных форвардных доходностях 7,5; 8,0; 8,5 и 9,0%, которые рассчитываются на основе ставок спот. Поскольку "зеро" не имеют купонов, вся прибыль складывается за счет изменений их цены. Поэтому прибыль в конце каждого периода по каждой альтернативе инвестирования одна и та же.

 

Расчет "справедливой" рыночной доходности

 

В гл. 5 было продемонстрировано, что две купонные облигации или ноты с одинаковой доходностью к погашению могут иметь совершенно разные приведенные (или будущие) стоимости в случае, если их купоны и основная сумма реинвестируются не по единой доходности к погашению, а по различным ставкам спот. Различие в стоимостях связано с тем, что расчет доходности к погашению предполагает использование единой ставки реинвестирования. Такое нереалистичное представление о будущем может привести к тому, что стоимость облигации окажется ниже или выше цены, рассчитанной по доходности к погашению. Поэтому многие опытные участники рынка при определении стоимости не используют доходность к погашению.

Выпуск, приведенная стоимость которого, рассчитанная по ставкам спот, выше приведенной стоимости, рассчитанной по его доходности, может иметь стоимость, скрытую вычислением доходности к погашению. Трейдеры, которые распознают эту скрытую стоимость, платят за этот выпуск больше, что приводит к снижению его доходности. Эта новая доходность, которая создает впечатление о дороговизне выпуска по сравнению с иными ценными бумагами с тем же сроком до погашения, но с другими купонами, просто приводит этот выпуск в соответствие с другими. Поскольку формула доходности не является адекватной мерой стоимости, ценные бумаги с очень большой или очень малой купонной ставкой обычно торгуются с доходностями, отличными от доходности выпусков с купонами, близкими к рыночным ставкам процента. Это особенно заметно, когда кривая доходности либо очень крутая, либо инверсная.

Можно вычислить доходность, по которой выпуск должен будет торговаться, определив с помощью ставок спот его теоретическую цену, а затем рассчитав доходность к погашению, соответствующую этой цене.

Мы можем вывести формулу расчета стоимости купонной ценной бумаги для различных ставок реинвестирования, видоизменив стандартную формулу взаимосвязи цены и доходности.

Вспомним, что при вычислении стоимости ценной бумаги по стандартной формуле цена—доходность используется только доходность к погашению:

-   p=j     С/2_ F         

й(1 + У/2)'     (1 + У/2)*'

где Р — цена, С — купон,

N — количество купонных платежей (число лет до погашения/2), F — номинальная стоимость (100 — для казначейских ценных бумаг).

Каждый из знаменателей этой формулы — это рассчитанная по постоянной б-меся^їщш ставке приведенная стоимость выплаты единичной суммы в момент купонного платежа или погашения основного долга. Если мы вместо этого используем множество ставок реинвестирования, получим формулу для теоретической цены облигации для разных ставок реинвестирования.

N

I

/-1

Цена облигации для различных ставок реинвестирования

С/2 100

р-1-

П(1 + 0/2)   П(1 + 0/2

7-1 7-1

 

 

По этой формуле можно рассчитать теоретическую цену бескупоннб^ облигации. Если С — 0, формула упрощается и получается цена бескупонной облигации для различных ставок реинвестирования.

Подпись:  Как и ранее, предположим, что первые четыре 6-месячные ставки спот равны:

г0.5. О ^ 070 Г0А 0.5 = 7% Ъ.5. 1.0 = 8% 'ОД 1.5 = 9%

Используя формулу неявной форвардной доходности для вычисления по этим ставкам спот сегодняшней доходности 2-летней ноты, мы ранее получили результат 7,50%. Можно рассчитать теоретическую цену 2-летней бескупонной бумаги двумя способами. Первый способ состоит в вычислении теоретической цены 2-летней бескупонной бумаги для различных ставок спот:

 

С-0%

100

х   1 +

х   1 +

1 +

Л   0,0б   Л   0,07   Л 0,08

 

(. 0,09^

X I 1 + ——

I 2

86,31.

Второй способ состоит в вычислении теоретической цены 2-летней бескупонной бумаги по доходности к погашению 7,5%, при этом также в результате получается 86,31:

100

Л 0,075ї

11 +    

86,31.

 

 

Эти два результата расчетов одинаковы — приведенная стоимость "зеро", рассчитанная по ставкам спот, равна приведенной стоимости "зеро", рассчитанной по доходности к погашению, которая получена на основе этих же ставок спот. Это закономерно, поскольку отсутствуют купонные платежи, приносящие проценты по ставкам спот, которые отличны от доходности к погашению.

Если цена бумаги рассчитывается на основе множества ставок спот, а не доходности к погашению, то при отличном от нуля купоне приведенная стоимость будет иной, хотя различие, возможно, будет и небольшим. Например, если мы вычислим приведенную стоимость 2-летней ноты с купоном 7,5% с помощью различных ставок спот, получим 100,09:

7,50

7,50

 

С-7

0,06 1 + —

Л 0,06

(л 0,07

1 +       1

2 )

7,50

 

(.   0.06Ї   /,   0.07Ї   ( 0,08^

100

7,50

 

Л   0,06)   Л   0,07   (.   0,08   (. 0,09

I 1 +                 I X I 1 +                       I х I 1 +            1 X I 1 + —     |

{ 2 ) { 2 ) { 2 ) { 2 ) 100,09.

 

Мы знаем, что цена ноты с доходностью, равной ее купонной ставке, равна номиналу. На основании расчета приведенной стоимости цена бумаги получается равной 100,09, что немного больше номинала, и поэтому эту бумагу будут продавать с доходностью 7,45, а не 7,50%. Аналогично текущая стоимость ноты с 15%-м купоном составит 113,87:

 

 

ґ С- 15%

 

Подпись: 15 215

У

(.   0,06)    (     0,06^   ( 0,07х

1 +       і    і 1 +            1 х і 1 + -

2 }    {      2 )

15 2

Л   0,06>   Л   0,07   Л 0,08х

і 1 + - — і х і 1 +         і х 11 +           

I       2  J   {       2  )   ( 2

100 + —

            2

(.   0,06х,   Л   0,07   Л   0,08х,   Л 0,09х

1 +                   i X I 1 +                       I X I 1 +           1 X | 1 + -

тг"—)

= 113,87.

Доходность 2-летней ноты с 15%-м купоном при этой теоретической цене составит только 7,41%.

Эти три расчета доходности показывают, что при растущих ставках спот для корректировки упрощающего предположения (о реинвестировании по единой ставке) при вычислении доходности к погашении выпусками с низкими купонами должны торговать с более высокой доходностью, чем выпусками с высокими купонами6.

 

Некоторые предостережения

" Это не обязательно означает, что дохсдаости, с которыми торгуются выпуски с высоким и низким купонами, отразят данный эффект. Другие факторы, такие, как условие до-срочього отзыва для облигаций; налоговые эффекты и возможность декомпозиции, могут оказывать большее воздействие: на стоимость выпуска.

 

При расчете неявных форвардных доходностей мы использовали рыноч-

ные доходности, не увязывая с ними купоны выпусков. В предыдущем

разделе было показано, что доходность, по которой торгуется выпуск,

должна зависеть (и часто зависит) от его купона. Формула, которую мы

привели для вычисления форвардных доходностей, является совершенно

точной только для нот и облигаций с нулевым купоном.--Такие выпуски

часто торгуются с доходностью, значительно отличающейся от доходнос-

тей купонных облигаций, поэтому трейдеры используют специальные

кривые доходности для бескупонных бумаг, что позволяет точно рассчи-

тать кривую ставок спот для них. Некоторые трейдеры даже считают, что

кривая ставок спот для бескупонных бумаг является единственной

подобной кривой, которую следует использовать для оценки неявных

форвардных ставок.'  ■ ' !

Если трейдеру не нужна особая точность, он может получить хорошее представление о неявных форвардных ставках по доходности последних выпусков. Если кривая ставок спот более или менее горизонтальна, трейдер может точно рассчитать форвардные доходности, используя купонные бумаги. Можно сделать точный расчет ставок спот на основе купонов, но формула такого расчета чрезвычайно сложна, и в ее использовании обычно нет необходимости.

 

Практическое применение кривой ставок спот

 

Помимо того что ставки спот позволяют трейдеру выбрать интервал сроков до погашения, соответствующий его представлениям о будущих процентных ставках, они могут также использоваться аналитиками для определения относительных стоимостей всех ценных бумаг. Трейдеры Уоллстрита обычно ежедневно получают отчеты об относительной стоимости по каждому векселю, ноте или облигации на рынке. В этих отчетах стоимость каждой ценной бумаги сравнивается со стоимостью выпусков с близким сроком до погашения. Для такого оценивания нет стандартных процедур — аналитики изобретают собственные методы, используя либо ретроспективные, либо теоретические подходы.

Ретроспективный подход позволяет дать относительную оценку только тех бумаг, доходность которых за последние несколько недель упала или возросла по сравнению с доходностью ближайших последних выпусков. Хотя такой анализ и имеет свою сферу применения, данный способ оценивания по сути своей ущербен. При его использовании придается слишком большое значение изменениям доходности. Ведь из одного того, что доходность выпуска возросла, не следует, что он стал дешевым, она могла измениться потому, что изменилась форма кривой доходности. Точно так же выпуски, доходность которых осталась неизменной, могут оказаться более выгодными для покупки.

Теоретический подход к оцениванию бумаг более надежен. В некоторых отчетах приводятся оценивание каждой бумаги на основе кривой ставок спот, расчет теоретической доходности и затем сравнение теоретической доходности с рыночной доходностью, чтобы определить, является ли выпуск дорогим или дешевым. В результате применения такого подхода отчет об относительной стоимости отражает "правильную" рыночную стоимость ценных бумаг, а не поведение цен в прошлом.

 

Разделение на бескупонные облигации — особая сфера приложения

 

Отчет о декомпозиции (stripping report) является особой формой отчета об относительной стоимости. Из предыдущих примеров видно, что для сравнения стоимости бескупонных бумаг со стоимостью купонных нельзя безгранично доверять доходности. Однако, используя кривую ставок

 

21 Зак. 13471 спот для "зеро", трейдеры могут рассчитать доходности "зеро" на основе доходностей купонных выпусков, чтобы выяснить, что более выгодно при текущих рыночных ценах: декомпозировать или восстановить данную бумагу.

При декомпозиции облигации каждый процентный платеж становится выплатой основной суммы по "зеро". Разделение 15 мая 1992 г. облигации "12, май 05" номинальной стоимостью 100 долл. создает облигацию "зеро" номинальной стоимостью 6 долл., погашаемую 15 ноября 1992 г. (ближайшая купонная дата), "зеро" номинальной стоимостью 6 долл., погашаемую 15 мая 1993 г., "зеро" номинальной стоимостью 6 долл. с погашением в каждую последующую купонную дату и, наконец, "зеро" номинальной стоимостью 106 долл. (основная сумма плюс купон) с погашением 15 мая 2005 г.

Прибыль от декомпозиции облигации равна совокупным поступлениям за вычетом всех расходов. Расходы на декомпозицию^)авны цене разделенной облигации плюс все накопленные проценты. Поступления от декомпозиции — это общий доход от продажи всех компонентов облигации.

В табл. 11-3 приводится анализ прибыли, полученной в результате декомпозиции облигации "12" для* заданной кривой доходности. Используется предположение о постепенном росте доходности, что в свою очередь означает постепенный рост 6-месячных ставок спот. Сначала мы, используя формулу неявной форвардной доходности, с помощью этих ставок спот вычислим доходность к погашению каждой бескупонной бумаги, полученной при декомпозиции "12". Затем, применяя стандартную формулу взаимосвязи цены с доходностью, мы рассчитаем цену каждой "зеро" при этой доходности. Поскольку начальной датой является купонная дата, срок до погашения первой выпущенной "зеро" составит 6 месяцев, начиная с текущего момента, и общая стоимость облигации "12" будет равна рыночной цене, уплаченной за нее (поскольку накопленные проценты равны нулю).

Доход от продажи каждой "зеро" равен произведению количества выпущенных "зеро" на их цену. Например, при декомпозиции "12", в частности, создается бумага, погашаемая 15 мая 2005 г. Номинальная сумма этого компонента составляет 106 долл.: из них 100 долл. приходятся на выплату основной суммы и 6 долл. — на последний купонный платеж. Если эта "зеро" может быть продана по цене 39,63 (в расчете на 100 единиц номинальной стоимости), которая рассчитывается по кривой доходности, то продажа даст 42,01 из цены, уплаченной за "12" (106 х 39,63/іоо ~ = 42,01). Конечно, когда трейдер декомпозирует "12", он создает бумаги с различными сроками до погашения. Совокупный ожидаемый доход от продажи всех этих бескупонных бумаг соответствует безубыточной цене декомпозиции для "12".

Если трейдер может купить на открытом рынке облигацию по цене ниже ее безубыточной цены декомпозиции, то он может с прибылью раз

делить (strip) облигацию. Если трейдер сможет продать облигацию на открытом рынке по цене выше ее безубыточной цены декомпозиции, то он может с прибылью восстановить (reconstitute) облигацию. Прибыль трейдера равна разнице между ценой облигации и ее безубыточной ценой декомпозиции.

Чтобы трейдер решил разделить или восстановить облигации, такие операции должны обещать ему прибыль в несколько базисных пунктов. Это позволит ему отчасти уравновесить возможные убытки при продаже или покупке "зеро". В рассмотренном примере из табл. 11-3 должны быть куплены или проданы 26 отдельных "зеро". Рынок не будет ждать, пока трейдер купит или продаст все эти компоненты, так что он должен предусмотреть возможность изменения цен облигаций "зеро" во время исполнения сделок. Создавая "буфер" прибыли, трейдер обеспечивает себе выигрыш, даже если он понесет убыток, избавляясь от тех компоненто]?, которые подешевели, или переплачивая за те компоненты, которые подорожали.

В табл. 11-3 показано, почему "зеро" имеют доходности, отличные от доходностей купонных ценных бумаг с тем же сроком до погашения. Доходность бескупонной бумаги, погашаемой 15 мая 2005 года (когда погашается и облигация "12", из которой она была получена), составляет 7,25%. Доходность "12" при безубыточной цене 142,34 долл. равна 6,99%, что на 26 bp ниже доходности "зеро" с той же датой погашения.

Мы видели ранее, что, когда кривая доходности не является "плоской", купон может существенно повлиять на доходность, с которой будет продаваться выпуск, два выпуска с большим различием в купонах будут торговаться с разными доходностями. Поэтому в случае с "зеро" доходность к погашению является особенно неудачной мерой стоимости. Поэтому трейдеры не используют доходность к погашению для определения цен, по которым должны торговаться "зеро" по сравнению с теми бумагами, из которых они были созданы. Вместо этого они используют прибыль от декомпозиции облигаций. Для выявления того, как выпуски, в первую очередь претендующие на декомпозицию (выпуски с высоким купоном и сроками до погашения свыше 10 лет), торгуются в сравнении с "зеро".

Можно теоретически доказать, что безубыточная цена декомпозиции бумаги — это цена, рассчитанная исходя из ставок спот для бескупонных бумаг. Общая прибыль7 в результате декомпозиции составляет:

декомпозированного выпуска

Р<6Хдекомпозииии    ^ Qf х Pf х Р1

где Qi  — "количество*1 созданных "зеро" со сроком до погашения і/2,

Pt         — цена "зеро" со сроком до погашения //2,

^декомпозированного выпуска ~ "eHa ДЄКОМПОЗИрОВаННОГО ВЫПуска,

N         — количество созданных "зеро"8.

Поскольку

 

 

ft-

С         ■ AT

—,       когда / * N

С

— + 100,         когда і - N,

7 В этих формулах мы исходим из того, что декомпозиция облигации происходит в купонную дату, поэтому накопленные проценты равны нулю. Уравнения несколько усложняются, если декомпозиция происходит в течение купонного периода.

s Это срок до погашения декомпозированной бумаги, умноженный на 2.

то

Р&^декомпозиции     ^   л х ї*і ~^        х      ^декомпозированного выпуска •

 

Если в это уравнение подставить цену бескупонной облигации как функцию последовательности 6-месячных ставок спот, полученных на основе кривой доходности для бескупонных облигаций, то

р. 100

П(1+0/2)

 

и цена декомпозированной облигации, определенной по тем же ставкам спот, равна

»_   С/2 100

'декомпозированного выпуска ™ 2j і

'■'ПІ1^//'2) П(1 + о/2)

 

где г — ставка спот для "зеро" для периода j, то функция прибыли P&L упрощается до

 

екомпозиции

Если облигацию продают по цене, определяемой ставками спот для "зеро", прибыль от декомпозиции или восстановления облигации равна нулю, т.е. данную облигацию продают по безубыточной цене декомпозиции.

«г

ИСТОРИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ДОХОДНОСТИ

 

Если использовать теорию ожиданий, можно строить прогнозы на основе кривой доходности. Но что именно обычно предсказывает кривая доходности и насколько точными оказываются эти предсказания?

Ответы на эти вопросы очень важны при торговле. Если мнение трейдера отличается от прогноза, даваемого кривой доходности, следует ли ему считать, что игра против рынка обеспечивает хорошую фору? Или же прогнозирование на основе кривой доходности не лучше игры в рулетку?

Кроме того, многие долгосрочные сделки требуют прогнозирования будущих ставок процента. Например, для моделей ценообразования опционов необходимо знать ожидаемую будущую цену, относительно которой происходят случайные колебания. Некоторые опционные трейдеры используют текущие рыночные доходности в качестве ожидаемых будущих доходностей. Другие используют неявные форвардные доходности,

11.0

 

Каждая доходность на графике — усредненная за период 01.06.79 г.—09.03.89 г.

 

РИС. 11-3. Историческая усредненная кривая доходности

 

получаемые на основании кривой доходности. Выбор форвардной доходности может сильно повлиять на оценку стоимости опциона.

 

Усредненная кривая ставок спот

 

Обычно кривая доходности имеет положительный наклон. На рис. 11-3 представлена кривая, составленная из средних доходностей, с которыми выпуски продавались в течение 10-летнего контрольного периода, использованного нами в гл. 7. Трейдеры могут задействовать эту кривую доходности для того, чтобы определить на этом интервале и усредненную кривую ставок спот, и усредненную кривую неявной форвардной доходности. На рис. 11-3 представлена историческая усредненная кривая доходности, а на рис. 11-4 — кривая 6-месячных ставок спот, полученная из исторической усредненной кривой доходности9.

9 Кривая доходности включает только средние доходности для ключевых выпусков, т.е. для выпусков со сроками до погашения "овернайт", 3 и 6 месяцев, 1, 2, 3, 5, 10 и 30 лет. Дія расчета кривой 6-месячных ставок спот необходимо знать доходности бумаг со сроками до погашения с шагом в 6 месяцев. Для прочих выпусков мы используем линейную интерполяцию по доходностям ближайших сроков до погашения. Например, для 11/2-летнего выпуска мы считаем доходность равной среднему от доходностей 1- и 2-летнего выпусков.

Рис. 11-4 подтверждает, что на участке кривой доходности с положительным наклоном (между сроками до погашения 3 месяца и 10 лет) став11,5

 

11.0

 

і     : ■

 

о

8

10,0    

 

9 5 І і і і і І і і і і І і і і і і і і і і і і і і і і і і і »

'О        5          10        15        20        25 30

Годы

01.06.79 г. — 09.03.89 г.

 

РИС. 11-4. Кривая 6-месячных ставок спот, полученная из усредненной кривой доходности

 

ки спот превышают доходности выпусков с такими же сроками до погашения. На участке кривой доходности с отрицательным наклоном (между сроками до погашения 10 и 30 лет) ставки спот ниже доходностей выпусков с такими же сроками до погашения. Скачки ставки спот (например, при значениях аргумента 5 и 10 лет) являются результатом резкого изменения наклона кривой доходности'При сроках до погашения, используемых для получения ставки спот.

Вид кривой ставок спот свидетельствует о неточностях прогнозов на основе прошлых данных. Например, средняя историческая доходность 6-месячных векселей составляла 9,72%, в то время как средний прогноз для 6-месячных векселей на 6 месяцев вперед был равен 10,16%, что на 42 bp выше. В среднем историческая усредненная кривая доходности предсказывает значительное увеличение ставок для 6-месячных векселей.

 

Усредненная кривая неявной форвардной доходности

10 Данная кривая обрывается при сроке до погашения в 291/2 года. Это наиболее отдаленный срок, для которого мы можем вычислить 6-месячный форвард с использованием доходности 30-летней облигации.

 

На рис. 11-5 показана построенная на основе усредненной кривой доходности кривая форвардной доходности с форвардным сроком 6 месяцев10.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010