В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1049230 человек которые просмотрели 19724223 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1374

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




3.6. типовые функции полезности дохода

В настоящем разделе мы прокомментируем наиболее распространенные типовые зависимости.

Квадратичная функция полезности

Рассмотрим следующий вид этой функции:

U(r) = аг + br2 (а > 0, b < 0). (34)

Функция (34), известная еще как полезность Неймана-Монгенштерна (ФП Н.-М.), широко используется в теории финансов, в частности -рынка ценных бумаг. В основе этой популярной функции лежит известная теорема Н.-М., в которой доказывается, что при определенных допущениях индивид ведет себя таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности (34). Мы также будем опираться на эту функцию в отдельных разделах модели оптимального портфеля и для равновесного анализа цен рисковых активов.

Из графика квадратичной зависимости (34) понятно, что как кривая

полезности он имеет смысл только на ограниченном интервале (0,     а ),

где предельная полезность — = a + 2br>0 (рис. 21).

dr

пол03ностк

Из-за этого анализ, проводимый с помощью такой простой функции, ограничен и может применяться только теми инвесторами, которые просчитывают варианты с возможностью дохода R ниже критического уровня Z = - а/2Ь. Здесь прописной R обозначен случайный доход с возможными значениями гЄ(0; - a/2b).

Пример. Рассмотрим простейшую иллюстрацию выбора по максимуму ожидаемой полезности (34). Возьмем два различных инвестиционных портфеля. При одинаковой ожидаемой величине отдачи один из них не связан с

риском [доход полностью определен), а другой связан с риском.

Этот портфель сулит приращение вложенных средств на 4 ед. с вероятностью 0,5 или их потерю на те же 4 ед. с той же вероятностью 0,5.

Второй портфель с риском не связан и не обещает никаких изменений с вложенными средствами, зато позволяет сохранить их без всяких потерь. Иначе говоря, индивид сберегает, но не инвестирует, то есть данный портфель содержит только деньги.

Пусть функция полезности U(r) = 1,2г - 0,1 г2. Так как для первого портфеля доход R - случайная величина, то и U(R) - случайная величина

 

U(R)

U(- 4) = - 6,4

U(4) = 3,2

Р

0,5

0,5

Посчитаем для него ожидаемую величину полезности: Ец = E(U(R)) = 0,5(- 6,4) + 0,5 х 3,2 = - 1,6.

Для второго портфеля доход есть неслучайная величина г = 0 и его полезность U(r = 0) = 0 также неслучайна, а потому ее ожидаемое значение совпадает с ней самой и равно нулю.

Таким образом, для безрискового портфеля величины ожидаемой полезности больше (0 > - 1,6), то есть инвестор предпочтет деньги.

Графически это решение выглядит следующим образом (рис. 22).

Зададимся вопросом: "А какой безрисковый доход имеет ту же полезность (- 1,6)"? Денежное выражение этой полезности (потеря полезности по сравнению с "замороженным" вкладом, то есть с нулем) можно найти графически, как это показано на рис. 23а.

Проведем горизонтальную линию от точки (0, - 1,6) до кривой полезности (точка К), а затем - вертикаль через точку К до пересечения с горизонтальной осью. Эквивалентная денежная сумма определяется абсциссой точки F. Принимающий решение готов заплатить эту сумму, чтобы исключить свое участие в игре, иначе говоря, - исключить риск с помощью страховки.

Дгія склонного к риску кривая полезности повернется вниз, и ее дуга окажется под прямой MN (рис. 236). В результате уровень полезности безрискового портфеля опустится ниже отметки (- !,6) до точки Р, а отрезок OF будет справа и укажет ту сумму, которой готов пожертвовать любитель азарта, чтобы включиться в игру.

Заметим, что данный пример имеет демонстрационный характер. Ответ был очевиден с самого начала, и его можно угадать. В самом деле, поскольку сравниваемые активы равноэффективны, то не склонный к риску инвестор (модепь с квадратичной функцией полезности) выберет тот вариант, который имеет меньший разброс результата, в нашем случае - безрисковый (23а), а я~.я выбирающего риск предпочтительным окажется портфель "со случайностью" (236).

Логарифмическая функция полезности

Эта функция имеет вид:

U(r) = lognr. (35)

Известно, что функция полезности задается с точностью до монотонно неубывающего преобразования. Поэтому выбор основания а у логарифма (35) принципиального значения не имеет и определяется удобством:

log;,r -   log.,1) X k)g|,r.

Впервые іакая полезность была рассмотрена Д. Бернулли в связи с так называемым Петербургским парадоксом, изложенным в его статье для Императорской академии наук в Петербурге в 1738 г. Его рассуждения основывались на гипотезе о том, что полезность бесконечно малого выигрыша dx пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна денежной сумме, которой игрок обладает:

dU = U(x + dx)-U(x) = —. (36)

X

Следовательно, при выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать, что К = 1 и прирост полезности от обладания суммой х2 по сравнению с Х|, таким образом, равен:

 

х,  * X,

Превышение А|2 полезности А| от выигрыша конечной суммы ті по сравнению с антиполезностью -Д2 потери той же суммы есть разность Д( - Д2 (см. рис. 24).

и

Подпись: //

/

/

J

 

x

/

 

Таким образом, превышения нет, так как избыточность < 0, то есть при одинаковых выигрышах и потерях последние более ощутимы, чем первые.

И в завершение приведем следующую экономическую сентенцию, заимствованную из Адама Смита. "К бережливости нас побуждает желание улучшить наше положение, - говорит А. Смит, - и это желание, в конце концов, оказывается сильнее, чем стремление к наслаждениям, толкающее нас к расходам".

Пример. Парадокс Петербургской игры. Прежде чем перейти к нему, рассмотрим конструктивно схожие игры, но без парадокса. Каждая такая - игра состоит из серии партий, и их число п оговаривается заранее. Перед на-чалом каждой партии игрок уплачивает некоторый взнос ц, так что пц - общий • уплаченный им взнос. Предполагается, что игрок обладает неограниченным капиталом, то есть никакой проигрыш не может вызвать окончание игры.

Введем случайную величину Х« как (положительный или отрицательный) выигрыш при KL-om повторении игры. Тогда сумма Sn = х| + ... + х„ является суммарным выигрышем при п повторениях игры, a (Sn - пц) -общий чистый выигрыш. Пусть для определенности игра проводится машиной, при опускании в которую игроком взноса ц включается вероятностный механизм выигрыша Хк-

Если случайная величина Хк имеет конечное математическое ожидание m = Е(Хк), то согласно закону больших чисел среднее значение из п выигрышей оказывается близким к m и весьма правдоподобно, что при больших и разность      _ nrn) = n ^^л_ _ т окажется малой по сравнению с п.

п J

Следовательно, если м- < т, то при больших п игрок будет, вероятно,

иметь выигрыш g - пц = п      - х п0РяДка nviTi ~ М-)-

"           I   n J

Понятно, что n(m - ц) > 0. По тем же соображениям взнос ц > m практически наверняка приводит к убытку.

В общем случае оговаривается существование не только Е(Х|с), но и дисперсии D(Xk), и закон больших чисел дополняется центральной предельной теоремой (в курсе, теории вероятностей). Последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при ц = m чистый выигрыш Sn - пр будет иметь величину порядка Vn и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным, то есть игра становится безобидной.

В отличие от представленной схемы для Петербургской игры платеж Е(Хк) равен бесконечности, и, следовательно, к ней нельзя применять закон больших чисел. Иначе говоря, при назначенном взносе р невозможно выяснить, будет ли она для играющего благоприятной, убышчной или безобидной, и это несмотря на то, что ожидаемый выигрыш сулит бесконечность.

Тем не менее этот парадокс можно разрешить, вводя функцию полезности (35), то есть предполагая, что отношение игрока к деньгам описывается гипотезой (36). Покажем, как это делается.

Начнем с того, что познакомим читателя с самой игрой. В ней участвуют двое. Петр собирает взносы и реализует механизм случайного выигрыша по партиям: бросает монету раз за разом, пока она не выпадет "орлом". Он обязуется платить Павлу 2 дуката, если "орел" выпадет при первом бросании, 4 дуката - если при втором, 8 - если при третьем и т. д., так что каждый неудачный для него бросок удваивает величину платежа. Предположим, что мы хотим определить ожидаемый результат Павла.

Испытание (партия) Петербургской игры состоит в бросании правильной монеты до тех пор, пока не выпадет "орел". Если это случится на г-ом бросании, то игрок получает 2Г дукатов. Другими словами, "партийный" выигрыш представляет собой случайную величину, принимающую значения 2і, 22, 23,... с вероятностями 2"', 2~2, 2_3,... соответственно.

Математическое ожидание формально определяется суммой

X

xrf(xr), в которой хг=2г и f(x,)=2-r, так что каждое слагаемое равно единице.

Разумеется, что здесь х, - г-е значение случайной величины х независимо от номера партии. Таким образом, конечного математического ожидания не существует и закон больших чисел "не работает".

Между тем от парадокса бесконечности вполне возможно уйти, если оценивать результат не в деньгах, а в единицах полезности. При таком подходе "истинная ценность" выигрыша измеряется его ожидаемой полезностью:

E(U(x))-§U(xr)f(xr), (37) i-i

где согласно (35) U(xr) = iog2Xr, а значение х, — 2і принимается с вероятностью f(x,) = 2"г. Подставляя эти обозначения в (37), получим, что:

E(U(x))-|-L. (38)

г           а 1

Пусть а = —. тогда Нт—— = — <1, то есть выполняется признак

'   2'      аг 2

сходимости бесконечного ряда {а,.}. Отсюда вытекает, что ожидаемая полезность (38), равная сумме U* этого ряда, будет конечной: E(U(x)) = II*.

Павел оценивает свой взнос ц в единицах полезности и потому его чистый результат определяется разностью (S„ - nlog2i), где Sn = U(xj) +

... + U(xn) и при больших п        у *

п

Короче, случай log2n < U* (ц < 2и*) благоприятен для Павла, а случай Iog2n > U* (ц > 2и*) неблагоприятен; при ц = 2и* получим безобидную Петербургскую игру при шансах 50 на 50% с чистым выигрышем или проигрышем порядка Vn.

В данном примере переход от риск-нейтрального отношения (U(x) = = х - полезность денег совпадает с их количеством) к осторожности (U(x) = log2x) позволил получить ответы на все поставленные вопросы.

Известны и другие приемы разрешения Петербургского парадокса. Из них наиболее близкий к изложенному здесь основан на введении переменного взноса ц = log2n и видоизмененной записи закона больших чисел. Переменный взнос неудобен в игорном доме; однако Петербургская игра и без того неосуществима вследствие ограниченности имеющихся денежных средств.

Несмотря на игровой характер, этот пример имеет прямое отношение к современной финансовой теории, поскольку в нем выясняется, сколько следует платить за обладание рисковым активом, причем с учетом индивидуального отношения к риску. То же самое можно сказать и о концепции полезности и ее возможностях для анализа эффективности и отбора инвестиционных проектов є рисковыми условиями реализации.

U(R)

Ступенчатая функция полезности дохода Инвестор с начальным капиталом W получает случайный доход R. За меру риска его деятельности можно принять вероятность разорения. Тогда вероятность противоположного события (неразорения) является, как легко уяснить, математическим ожиданием полезности в виде следующей ступенчатой функции случайной величины (рис. 25):

ЛОЛ

[1, если R + W г О, |(), если R + W < 0.

-W

(0.0)

Рис. 25. Функция полезности в задаче о разорении В самом деле, по определению математического ожидания

E(U(R)) = JU(R)f(R)dR,

где f(R) - плотность распределения вероятностей случайного дохода R. Для ступенчатой функции полезности (39) эта характеристика равна:

E(U(R)) = JT(R)dR = P(R * -W) = P(R + W :> 0),

то есть определяет вероятность того, что полученный доход будет не меньше -W, иначе говоря, начального капитала W хватит, чтобы покрыть убытки        - R).

Таким образом, стремление инвестора к максимизации ожидаемой полезности (39) побуждает его к поиску таких решений, которые дают максимум вероятности неразорения.

Для прикладного использования функции полезности (39), например, при диагностировании финансовой устойчивости, приходится получать выражение случайного дохода R в зависимости от влияющих факторов (например, для банка - процентного дохода в зависимости от объемов и структуры пассивов и активов) и сравнивать его с собственным капиталом W.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010