В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 985983 человек которые просмотрели 19146808 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1330

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




4.4. рыночный портфель

Будем считать, что состояние и динамику рынка ценных бумаг в течение длительного времени определяют его участники. В свою очередь, их поведение диктуется "предписаниями" портфельной теории. Все они максимизируют личные полезности, добиваясь правильного распределения капитала между безрйсковыми и рисковыми вложениями. Последние производятся в пропорциях, задаваемых структурой оптимального портфеля С (рис. 39), и по объему могут равняться любой дробной части этого портфеля.

Таким образом, предполагается, что поведение всех участников соответствует одной и той же модели (57), то есть они знают все параметры {Vy}, го. {mjh иначе говоря, располагают одинаковыми сведениями и принимают на этой основе наилучшие решения. При этом считается, что рынок рационально реагирует на обновление информации, то есть на нем мгновенно производится коррекция цен и коррекция действий.

Ясно, что перечисленное является некоторой идеализацией реальных условий, игнорирующей, возможные отклонения из-за нестационарности рынка, воздействия внешних факторов или по причине несимметричной информации и т. д.

На таком идеальном рынке инвесторы-максимизаторы предъявляют спрос на рисковые ценные бумаги в ассортименте, совпадающем с пропорциями "касательного" портфеля С. В зависимости от соотношения этого спроса и рыночного предложения цены на активы уменьшаются (при избыточности предложений) или растут (при дефиците).

С учетом подобных ценовых изменений корректируются параметры модели (57), а следовательно, и спрос на ценные бумаги. Этот процесс самоорганизуется таким образом, что по всем видам финансовых активов предложение и спрос выравниваются. В результате рисковый портфель рынка ценных бумаг (предложение рисковых активов) приближается и начитает копировать структуру оптимального портфеля С (спрос на рисковые активы).

Отсюда следует, что при сделанных допущениях о характере фондового рынка задача отыскания оптимального рискового портфеля С решается самим рынком. А если так, то инвестору можно не проводить самостоятельных расчетов, а достаточно "перерисовать" найденное рынком решение: проанализировать рыночные пропорции обращающихся ценных бумаг и формировать свой портфель, придерживаясь этих пропорций.

Высказанные здесь гипотезы - замкнутость, стационарность, равновесность, абсолютная ликвидность бумаг и бесфрикционность (отсутствие зазора между ценами спроса и предложения) - лежат в основе теории равновесия на конкурентном финансовом рынке. Центральное место в ней занимает модель В. Щпрпо, известная как модель установления цен на капитальные активы (Capital Asset Pricing Model, САРМ), где под ценой актива подразумевается показатель эффективности.

Реальный фондовый рынок по своим характеристикам расходится с идеальным. Этот рынок постоянно испытывает воздействие внешних факторов (не замкнут) и в силу этого не обязательно стационарен. Для него может не выполняться гипотеза малости влияния на цену, например из-за сговора между частью участников. Ему присуща асимметричность информированности. Расценки, применяемые при покупке и продаже ценных бумаг, при выдаче и получении кредита, - неодинаковы.

По мере удаления от условий идеальной конъюнктуры понятие соответствия между рыночным и оптимальным (касательным) портфелем С инвестора теряет смысл, что ставит под сомнение целесообразность копирования инвестором портфеля рынка. В связи с этим для получения приемлемых результатов инвесторы при работе на фондовом рынке зачастую опираются на собственные модификации модели (57) с учетом доступной им информации и нарушений гипотезы об идеальном рынке.

Представление о таких моделях и портфельных эвристиках, широко внедряемых в практику и простых по сравнению с оптимизацией, можно почерпнуть из финансовой периодики и деловой литературы. Здесь эти вопросы не рассматриваются, а будут даны только обещанные ранее элементы классической портфельной теории.

Определение рыночного портфеля

Пусть конкурентный финансовый рынок пребывает в равновесии. Это означает, что спрос всех инвесторов по каждому активу совпадает с совокупным предложением этого актива.

m

—►

В соответствии с теоремой о двух фондах каждый инвестор комплектует портфель только из долей оптимального рискового портфеля С и безрискового актива с доходностью г« таким образом, чтобы максимизировать свою упоиневую полезность U(m, о) (рис. 44).

Точка N, выбранная не безразличным к риску инвестором, определяется точкой касания подходящей кривой безразличия U(m, о) = U0 и прямой эффективных двухфондовых портфелей L.

Напомним, что вид этих уровневых кривых уже обсуждался - чем выше кривая, тем ниже полезность. Поэтому-то точка N дает максимум полезности: более низкая кривая (Uj) неосуществима, а более высокая (u2) - невыгодна.

Выбор точки N задает пропорции деления капитала между безриско-вым активом и портфелем С. Решение инвестора под номером К можно . представить числом ак, определяющим в его портфеле стоимостную долю безрискового актива. Тогда (1 - ак) - доля рискового актива С.

Если <*к ~ 1, то весь капитал инвестируется в безрисковый актив; при ак = 0 весь капитал инвестируется в портфель С; если ак < 0, инвестор занимает деньги (под безрисковый процент г0) и расширяет закупки портфеля С (1 - ак > 1). Очевидно, что разные ак отвечают разным точкам касания Nk для несхожих по функции полезности вкладчиков.

Если WK - суммарный капитал инвестора К, то Yk = (1 - ok)Wk. - капитал, вложенный в портфель С. Пусть соотношение yi : y2 : ■■• : чк&ф&п пропорции, в которых рисковые бумаги входят в этот портфель, (2у; = 1). Тогда yjYk - вклад К-го инвестора в акцию і.

Обозначим рыночную стоимость фирмы і, выражаемую ценой всех ее акций, через Vj. По предположению, рынок находится в равновесии. Тогда суммируя все вложенные в акции этой фирмы капиталы, можем записать баланс спроса на і-й актив его предложению: 2y,Ys=V.,

s

и поскольку суммарный капитал уравновешивает стоимость V исех рыночных активов ^ Ys - V5 где V - суммарная рыночная стоимость всех

фирм. Из этих соотношений выведем, что V ., v

V,    4-П 5    „ (65) V     ^Yc _їі'

s

то есть доля всех акций і в оптимальном портфеле С равна доле этих ак- ; ций на всем рынке. Таким образом, равновесный портфель рынка имеет j ту же структуру, что и оптимальный (касательный) портфель, вычисленный па основе вероятностных характеристик ценных бумаг, а сам рынок имеет свойства, присущие этому оптимальному портфелю. В связи с этим последний отождествляют с рыночным портфелем и, говоря о нем, называют его рыночным.

Одним из следствий результата (65) является тот факт, что каждый инвестор К владеет одинаковой, присущей ему долей каждой фирмы. В самом деле, доля стоимости фирмы і, принадлежащая инвестору К, определяется- отношением:

zk    тЛк_     7iYK YK

> s

не зависящим от і, то есть будет одна и та же для всех фирм (Z« = ZtK = ... =ZnK). Таким образом, каждый инвестор владеет одинаковыми частями каждой фирмы, равными доле участия его капитала (Yk/ZYs) на рынке рисковых активов.

Основное уравнение равновесного рынка

На траектории "а" эффективных рисковых портфелей выделим точку рыночного портфеля С (рис. 39). Пусть і s п - некоторый рисковый актив. Построим кривую риска "б", отвечающую всевозможным долевым сочетаниям Q и (1 - Q) вложений капитала в акции і и в портфель С. Это приведет к следующей диаграмме (рис. 45).

Поясним характер расхождения этих кривых. Очевидно, что при Q * О комбинированный вклад дает неэффективную смесь рисковых активов. Поэтому кривая "б" должна быть над эффективной траекторией "а". При Q = 0 и та и другая кривая дают точку рыночного портфеля С, то есть соприкасаются в этой точке. Поэтому касательная из точки г<> к кривой "а" будет Касаться в той же точке С й кривой "б". Этих замечаний уже достаточно, чтобы получить основное свойство рыночного портфеля. Пусть

Q - смесь акции і с портфелем С, которая имеет доходность:

R(Q) = QRi+(l -Q)RC.

Отсюда найдем математическое ожидание этой доходности: m(Q) - Qm, + (1 - Q)mc (66) и ее среднеквадратичное отклонение (53):

o(Q) - VQV + 2СК1 - Q)ricoi0c + (1 - Q)42 • <67>

Интересующее нас соотношение получим, приравняв значения Тангенса одного и того же угла а, вычисленные двумя способами. Во-первых, этот тангенс равен угловому коэффициенту прямой г0С, то есть

tg.a ш    °c    і и, во-вторых, он совпадает со значением производной тс - г0

функции о(т), изображенной графиком "б", вычисленной в точке тс, то есть при Q«0.

При нахождении этой производной заметим, что соотношение (66) позволяет выразить дисперсию (67) как сложную функцию от т;

о = o(Q(m)), где Q - т~т<! , откуда:

'           т, - тс

І°_ю) ^Е.ю)хШ Ов? + 0-Ф)Гіе°і°с-0-(»)д«к і

сілі     "dQv/ dm"          o(Q) (т,-тс)

Приравняв эту производную угловому коэффициенту, придем к равенству:

г^о;   - о,. о,

т; - т.

т

из которого легко выводится следующее основное уравнение равновесного

т, - г„

Гіс°і /

-^(тс -г„).

(68)

зффгіЦгїсїіт пропорциональности! гіср, cov(R,,Rc)

 

(69)

 

называется бета вклада і-ой бумаги относительно оптимального (рыночного) портфеля.

Превышение ожидаемой эффективности какой-либо рисковой ценной бумаги или портфеля рисковых ценных бумаг над эффективностью безрискового вклада именуется премией за риск.

Линия рынка ценных бумаг (security market line, SML)

Соотношение (68) означает, что премия за риск, связанный с любой ценной бумагой і s п, пропорциональна премии за риск рыночного портфеля в целом с коэффициентом пропорциональности Pi.

Если по оси абсцисс откладывать величины бета (р), а по оси ординат - ожидаемую эффективность (т), то получим прямую, именуемую линией рынка ценных бумаг (рис. 46).

ml

Эта прямая проходит через точку А (0, го), соответствующую безрисковому активу, и точку С (1, тс), представляющую оптимальный рисковый портфель. В самом деле, для безрискового актива показатель корреляции roc = 0- Поэтому его бета вклада р0 = 0 и премия (68) ему не вы-

гш not ■ і ж пютол ( m - — r„

1 Uiu-i п          і           у і чу — 10/.

Напротив, ввиду идентичности оптимального и рыночного портфелей в формуле (68) рс = I, и, следовательно, премии владельцам этих порт-

о і-» а і"і /ш іпалт<лпіі |j r-я i I ii/іЛ Лі/пі/т AFIULlOI/AULUllJ LpWIVFI   уПП DtV. J V/p_y    ri   pi'l I I Iy f   V/Y IX у 1    V/i,n ■ iuinuwui 14 »i .

Располагая этой прямой, можно по известному бета ценной бумаги j найти ее ожидаемую эффективность в виде ординаты m.j соответствующей точки Е на данной прямой.

 

Остановимся на свойствах данного показателя, которые ооусловлены влиянием парной статистической связи случайных эффективностей рынка и обращающихся на нем ценных бумаг. Приведем необходимые для этого сведения из регрессионного анализа двух случайных величин Y, X и прежде всего формулу линейной аппроксимации:

Y -^^х(х-тх) + ту.

(70)

Известно, что данное соотношение дает линейное по X приближение

            « —,                ,, . v     „           „о .. -—,. „,,,,„„<,

Win wiyitmnun иі,лм~шпш   l, ricAi-ijijiTLLjvw u і ^/m vuiuiwiw, ііО.

M(Y - Y)2 = rnin M(Y - aX - b)2.

a.b

Легко убедиться, опираясь на формулу (70), что дисперсия:

D(Y) - M(Y- my)2 + M(Y - Y)2

(71)

Формулам (70) и (71) можно дать следующую наглядную иллюстрацию:

Первое слагаемое в формуле (71) определяется отклонениями точек

А

прямой Y от математического ожидания ту, а второе - вариацией переменной Y относительно прямой Y. В случае линейной детерминированной связи Y от X каждому х будет соответствовать единственное значение у   на   прямой   регрессии,   и   поэтому   M(Y-Y)2=0, "

M(Y-my)2 = D(Y).

Для независимой пары Y, X их корреляция г)Л = 0, и линейное соотношение (70) дает прямую нулевого наклона Y = mv, при я им M(Y- mv)' = 0 . а

вся дисперсия сосредоточена во втором слагаемом: M(Y - Y)2 = D(Y) ■

Подытоживая, можно сказать, что слагаемое M(Y-mv)2 характеризует ту часть флуктуации переменной Y, которая вызвана линейным влиянием входной переменной X, а остаток M(Y - Y)2 дисперсии D(Y) определяется действием неучтенных факторов.

Используя эти формулы, проанализируем зависимость случайной эффективности Y = Rj ценной бумаги і от случайной эффективности рынка X = Rc- В этих обозначениях формула квадратичной линейной регрессии

т- случайной величины Rj на случайную величину Rc имеет вид:

Г;=^(Гс_тс)+ГП(. (72)

Ос

Откуда видно, что угловой коэффициент прямой (72) совпадает с бета вклада (69). Соотношение (72) дает наилучшую среднеквадратичную линейную оценку эффективности акции і в зависимости от реализованного значения гс. Поэтому понятно, что бета величины ценных бумаг являются коэффициентами, определяющими влияние общей ситуации на рынке на судьбу каждой ценной бумаги.

Если Pj положительна, то эффективность актива меняется однона-правленно с рынком, если р, отрицательна, то эффективность актива будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Чем больше абсолютное значение бета вклада актива, тем чувствительнее реагирует его эффективность на изменения общерыночной ситуации Rc. Этот вывод тем точнее, чем меньше разброс M(R, -Ri)2.

Равенство (71) можно интерпретировать как разложение общего риска на две части: обусловленную влиянием рынка (рыночный риск) и ту, что определяется воздействием внешних факторов. При этом сила рыночного влияния оценивается той долей общей дисперсии, которая приходится на вариацию точек регрессии (72):

rvURj-m,)2 J?2o2      г (73) ^"м^-ш,)2     о2  = ic '

Как видим, эта величина совпадает с квадратом коэффициента корреляции случайных эффектавностей R, и Re-

Заметим, что более точному размежеванию риска отвечает известное

 

D(Y) = D(M(Y/x)) + MD(Y/x), (74)

где первое слагаемое - дисперсия условного математического ожидания, а второй член - математическое ожидание условной дисперсии. Если теоретическая регрессия M(Y/x) линейна, то есть задается уравнение (70), разложения (74) и (71) совпадают, и, таким образом, при выполнении гипотезы линейности проведенное здесь рассмотрение становится строгим.

Ввиду независимости эффективных рисковых комбинаций от безрисковой альтернативы Го в "касательный" портфель С вполне могут попасть акции с ожидаемой доходностью rrij, ниже, чем ставка го. Эти бумаги, как видно из (68), имеют минусовые бета вклада и отрицательно коррелирова-ны с рынком (rjc < 0). Как мы уже знаем, подобные бумаги обладают хеджирующими свойствами, то есть позволяют ограничить риск портфеля.

Как следует из формулы премирования

ггц - г0 = Pi(mc - г0),

назначаемые рынком поощрения зависят от линии поведения ценных бумаг. Те, что копируют рыночные тенденции (гіс > 0), премируются, причем тем щедрее, чем выше "рыночная" компонента риска (73). "Строптивые" ценные бумаги (rjc < 0), напротив, штрафуются и тем жестче, чем больше вносимый рынком риск (73) расширяет диапазон их "неповиновения".

Альфа вклада

Модель (68) определяет эффективность ггц тех ценных бумаг, которые покупаются и продаются на идеальном рынке. Реальные ценные бумаги могут отклоняться от прямой (рис. 46), отвечающей модели идеального конкурентного рынка. Соответствующие этим отклонениям невязки сц между фактическими значениями ігц и модельными оценками вызваны погрешностями описания реальной рыночной ситуации оптимальным портфелем и называются альфа вклада:

ctj = ггц - (Г) + Pi(mc - г0)).

Наблюдаемые всплески (сц > 0) и провалы (а; < 0) означают, что теоретическая линия рынка ценных бумаг (SML) занижает (соответственно завышает) возможности ценной бумаги і. Поэтому одна из практических рекомендаций финансового анализа сводится к включению в портфель

Прежде ВСеГО ТЄХ ЦеННЫХ бумаг, КОТОрЫе НеДООЦенеНЫ РЫНКОМ (Oj > 0),

то есть продаются дешевле, чем того,заслужиъают.

На рис. 46 точки, соответствующие недооцененным ценным бумагам, будут располагаться выше линии рынка АС, а точки, соответствующие переоцененным ценным бумагам, - ниже этой линии.

Линия рынка капитала (capital market line, CML)

В теореме об инвестировании в два фонда была найдена эффективная траектория общей задачи (57), которая, как оказалось, определяется касательной из точки (гп, 0) к эффективной траектории ''укороченной" задачи (49) - (51) (рис. 39). В результате задача инвестора свелась к отысканию такой точки на касательной прямой, которая дает оптимальное по индивидуальной  полезности сочетание рыночного портфеля  С с

Данная прямая не персонифицирована по инвесторам и может рассматриваться как неотъемлемая характеристика конкурентного финансового рынка. В теории она называется линией рынка капитала и имеет вид касательной, изображенной на рис. 48.

Пусть тс и ос - ожидаемая доходность и стандартное отклонение в точке С. Тогда угловой коэффициент прямой:

X = tga

m„ - r„

определяет величину риска, поощряемого единичной премией.

Можно сказать, что восходящее движение вдоль линии капитала оплачивается неизменным размером добавочного риска на очередную добавочную единицу доходности Arrip, то есть риск взимается пропорционально. Для сравнения отметим, что при перемещении по криволинейной траектории эффективных рисковых портфелей (рис. 35) последовательные приросты ожидаемой доходности отличаются прогрессивным возрастанием риска.

И наконец, на кривой безразличия уровиевой полезности U(m, a) (рис. 38) компенсация возрастающего риска возрастанием доходности производится во все увеличивающихся пропорциях, то есть имеет место регрессивное рискообложение.

Обратную "среднему" риску А. величину:

 

И-"

о.

иногда именуют рыночной ценой риска, ее также допустимо назвать премией за единицу риска, или средней ценой риска.

На эффективной траектории рисковых портфелей в точке С средняя и предельная цены риска совпадают:

ny-r„ _ d(mc -г„)

л1

правее - средняя цена будет выше, а при движении к началу (левее) предельное поощрение риска станет преобладать нал соедним.

Ранее, при обсуждении рыночной доли в разложении (71), было показано, что вносимый рынком риск по ценной бумаге і можно измерить характеристикой рассеяния:

 

За этот риск рынок премирует или штрафует в размере:

f (х|і, если ric > О, "і    -ці;, если ric< О,

меняя тем самым ожидаемую эффективность і-го вложения до уровня

г ^

т, ~ г0 + П,. Это соотношение с учетом равенства П  =     с—-- х р о

«с

дает иную форму записи SML (68).

Равновесная цена на идеальном рынке

Напомним, что цена и ожидаемая доходность финансового актива находятся в обратной зависимости. Например, когда облигация имеет высокую цену, уровень ее доходности низок; когда цена низка - уровень доходности высок.

Рыночное равновесие определяет усредненную цену финансового актива и соответственно ожидаемый уровень его доходности. При прочих равных условиях кривую спроса можно представить как нормальную убывающую зависимость, связывающую цену актива с величиной спроса на него со стороны инвесторов. Более высокая цена, очевидно, ведет к меньшему совокупному спросу. Заимствуя из экономической теории термин "неценовые детерминанты спроса", можно в качестве таковых выделить следующие: цены других активов, риски, корреляции, расположенность к риску.

При изолированном изменении любого из этих факторов спрос на данный актив будет меняться. Так, с возрастанием риска он снизится, что отзовется увеличением равновесной ожидаемой доходности. Напротив, актив, который отрицательно коррелируется с рынком, пользуется повышенным спросом, так как он помогает инвесторам уменьшить риск их портфелей. Поэтому, несмотря на его более низкую ожидаемую доходность, инвесторы все равно будут вкладывать в него средства.

Очевидно, что взаимное расположение разных кривых спроса связано также с отношением инвесторов к риску. Более осторожные реагируют на риск резким свертыванием спроса и тем самым сообща сбивают цену. Отсюда можно заключить, что общий уровень цен на равногіесном рынке, помимо собственно рисков, испытывает также давление, зависящее от отношения инвесторов к риску, и с ростом их агрессивности повышается.

Допустимо считать, что в краткосрочном периоде рыночное предложение активов не меняется и равновесие цен зависит только от изменений спроса, вызванных в том числе действием неиеновых детерминант. Покажем, как учитывается их влияние в колебаниях рыночной стоимости фирмы.

Аля упрощения выкладок рассмотрим простой случай двухпозицион-ного рынка. По одной позиции рынок сводит кредиторов и заемщиков, которые привлекают и размещают деньги под безрисковый процент г, а по другой - выступает посредником между продающей свои акции фирмой и инвесторами. Рынок является бескорыстным в том смысле, что использует одни и те же цены для покупки и продажи, то есть не берет комиссионных.

Итак, на рынке присутствует одна фирма и К инвесторов. Спрос каждого инвестора определим через желаемую для приобретения долю фирмы - ZK, где к — 1,2, К.

Пусть WK - начальный капитал инвестора к. Каждый инвестор на двухпозиционном рынке решает задачу размещения своего капитала между двумя видами вложений: в акции фирмы и под неслучайную ставку г, то есть - уже известную нам задачу о двувидовом портфеле с безрисковой составляющей.

Его окончательный выбор на прямой эффективных портфелей (56) зависит от его отношения к риску и определяется личной функцией полезности дохода FK:

UK= FK-CKFK2, Ск>0.

Будем считать, что каждый инвестор предусматривает возможность использования заемного капитала по ставке г, с тем чтобы увеличить свою долю ZK.

Обозначим рыночную стоимость фирмы, приуроченную к дате принятия инвестиционных решений, то есть к началу периода, через Vx. Эта стоимость формируется под влиянием индивидуальных решений JZk,k = Ї7к|, составляющих совокупный инвестиционный спрос на акции фирмы.

В свою очередь, предпочтения ZK участников зависят от прогнозируемого ими экономического состояния фирмы. На основе этих прогнозов у каждого участника складывается свое мнение-оценка возможной стоимости фирмы V на конец рассматриваемого периода. Последнее позволяет считать цену V случайной величиной с заданными средними: математическим ожиданием m и дисперсией о2.

Легко понять, что, если разрешено инвестировать за счет заемных средств, рынок будет способствовать такому перераспределению капиталов (от тех, кто избегает короткой позиции, к тем, кто ее использует), при котором в равновесии

2WK=VX,2ZK=1. (75) Выбирая объем вложения ZKVX, инвестор К в конце периода будет располагать средствами

F., = (WK - ZKV„)p + ZKV = pWK + Zk(V - pVx). (76)

В этом выражении множитель р = ! + г - коэффициент наращения по начальному вкладу (WK - ZKVX), а второе слагаемое ZKV равно стоимости принадлежащих инвестору акций в конце периода.

Задача инвестора состоит в том, чтобы максимизировать ожидаемую полезность благосостояния FK. Эта полезность является сложной функцией от переменной ZK.

dUk    dUk dFk

Ее первая производная         =        *       = '' ~~ z^krk Д v _ PVX), а вто-

            v

рая производная

d-Uk     d2Uk dFt

= (-2с, )(V -oV V < 0.

dZk     dZkdFk dZk

Поэтому, если нет ограничений на короткую позицию, необходимое и достаточное условие точки максимума запишется в виде:

Е!(1 - 2CKFk)(V - PVX)| = 0. (77)

Подставляя (76) в (77), получим следующее уравнение для определения оптимального значения ZK:

1

L2Ck Откуда:

-pWk-ZK(V-PVx)

[V-pVjUo

(78)

 

ZKE(V-pVx)2 =

2СЬ

PWk E(V-pVx).

Раскрывая математические ожидания в левой и правой частях этого равенства, получим:

ZK(E(V2)-2mPVx +P2VX2) =

1

2С,

-pwk

(m-PVx).

(79)

Рассмотрим равенства (79) при различных к = 1,2, К и сложим их с учетом (75) и тождества E(V2) = о2 + т2. В результате получим:

о2 + m2 - 2mpVx + p2v2 = (m - pVx)

1

^2СЬ

PVx(m-PVx).

 

г-ллтипп I

PU UP   ППГЛПППМТГП   V ПИПАГ

(»-PV.lf2^--m)-a-.

Раскрывая, найдем рыночную стоимость фирмы:

 

Р

^ 2Ск

Таким образом, текущая стоимость фирмы может рассматриваться как дисконтированная величина ее цены т, ожидаемой на конец периода, скорректированная с учетом риска и предрасположенностью к нему инвесторов. Эта предрасположенность характеризуется величинами {Ск}. Инвесторы с малым значением этого коэффициента почти не обращают внимания на риск; для тех же, кто осторожничает, его величина будет существенно выше.

Согласно свойствам квадратичной функции полезности Uk(Fk) значе-

 

Поэтому, как следует из (75), (76), 1

 

и, следовательно,

1

^2С,

— m >0.

Подпись: Анализируя формулу ценообразования (80) для крайних случаев убы
IV! 1
вания и роста коллективной склонности к риску

 

^ 2С j' получим, что на рынке агрессивных инвесторов цена (80) растет и приближается к

безрисковому варианту I Vx -* — I, а для осторожных падает вплоть до

I Р)

обесценивания.

Таким образом, выводы модели полностью согласуются с наблюдаемой реальностью - с массовым ростом рископредрасположенности участников рынка ценных бумаг общий уровень цен на нем повышается.

Здесь мы ограничились частным случаем одной фирмы. В случае со многими фирмами-продавцами (j = 1, 2, 3 ...) формулы равновесных цен имеют вид:

Подпись:

Vx, =

 

p

 

m,

2S

і

Такое расширение позволяет выявить влияние взаимных ковариаций будущих цен и их математических ожиданий.

Процентная ставка, скорректированная с учетом риска

Рассмотрим операцию с ценной бумагой, состоящую из покупки ее в начале периода по цене Р0 и продажи в конце периода по цене Р|. Дивидендные выплаты, полученные таким "однопериодным" акционером, обозначим через D|. В детерминированном анализе за возможную оценку курсовой стоимости принимается уже знакомая нам величина:

 

где гп - эффективность безрискового вложения.

Вместе с тем для инвестора-практика более точной оценкой стоимости является дисконтированная величина ожидаемого дохода, основанная на ставке, которую он прогнозирует в качестве эффективности вклада. В модели системы установления цен на капитальные активы (САРМ) эта ставка rtij определяется ожидаемой доходностью i-ro вложения и согласно основному уравнению равновесного рынка (68):

Щ = го + Pi(mc " го)-

Дисконтируя по этой ставке (по рыночной цене капитального актива), получим оценку текущей стоимости:

Е(Р,) + Е(Р,)

(81)

l + r„ +/8,(те - г.)

В этой формуле числитель равен ожидаемым от акции платежам: математическому ожиданию случайного дохода за счет будущих продаж и дивидендных поступлений (Е(Р|), E(D|)), а знаменатель равен единице плюс процентная ставка, требуемая инвесторами.

Чем больше вносимый рынком риск, тем (при положительных бета) больше требуемая ставка доходности и, следовательно, тем меньше цена акции при заданном уровне будущих потоков платежей.

Напротив, для отрицательно коррелированных активов (rjc < 0), то есть Pi < 0, инвестор, высоко оценивая их хеджирующие способности, готов поступиться частью дохода (rtij < г0) и корректирует безрисковую ставку го в сторону удорожания Р0. В формуле (81) цена акции выражена с помощью коэффициента дисконтирования, скорректированною с учетом риска и знака корреляции.

Опираясь на определение (69) коэффициентов "бета", выведем еще одну формулу цены Р0, основанную на "переадресации" риска со ставки дисконтирования на ожидаемые платежи. Для этого преобразуем выражение (81), раскрыв ковариацию в определении бета і-го вклада (69). Доходность акции ї за период владения ею равна:

r Р.+Р.-Ро

 

отсюда

Р +D -Р соу^.Д^-соуі       - r-

где случайная величина R; - доходность рыночного портфеля С. Используя определение ковариации, перейдем к математическим ожиданиям и получим:

Подпись: R..I-EJcov(rl,rc)

P,+D,-P0 E(P1+D,)-P„

і

= ^-Е{[(Р, + D,)-E(P, + D,)][R, -E(Re)]}- J-cov(P, +D„RC), т. e.

«її         "іі

Pi -

1 cov(P,+D„RC)

Ро-

Подставляя это выражение в (81), будем иметь: E(P,+D,)

1 cov(P,+D,,Rc)/

 

откуда

po(1 + r„) + COV(P,+P'>R<:)(mc-rn)-E(Pl+D,)

и, наконец,

Е(1)-г,сО|Ц 1 + гп В этой формуле

 

(82)

 

_ m1    r" - рыночная цена риска, I = Р| + D| - поступления тл пе-

 

риод, Г|с - коэффициент корреляции случайных величин I, Rc.

В записи (82) дисконтируют по безрисковой ставке, а чтобы учесть риск, корректируют числитель формулы (81), заменяя его на безрисковый эквивалент будущим платежам. Как подход с корректировкой коэффициента дисконтирования (81). так и подход с безрисковым эквивалентом (82) могут применяться для оценивания курсовых стоимостей конкретных акций.

Если величина бета эмпирически оценена, то САРМ позволяет с помощью линии, ценных бумаг (рис. 46) найти ожидаемую доходность акции, которая одновременно дает коэффициент дисконтирования будущих рисковых поступлений.

Выше для простоты были рассмотрены частные случаи проблемы равновесных цен. В общей постановке эта проблема формулируется в тех же условиях, что и расширенная задача об эффективном портфеле (57).

Представим себе инвесторов, которые, опираясь на функции полезности и результаты расчета модели (57), определились с оптимальными решениями своих портфельных задач. Таким образом, каждый знает наилучшие пропорции распределения имеющегося капикиа по пшере сующим его активам. Этого, однако, мало. Чтобы воплотить найденные решения, необходимо еще знать и цены, по которым следует покупать акции. Ответ на данный вопрос дают формулы цен равновесия на идеальном рынке.

О статистическом направлении в САРМ

Рассмотренные в данной главе методы применяются для решения портфельных задач инвестора и для оценивания доходностей и курсовых стоимостей ценных бумаг. Модели и формулы, которые при этом используются, требуют знания определенных вероятностных характеристик финансового рынка и его составных: дисперсий и математических ожиданий, корреляций, условных математических ожиданий.

Количественные оценки этих характеристик находят в результате статистической обработки необходимых для этого реальных данных с помощью хорошо известных методов. Для экономии расчетов в статистике финансового рынка обосновывается целесообразность применения метода ведущего фактора, роль которого играет эффективность рыночного портфеля Rc- Эта величина, именуемая эффективностью рынка, представляет собой взвешенную (с учетом капитала) сумму эффективностей всех рисковых ценных бумаг, обращающихся на рынке.

Конечно, на практике невозможно следить за поведением всех ценных бумаг, поэтому рассмотрению подлежат истории только тех, которые на протяжении достаточно длительного периода фигурируют на торгах и оборот которых достаточно существен для рынка, а в качестве ведущего

фактора используют какой-либо биржевой индекс, рассчитанный с учетом их цен. Эти индексы позволяют оценивать рыночную конъюнктуру одним числом, и чем больше это число, тем конъюнктура считается лучше.

ций выше), однако оставшиеся пары (І; 2) и (2; 3) несравнимы.

Биржевые индексы обычно определяются через взвешенную среднеарифметическую величину всех цен, образующих корзину индекса.

Обозначим Пд и iig число торгуемых акций вида А и В, тогда N = Пд + пв - общее число бумаг. Пользуясь этими обозначениями, введем следующий индекс:

Подпись: пПодпись: п,

N

Ind =-4-Рд +-^-Р,

N

 

N

Таким образом, сравнивая значения индекса, выявим, что наилучшей из всех является третья конъюнктура.

Исторически первым (1886 г.) в "списке" биржевых индексов был показатель, введенный Чарльзом X. Доу и Эдуардом Д. Джонсом. В настоящее время он относится к наиболее известным и рассчитывается путем сложения цен включенных в него акций на момент закрытия биржи и деления полученной суммы на определенный коэффициент.

Аналогично строятся и другие индексы. Например, широко распространенный Standart and Poor's 500 index - индекс 400 индустриальных, 20 транспортных, 40 коммунальных и 40 финансовых компаний и ряд других.

Пусть даны последовательности наблюдений эффективности Rj(t),t = 1, 2,Т и ведущего фактора Rc^, относящегося к тем же моментам времени.

Согласно принятой гипотезе случайные величины Rj и Rc связаны соотношением:

Rj = Sj + bjRc + ej;

где ej - взаимно не коррелированные и не коррелированные с Rc случайные величины с нулевым ожидаемым значением, а постоянные параметры aj, bj подлежат оценке по наблюдениям. Отсюда вытекает, что теопетическая пегпессия R относительно случайной э(1кЬектинности оынка Rc будет линейна:

E(Rj/Rc) = aj + bj Rc.

Известно, что условное математическое ожидание дает наилучшее среднеквадратичное приближение среди всех функций f(Rc)- Таким образом, принятая гипотеза означает, что теоретическая регрессия E(Rj/Rc) совпадает со среднеквадратичной линейнрй регрессией (70).

Из основного соотношения следует, что:

nij = aj + bj iiici и, следовательно,

Rj- mj=bj(Rc- mc) + ej.

Отсюда для вариаций получаем:

Vj=bj2Vc+Vej, а для ковариаций (і * j) имеем:

V—EKRi-miXRj-nij^bibjVc,

где учитываются некоррелированности ei; ej, Rc-

Как сіедусі и і (69) и (70), в рассматриваемом случае коэффициент регрессии bj для і-й ценной бумаги совпадает с ее бета вклада Р;.

При нарушении гипотез идеального финансового рынка возможности применения моделей САРМ и методов классической статистики ограничиваются. С целью преодоления возникающих при этом трудностей прибегают как к более "изощренным" методам идентификации, так и к разработке различных портфельных эвристик, в значительной степени основанных на здравом смысле и возможностях компьютеризации. Эти направления, однако, выходят за рамки обсуждавшихся здесь подходов, и мы их не рассматриваем.

илг-ri*. Ml

—шгшщ, і л* шш

Х

Р П'ЯЄЛЛІГ ДІЛ ЯТ?

 

Г"— — — — 4

і папа і




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010