В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1050189 человек которые просмотрели 19730568 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1374

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




3.9. функция полезности карты кривых безразличия

Вначале дадим несколько предварительных соображений. Естественно считать, что при выборе из доступных альтернатив инвестор сравнивает их между собой, руководствуясь ожидаемым доходом и риском Не склонный к риску финансист заведомо ошраковываег невыгодные по данным показателям варианты.

Например, предоставлена возможность выборц между вложениями, в два вида ценных бумаг, причем m| ^ т2, а 0| s о2. Любой разумный инвестор, конечно, вложи г деньги в 1-й вид. Если, напротив, ni| s 1112, а 0| > о2, то инвестор выберет 2-й вид, поскольку с ним связана меньшая неопределенность, а по доходности он не уступает.

Но в общем случае, когда:

гп| < т2, 0| < о2

(или mi > т2, 0| > о2),

однозначного разумного решения нет. Инвестор может предпочесть вариант с большим ожидаемым доходом, связанным, однако, с большим риском, либо вариант с меньшим ожидаемым доходом, но более гарантированным и менее рискованным. Сказанное ограл;м следующем диаграммой (рис. 26).

Риск (б)

Установленные выше параметры сравнения по доходности и риску позволяют нанести на график-схему рис. 26 любые варианты, заданные в координатах m и о. Пусть в качестве опорной взята альтернатива А. По отношению к ней все остальные можно представить в виде матрицы, изображенной на рис. 26. Те из них, которые попали в сектор II, следует рассматривать как менее привлекательные, чем А; все проекты ниже и правее точки А должны оцениваться как более выгодные. Для выбора между вариантом А и теми, которые располагаются в первом и третьем секторах, правила принятия решения четких ориентиров не дают. Здесь все зависит от субъективного мнения относительно риска и дохода, то есть от допускаемого инвестором компромисса между этими показателями.

Типь! кривых безразличия в зависимости от отношения к риску

Выбор, который делает инвестор, во многом зависит от свойств его характера; от его склонности к риску; от того, сколькими порциями дохода он готов пожертвоваїь ради упрочения надежности в его получении и каков для него эффект замещения рисков доходами.

Эти рассуждения подразумевают наличие у инвестора некоторой функции U(о, т), с помощью которой он может анализировать варианты, причем предпочтение отдается варианту с большим значением этой функции. При существовании такой зависимости эквивалентные варианты будут определяться из уравнения:

U(о, ш) = С.

Это уравнение неявным образом задает о как функцию m при фиксированной правой части С. График этой функции соединяет все точки данного уровня полезности и называется кривой безразличия уровня С. Для различных значений уровня получим карту кривых безразличия, и задача инвестора будет состоять в том, чтобы, исходя из своих бюджетных возможностей, подобраться к кривой безразличии с максимально возможным уровнем С.

Можно сказать, что полезность кривой безразличия для инвестора тем выше, чем больше уровень С. Этим и объясняется название рассматриваемой зависимости U(o, m) как функции полезности карты кривых безразличия, или, кратко, уровневой функции полезности.

Графики наглядно демонстрируют, что характер этих кривых отражает модели разных типов восприятия рисков. Инвестор (а), двигаясь по кри-

Как и для функции полезности дохода (рис. 19), строение типовых уровневых кривых полезности зависит от "темперамента" субъекта. На рис. 27 изображены карты типовых кривых безразличия для нерасположенных (а), равнодушных (б) и склонных к риску (в).

вой безразличия, сохраняет уровень полезности своих вложений, компенсируя более высокий риск приростом ожидаемого дохода, и по мере восхождения требует на каждую дополнительную единицу риска все большей компенсации.

Субъект (в) по натуре - "безрассудный" игрок и ради риска готов "карабкаться" по кривой безразличия вверх вопреки потерям ожидаемого дохода.

Пример модели промежуточного поведения показывает инвестор (б):

он безразличен к неопределенности а и для него, чем крупнее ожидаемый выигрыш т, тем будет лучше, вне зависимости от сопровождающих этот выигрыш рисков.

При фиксированном доходе m и снижающемся риске полезность инвестиций у (а) растет, для (в) - падает, а в случае (б) - не меняется (рис. 27).

Уровневая функция полезности, выводимая из полезности Неймана-Монгенштерна

Рассмотрим квадратичную функцию полезности, отличающуюся от функции (34) наличием свободного члена, и возьмем его таким, что:

U(R) = aR + b(R - E(R))2, (b < 0). (40)

Запись функции полезности Неймана-Монгеншгерна (ФП Н.-.М..) в форме (40) более наглядна, нежели в функции (34): инвестор считает полезным для себя увеличить доход R, но избегает при этом его отклонений от прогнозного значения E(R). Чем больше |Ь|, тем сильнее проявляется тенденция к снижению рисков-уклонений, связанных со слу-

чайностью, таким образом,   *   ассоциируется с показателем склонности

|Ь|

к риску. Переходя в функции (40) к ожидаемой полезности, получим уровневую ФП Н.-М.:

U(m, о) = am + bo2, (41)

где m = E(R), о2 = E(R - E(R))2, U(m, о) = E(U(R)).

Можно сказать, что как критерий максимизации выражение (41) представляет свертку двух критериев: максимума ожидаемого дохода m и минимума риска о2.

Подчеркнем, что функция полезности карты кривых безразличия (41) и функция полезности дохода (40) однозначно связаны друг с другом. Отсюда понятно, что решения инвестиционных задач, полученные по любой из этих функций, должны совпасть, а кривые безразличия можно рассматривать либо как траекторию постоянной полезности U(m, о), либо как траекторию постоянной ожидаемой величины полезности Н.-М. E[U(x)].

Пример. Используя данные примера из п. 3.8, убедимся, что ФП (41) приводит к тому же результату, что и ФП (34). В нашем случае:

U(m, о) = E(U(R)) = 1,2E(R) - 0,IE(R)2.

Отсюда, применяя известную формулу o2(R) = E(R2) - E2(R), получим

 

Сравним значения этой функции, используя характеристики первого и второго портфелей (тот же пример). Эти портфели сулят нулевые ожидаемые доходы (т| = іти = 0), и поскольку второй портфель безрисковый, то а?2 = 0. Дисперсию дохода для первого (рискового) портфеля сосчитаем, воспользовавшись его рядом распределения:

о,2=0,5(- 4)2+0,5 х (4)2= !6.

Вычислим уровневые полезности каждого портфеля: U, = U(m = 0, о, = 4) = - 0,1 х 42= - 1,6; U2= ~U(m = 0, о2= 0) = 0. U2 > U|, поэтому получим то же, что и раньше: следует выбрать безрисковый портфель (рис. 28).

Пример. Рассмотрим простейшую задачу портфельных инвестиций и решим ее двумя способами: максимизируя ожидаемую полезность и с помощью уровневой функции полезности.

Итак, имеются два актива со случайными эффектавностями Rt, R2. Возможные значения этих эффектавностей и их вероятности сведены в таблицу:

 

Вероятности (р)

0,2

0,8

R1

5%

1,25%

R2

-1%

2,75%

Пусть функция полезности инвестора

U(R) = 1,2R - 0,1R2. (43)

Будем искать оптимальные пропорции X|, х2 (xj + х2 = 1) составного актива по критерию ожидаемой полезности.

При этом способе полезность составного актива выступает как случайная величина со значениями, зависящими от долей Xi и х2. Комбинируя эти значения полезности с заданными вероятностями (р), придем к математической постановке интересующей нас задачи максимизации.

Чтобы воспользоваться этой схемой, запишем ряд распределения случайной эффективности смеси (составного актива):

E(U(R)) = 0,2U1(x,) + 0,8U2(x,). (44)

Дифференцируя это выражение по Х|, получим уравнение:

0,2(1,2 х 6 - 0,2(6Х| - 1)6) + 0,8(-1,2 х 1,5 - 0,2(2,75 - 1,5х,)(-1,5)) = 0,

из которого найдем, что Х| = 0,5, то есть в каждый актив следует вложиться половиной наличности. Вычисляя (44) при Х| = 0,5, найдем, что максимум ожидаемой полезности равен двум: max E(U(R)) = 0,2Ui(0,5) + 0,8U2(0,5) = 2.

Решим ту же задачу, опираясь на уровневую функцию полезности (42), выводимую из функции полезности инвестора (43). Для оптимизации по данному методу необходимо выразить ожидаемую доходность

СМеСИ И ДИСПерСИЮ ЭТОЙ ДОХОДНОСТИ через НеИЗВесТНЫе Х[ и х2.

, В примере п. 3.3 эти активы уже фигурировали и там было установлено, что т, == т2 = 2 и 0|2 = о22 =; 2,25 и oi2 = - 1. Отсюда легко получить характеристики составного актива: m = 2, о2 = X|2oi2 - 2x1X^0^ + х22о22 = = 2,25(2х, - I)2.

Подставляя эти формулы в функцию (42), получим следующую задачу максимизации:

2 - 0,1 х 2,25(2х, -1)2 — max , (45)

X|

которая имеет очевидное решение Х| = 0,5, что совпадает с ответом, найденным первым методом. Максимальный уровень, то есть значение критерия (45) на оптимальном решении X] = 0,5, тот же, что и у максимума ожидаемой доходности - 2.

Кривая безразличия для уровневой ФП Н.-М.

Ее уравнение выводится из уровневой ФП Н.-М. (41) и имеет вид:

/с - am с o-J—-—, где та-. V   b а

Как видим, характер полученных кривых согласуется с линиями уровня, нанесенными на рис. 27 для случая (а) (неприятие риска).




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010