В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 972259 человек которые просмотрели 19024988 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1319

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




4.3. задача об эффективном портфеле с безрисковой компонентой

(57)

Эта задача отличается от постановки (49) - (51) тем, что инвестор, кроме рисковых ценных бумаг, учитывает также возможность безрисковых вложений с гарантированной эффективностью гд. Обозначив долю таких вложений через Х(), придем к следующему расширению задачи (49) - (51):

/          

rnin V V V..x х /r„x„ + V гп х- = m .х., + V х ■ «■ 11.

 

Вложение в два фонда

HJPPTL1L1

Рассмотрим случай без ограничения на знак нєіі-;і;~~;.-іоіл л^, a(, Очевидно, что всякий эффективный портфель траектории "а" на рис. 35 является допустимым для задачи (57) при том же значении ожидаемой доходности Шр.

Возьмем какой-нибудь портфель В на этой траектории и будем сочетать его с безрисковым вкладом по схеме рис. 37 (точки В, А). В результате получим прямолинейную траекторию всех возможных портфелей, представленную на рис. 39 лучом AF.

Рис. 39. АСЕ - эффективная траектория при допущении заемного капитала и безрисковых вложений

Обозначим пропорции эффективного портфеля В, полученные как решение укороченной задачи (49) - (51), через xf, xf. •••> x|J- Очевидно, что х0 + J?(l - х0)х? - 1 и, кроме того,

Vo + Шр(1 - х„) - г0х0 + Y mjO - х„)х? - тр.

Отсюда следует, что портфель (Xq, (1 - Xq) xf, О - Хл) хп^ является допустимым для задачи (57), то есть траектория AF - одна из допустимых. Но она для модели, (57) неэффективна, так как в диапазоне доход-ностей (шрв, mpD) ее портфели дают более высокий риск, чем у кривой "а", (рис. 39). Отсюда ясно, что получить эффективную траекторию в задаче (57) можно только с помощью такой точки С на траектории "а", в которой прямая АСЕ касается этой траектории. Так, из рис. 39 видно, что с помощью означенной прямой можно добиться любой доходности пір а го с наименьшим по сравнению со всеми другими допустимыми портфелями риском.

При запрещении заемного капитала, то есть для неотрицательных переменных х0, хь хп, аналогичные доводы подсказывают, что кривая эффективных комбинаций АСЕ получается сочленением касательной АС с последующей за точкой С частью траектории "б", перенесенной на рис. 40 с рис. 35.

 

у

Е

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 40. АСЕ - эффективная траектория при запрещении заемного капитала и допущении безрисковых вложений

Вид ломаной кривой АСЕ на рис. 40 объясняется понижающим влиянием детерминированной компоненты г0 на ожидаемую доходность и риск портфеля. Из-за этого портфели с ее участием не могут дать достаточно высоких значений тр > тс, и для таких уровней доходности приходится довольствоваться комбинациями только рисковых вложений.

Изложенного достаточно, чтобы пойять, что при возможности безрисковых вложений задача инвестора сводится к поиску оптимального по полезности распределения капитала между безрисковым активом А и рисковым портфелем С При данном значении эффективности го портфель С определяется единственным образом и будет один И'ТОТ же для всех вкладчиков, независимо от их оценок полезности.

Более того, "касательный" портфель С по результату смешивания его с безрисковым активом А оказывается наилучшим по сравнению с прочими рисковыми портфелями эффективной траектории ("а" или "б"). Имея это в виду, будем называть портфель, который в координатах Х|, х„ соответствует точке касания С, оптимальным рисковым или, кратко, оптимальным портфелем.

Допустим, что финансовый рынок отмечен высокой непредсказуемостью и не оставляет инвестору никаких направлений для извлечения гарантированного дохода. При таком раскладе остается единственная безрисковая "лазейка" - беспроцентное сбережение денег, например в домашней копилке до лучших времен.

В анализируемой ситуации Гц = 0 и модель расширенной задачи (57) примет вид:

 

то есть повторяет постановку задачи о рисковом портфеле (49) - (51) с одним отличием: жесткое бюджетное ограничение (51) заменяется неравенством 2*j s і- Последнее условие предусматривает возможность неполного инвестирования наличных средств.

Графически этому отвечает тот же рисунок 40, но с касательной АС, выходящей из начала координат (рис. 41).

Из сравнения эффективных траекторий: криволинейной для рисковых бумаг и прямой при двух фондах (г<) = 0; тс), понятно, что на оптимальных решениях консервативного инвестора (тр < тс) бюджетное условие (2xj s 1) обратится в строгое неравенство. Получающийся при этом остаток дает оптимальную долю средств, которые следует направить на беспроцентное накопление. Отсюда следует, что при "поголовной" нестабильности финансового рынка желаемую в среднем доходность, например тр, можно получать с меньшим риском (оу < ор) за счет недоинве-стирования наличного капитала. В перенасыщенной риском экономике подобные причины приводят к чрезмерному отвлечению денег и порождают спад предложения на рынке капитала.

t Пример. Найдем оптимальный портфель на траектории эффективных комбинаций из двух рисковых ценных бумаг с характеристиками т- - 2, О] - 1; гп2 ■ 3, 02 " 2; Г)2 ~ 1/2 при условии, что эффективность добавляемого безрискового актива гп - 1.

Подставляя данные примера в (54), получим, что: Ор2 = Зх(2 - 6х| + 4, nip = - Х( + 3.

Исключив Х|, придем к уравнению эффективной траектории:

ар = л/ЗгПр - !2rnn +13,

"стартующей" из низшей точки тРв = 2, оРв = 1.

Чтобы найти абсциссу nif точки касания С, запишем известное уравнение касательной к функции f() в точке xu:

Y = f(xo) + ПхпХх - х0).

В обозначениях нашего примера оно примет вид:

rz—;——        77        (бтс-12)      . .

о = yim: - umc + и +—,           (m - mc).

2pm; - 12mc + 13

Данная прямая проходит через точку А с координатами m = го — 1, о = 0 (рис. 39). Это позволяет получить следующее уравнение для неизвестной доходности тс оптимального портфеля:

Узт;'-12тс+13 + -=£тс~2) (1-тс)-0-д/Зт'- 12тс + 13

7 2V3

Откуда тс = —, стс = ——. Пользуясь связью между тр и х((х| = 3 - тр)

найдем, полагая т „ Z, структуру оптимального портфеля:

" 3

х, = 3 - 7/3 = 2/3, х2= І/3.

Таким образом, в оптимальном портфеле С на две стоимостные единицы ценных бумаг первого вида должна приходиться одна стоимостная единица бумаг второго вида.

Теорема об инвестировании в два фонда

Эта теорема утверждает, что если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и стандартным отклонением своего портфеля, то каждый инвестор-оптимизатор будет комплектовать портфель только из "касательного" (оптимального) портфеля С и безрискового актива.

Подтвердим предшествующее графическое обоснование математическим доказательством. Чтобы не утомлять читателя матричными обозначениями в многомерном случае, предложим ему покомпонентную запись на примере трехвидового портфеля. Для большего упрощения задачи ограничимся некоррелированными активами и неизвестными Хо, хь х2 произвольного знака. Несмотря на эти частности, нашего рассмотрения вполне достаточно, чтобы понять, как доказывается теорема в общем случае.

При и = 3 и V|2 = 0 из. общей записи (57) получим следующую модель сформулированной задачи:

min(o,2xf + а /г(|х0 + т,х, + т2х2 = тр)х„ + х, + х2 -1). (58)

Для ее решения воспользуемся методом множителей Лагранжа и введем функцию Лагранжа:

L(X, X) = Cj2Xj2 + 022X22 + /ч(ГП„ - ГпХп - niiXj - П12Х2) + A2(l - Xq - X; - X2).

Тогда решение поставленной задачи должно удовлетворять соотношениям:

 

с'Х ■ с?.л-

[           ^               -гоХ, -Х2=0

j           2о|2Х|            - Ш|Х| - Х2 = О

І           2о22х2  - т2Я.| - Х2 = О

I           г0хо+ Ш|Х| + т2х2            = т,

*          Хо + Х| + х2 =1

v          - ■„/*., ут2 - г„1л.| (59)

л, =       ^-^       , л2 -       ^—5 .

Из первых трех уравнений, заменяя Х2 = - гп?ч, найдем:

- і '<>/л

2of 2а;

Исіспючая из четвертого и пятого уравнений переменную хп, придем к соот ношению:

(mi - г0)Х| + (т2 - г0)х2 = тр - г0. (60) Подставляя (59) в (60), получим уравнение для Х: (m, - r())2X, , (ш2 - г„)2К

L - тр - г0,

2о,2 2о22 0 2

откуда X, =-(тр - г0), где 8

_  (т, - г,,)2 , (т2-г„)2

В "       2          "*" 2

и компоненты оптимального решения (59)

0    (m.-rj.        ч 0    (т, - г0) . .

go, go2 Отсюда видно, что отношение долей рисковых вложений

о 2

(m, - гв)о2 (61)

а   " , .2 Х2      (т2 ~ Г1>)°1

не зависит от назначаемого инвестором уровня ожидаемой доходности тр.

Подставляя найденные оптимальные значения х,,х, в критерий задачи (58), определим минимум дисперсии портфеля при заданном тр:

°> -7'

О,

(т. -г„у.

Из этого соотношения с учетом обозначения g следует линейность уравнения эффективной траектории модели (58):

ор --i=(mp-ru)- (62)

Пусть Шр* - ожидаемая эффективность рискового портфеля с пропорциями (61). Очевидно, что этот портфель получается как решение задачи

о

(58) при nip = nip*, у которого х« - 0, и он обязан лежать на прямой (62). Полагая в (58) х0 = 0, придем к "укороченной" оптимизационной задаче (53) (тр = тр*, Г|2 = 0) с тем же оптимальным решением, но уже на эффективной траектории "а" (рис. 35).

Таким образом, точка на прямой (62), соответствующая xn = 0, должна  лежать  на   кривой  ор*(тр*)   (кривая   "а"  на   рис.   35),  то есть

Ор(тр) - ор(тр). В то же время при всех тр * тр* минимум риска для

, и

задачи (58) будет меньше, чем у задачи (53) ор(тр) < ор(тР). Иначе говоря, прямая (62) расположена под кривой "а" и имеет с ней одну общую точку - точку касания (шр*, ор*), что было представлено на рис. 39 (прямая АЕ касается кривой "а" в точке С).

В заключение несколько слов о портфельных задачах произвольной размерности. Как и в рассмотренных частных случаях, если ограничения на знак отсутствуют, эти задачи допускают явное решение и его можно найти методом множителей Лагранжа.

Не приводя соответствующих доказательств, дадим формулы полученного Д. Тобиным решения расширенной задачи (57). Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х;), М = (ггц) - вектор-столбцы долей капитала, вкладываемых в і-й вид рисковых бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, і = 1, п. Пусть также I - n-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны I. Тогда оптимальное значение долей Xj есть

 

(M-r0I)TV-'(M-r0l)     (М W

Здесь V-' - матрица, обратная к V, Т - знак транспонирования, и поэтому (М - м)1)т - вектор-строка. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия, тоже получится число. Сопосо

тавляя компоненты вектора х, нетрудно удостовериться, что оптимальные пропорции рисковых вложений не зависят от ггір. В то же врема сумма этих компонент пропорционально увеличивается с ростом тр, и

поэтому "безрисковая" часть х<>, дополняющая эту сумму до единицы, будет уменьшаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Vp = XTVX подставим олії

тимальный вектор х, обозначив знаменатель формулы (63) через d2. Применяя правила матричной алгебры, получим:

V„= f(rru- гп>2/(И1ГУ-'(М - roDPVfV-UM - r0!)j = = [(mp- r0)2/d4]l(M - roDW-'W-l (M - r0l)].

Ввиду того что Vy = Vji, матрица V - симметричная, то есть V7 = V и, следовательно,

Vp = (mp - r0)2/d2 или Op = (mp - r0)/d.

Перегруппировав, определим линейное соотношение между эффективностью портфеля и его риском

ГПр - Гд = dap ИЛИ ГПр = г0 + dop.

Подставим это соотношение в числитель формулы (63) и получим

о

следующую связь между оптимальным решением х и риском ор:

V(M-r(1I)TV-4M-rn0

V-'(M-r0I).

На эту формулу можно смотреть как на запись оптимального решения портфельной задачи по критерию максимума эффекта и с ограничением на риск:

max|r0x„ + Vm^/Vy V„x,x, -ор,х0 +YXj

1 . (64)

В этом можно убедиться, решив задачу о портфеле максимальной эффективности (64) методом множителей Лагранжа, однако подобное соответствие вполне предсказуемо и объясняется взаимностью задач (57), (64).

При добавлении ограничений на неотрицательность неизвестных анализ усложняется и аналитические решения уступают место алгоритмам квадратичного программирования. В этом случае Представление о свойствах решения можно получить с помощью обобщенного метода Лагранжа, вводя дополнительные множители ц = (ц|, щ,)' по каждому неравенству Xj а 0, и со ссылкой на теорему Куна-Таккера.

Опуская подробный анализ, основанный на условиях дополняющей нежесткости, ограничимся здесь кратким описанием качественных особенностей эффективного портфеля:

с увеличением требуемой ожидаемой эффективности вклады в каждую ценную бумагу меняются линейно, если возможен short-sale, или кусочно-линейно, если такие операции запрещены. Некоторые вклады растут (это относится к более эффективным, но и более рисковым ценным бумагам), некоторые уменьшаются (менее эффективные и менее рисковые ценные бумаги);

мера риска эффективного портфеля возрастает с ростом требуемой ожидаемой эффективности, причем одинаковым последовательным приростом этой меры отвечают все меньшие и меньшие приросты эффективности.

Соответствующие этим выводам графические иллюстрации можно получить, опираясь на частные случаи эффективных портфелей, рассмотренных выше; для рискового портфеля из трех активов подтверждающие диаграммы имеются в работе Первозванских (см. список литературы).

Выбор портфеля при возможности безрискового заимствования и кредитования

В задаче о таком портфеле переменная Хо может быть любого знака. Имея возможность получения и предоставления займов по безрисковой ставке г0, инвестор выберет оптимальный портфель, найдя точку касания своей кривой безразличия с линейным эффективным множеством. На рис. 42 изображены два возможных варианта: для осторожного инвестора А и для инвестора В с более легкомысленным отношением к риску.

в

 

 

1

 

 

 

 

 

/   і заем

 

 

 

J

 

 

/   і вклад І

            !            2-

Рис. 42. Влияние безрискового заимствования и кредитования на выбор портфеля

Здесь А и В - точки касания кривых безразличия первого и второго участников к линии эффективных портфелей из двух компонент: безрисковой по ставке го и оптимального портфеля С. Консервативный инвестор А ориентируется на умеренную доходность тА < тс и определенную часть своего капитала оставляет в безрисковом виде: ссужает его под ставку г0 (х0 > 0).

Его более легкомысленный коллега В надеется на высокую доходность nig > тс и не слишком озабочен возможными расхождениями от средней оценки. В связи с этим он действует правее точки С в области отрицательных значений х0. В этом положении отражается ситуация, когда В занимает деньги под безрисковый процент го (уходит в короткую позицию по деньгам), но вкладывает их все равно в некоторой пропорции, которая соответствует точке С.

До сих пор считалось, что безрисковые ставки заимствования и кре-

п ілтлпп 11 її п лпніін'Лпі і Оол/ч ілтпії ж л Tenant і іт/- п гч/-*і і* n от e/i піл ті r*o n n г -дм і vhui m л  идппи^ииі.   і uwmui priivi   ivnvpu,   tiv  і ipvn juhai^- i ,  vwin   1 і риді > J

дожить, что инвестор может взять в долг, но по ставке, превышающей доходность от инвестирования б безрисковыи актив, обозначим эти ставки через tyg и hjl, причем r^g ^ *Ъ l-

Один из способов оценки влияния сделанного предположения на эффективное множество заключается в следующем. Начнем с того, что оценим, как будет выглядеть эффективное множество, если получение и предоставление займа возможны по одной и той же ставке tol- Результирующее эффективное множество является прямой линией, проходящей через точки r0l и Cl (рис. 43а). I

Рассмотрим, что произойдет, если величину ставки поднять до гпв, но оставить одной и той же как для получения, так и для предоставления займа. Результирующим эффективным множеством будет прямая линия, проходящая через точки гов и (рис. 43а). Заметим, что портфель Cg расположен выше портфеля Cl на эффективной траектории Марковица, поскольку он является точкой касания для прямой, соответствующей большей безрисковой ставке.

Поскольку инвестор не может занять по ставке ггд., то часть линии, выходящей из гоь которая продолжается правее Cl, недоступна для инвестора и поэтому далее не рассматривается.

Аналогично, так как инвестор не может предоставить заем по ставке гов> то часть линии, выходящей из г0в, которая располагается левее Св, не годится инвестору и поэтому далее также не рассматривается.

Юго-восточная граница множества оставшихся в рассмотрении портфелей, показанного на рис. 436, является результирующим эффективным множеством. Оно состоит из трех различных, но соединенных между собой частей:

первой частью является прямой отрезок, соединяющий гоі_ и Cl, который представляет собой комбинации различных объемов безрискового кредитования в сочетании с инвестированием в портфель рискованных активов Cl;

второй частью является участок кривой из эффективного множества Марковица, соединяющий точки Cl и Св;

третьей частью является прямой луч, выходящий из точки Св, который представляет различные комбинации заимствования в сочетании с инвестированием в рискованный портфель Св.

Оптимальным портфелем для инвестора, как и прежде, будет портфель, который соответствует точке касания кривой безразличия инвестора с эффективным множеством. В зависимости от вида кривых безразличия точка касания может оказаться на любом из трех сегментов, составляющих эффективное множество.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010