В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1020367 человек которые просмотрели 19449353 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1349

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




1.4. портфель из акций и банковского счета (портфель, защищающий обязательства)

Вначале несколько наводящих соображений. Пусть на некоторую дату вы имеете платежное обязательство. Характер ваших финансовых операций таков, что его размер определяется ценовой предысторией некоторых активов, считая от текущего момента и до срока платежа. Случайные колебания их цен соответственно порождают случайные изменения объемов предстоящих вам выплат.

Подобная неопределенность будущей обстановки чревата для вас риском невыполнения контрактных условий, и вы заинтересованы в том, чтобы противостоять этому риску и обслужить задолженность с наименьшими затратами начального капитала.

Предлагаемые финансовой математикой методы позволяют выявить условия (характеристики рынка ценных бумаг), при которых хеджирование осуществимо, и если это так, то определить тот начальный капитал, который это хеджирование делает возможным.

Ключевая идея, объединяющая данные методы, сводится к построению такого защитного портфеля, состоящего из "вовлеченных" рисковых активов (акций) и банковского счета (облигаций), что на дату платежного поручения случайная стоимость портфеля гарантированным образом воспроизводит любой из вариантов реализованной задолженности, то есть будет не меньше. В теории эти варианты отождествляются с выплатами эмитента по опциону, а цена поыеднего используется для определения первоначального капитала.

Представленная здесь ситуация гораздо сложнее той частной задачи, на которой мы объясним, как решаются поставленные вопросы. Принятые упрощения сводятся к рассмотрению одного единственного актива (акции) с одношаговой "ценовой" памятью и биномиальным значением будущего курса (1). Исходя из этих предположений в качестве удобной модели, пригодной для описания случайного платежного поручения, воспользуемся колл-опционом, точнее теми его правилами (6), которые определяют потери продавца в пользу покупателя. На примере данной модели покажем, как хеджируются обязательства посредством так называемого синтетического опциона, то есть портфеля, воспроизводящего Платежи по опционному контракту.

X S Z1Ж И D О В З Н И Э CHHTSTH4SGKb"y! опционом "копп"

В силу хеджирующих достоинств минусовой корреляции между акцией и опционом (см. п. 1) разумно часть средств в составе конструируемого портфеля вложить в акции и пусть 6 - число акций, приобретенных на эти средства. Эта покупка обойдется хеджеру (страхователю) в сумму:

Iu = 6Su,

которую он частично соберет из выручки С от продажи опциона, а остаток покроет денежным займом В, взятым под безрисковую ставку г:

С + В = 6S0.

Таким образом, цена портфеля в начале периода (начальный капитал) определяется ценой колл-опциона, то есть

6S0 - В = С. (9)

Капитал в конце периода складывается из стоимости входящих в портфель акций, уменьшенной на выплаты по кредиту: 6S - В(1 + г).

Отсюда видно, что будущая цена портфеля является дискретной случайной величиной с двумя возможными значениями: 6SU - В(1 + г) и 6Sd - В(1 + г), которым однозначно соответствуют значения случайной выплаты по опциону фи И q>d (6).

В результате решение задачи хеджирования свелось к поиску таких значений 6 и В, при которых повариантные обязательства по опциону покрываются повариантными размерами нашего капитала. Очевидно, что отвечающие этим требованиям условия воспроизведения запишутся в виде следующей системы уравнений:

J6SU -B(1 + r)-«pu,

[6Sd -В(1 + г)-ф„.

Из этих двух уравнений получаем:

Su-Sd        (Su-Sd)(i + r) или с учетом соотношений (1),

5          ЧР" ~ЧРч В ФмО + Ф-фаО + ч) (10) ""S0(u-d)'    *     (u-d)(l + r)

При построении данного портфеля л = (6, В) использовались те же составляющие: акция, опцион, банковский счет и с теми же "периодными" свойствами, что и для хеджирования акции в п. 3. Поэтому, уединив акцию и приведя к ней объемные показатели рассмотренной задачи, получим тот же, что и в п. 3, защитный портфель с коэффициентом хеджирования

п = — и начальным капиталом = D . Отсюда и из условия (5) найдем

б          0 б

 

6          = ->В-6І ~ S" ~ Пфц - S" ~ Пф"

п     "   " " п(1 + г) " п(1 + г)

и, пользуясь ею, перепишем (9) в виде: п п

что совпадает с определением (3). Таким образом, независимо от объекта хеджирования, будь то акция (п. 3) или обязательства по опциону (п. 4), теоретическая цена опциона будет одна и та же.

Риск-нейтральная оценка премии за опцион

Преобразуем формулу цены колл-опциона (9) к виду оценки, моделирующей нейтральное отношение к риску. Ее вывод основывается на искусственном введении в биномиальную модель расчетных псевдовероятностей ценовых значений Sj, Su. Этот прием оказался продуктивным не только для изучаемой элементарной ситуации, но и для развития теории и техники расчетов в общем случае как дискретной, так и непрерывной случайной цены акции S.

Не приводя здесь соответствующих результатов, остановимся на частном варианте одноходовой двухценовой неопределенности, который иллюстрирует данный подход. Для-этого заменим 6 и В в способе определения премии (9) их выражениями (10). В результате получаем:

с   (Фи -Фч)с    ФиО -«- d) - фд(1 + и) "S0(u-d) °~     (u-d)(l + r)

(1 + r)q>„ - (1 + г)ф„ - (1 + d)g>u + (і + и)ф„   (г - d)9„ + (и - г)ф„

(u-d)(l + r)        "     (u-d)(l + r)

Итоговое выражение цены запишем как взвешенную сумму дисконтированных на начало периода выплат (6):

'      C_(r-d);;   У"     |  (Ц"Г)х   У" (11)

(u-d)  (1+г)   (u-d)  0 + 0'

Обозначим:

Р . (LliO   р (12)

(u-d)'  d (u-d)

Так как Pu + Pd = 1 и u > г > d, то есть 0 < Pu, Pd < I, то Pu и Pd можно трактовать как вероятности двух взаимоисключающих исходов некоторой случайной величины.

Ассоциируем эти вероятности с возможными значениями случайного курса S, то есть постулируем следующий ряд его распределения:

S

 

s„

р

 

 

Заметим, что образованные таким образом вероятности не имеют ничего общего с истинными вероятностями верхнего Su и нижнего Sd (за исключением малоправдоподобного совпадения) ценовых значений. То же, естественно, относится и к определяемым с их помощью аналогам числовых характеристик случайных величин, например к математическому ожиданию и дисперсии.

Вместе с тем их использование позволяет значительно упростить расчеты и придать им изящную смысловую интерпретацию.

По правилам теории вероятностей наличие функциональных зависимостей между ценой акции S и ее доходностью р = (S - Sq) / S0, а также размером платежа по опциону Ф = max(0; S - К) позволяет перенести введенные для цен Su, Sd вероятности Pu, Pd на соответствующие им возможные значения случайных величин р и Ф. В результате придем к следующим таблицам вероятностей несовместных исходов по доходности р и для платежа Ф:

 

р

d = (Sd - S0)/S0

u = (Su - S0)/S0

р

Pd

P„

ф

<pd = max(0; Sd - K)

<pu = max(0; Su - K)

р

Pd

P„

Пользуясь вероятностями Pd и Pu, найдем для каждой из таблиц сумму взвешенных по ним табличных значений и, основываясь на вероятностных аналогиях, договоримся толковать эти суммы в качестве математических ожиданий соответствующих случайных величин: цены S, доходности р и платежа Ф. С учетом нашего соглашения получим, применяя формулы (12), следующие ожидаемые значения фигурирующих показателей:

E(S) - PUSU + PdSd - f^SH(l + u) + 7^SU(1 + d) = Su(l + r), (u-d) (u-d)

 

E(p) = Puu + Pdd - )    u + )     -^d = r,

(її - d)     (u - d)

r-/TN   n       ™       (r-d)cp,, + (n - r)cn,

Е(Ф; - Р1іФіІ + Pdcpd = -       4^-^     d±.

ivli - u;

Отсюда видно, что ожидаемая доходность акции равняется значению безрисковой ставки г,

E(S) = So(l + Е(р)),

а цена опциона С, определяемая формулой (11), совпадает с дисконтированной на безрисковый процент г величиной ожидаемого платежа:

С--^. (13) (1 + г)

Переходя к подробной записи, получим так называемую риск-нейтральную оценку премии:

 

"(1 + r)        u'(l + r)

Приписываемая этой оценке нейтральность объясняется тем, что способ ее расчета сродни рассуждениям инвестора, который пренебрегает риском своих вложений. В самом деле, дисконтируя по безрисковой ставке г, покупатель опциона придет к такой оценке его текущей стоимости (13), которая игнорирует возможные несоответствия будущих поступлений их ожидаемой величине (учитывает математическое ожидание случайной величины Ф и не учитывает ее дисперсии). Выбирая между банковским счетом и опционом, он сравнивает ожидаемый доход Е(Ф) с начисляемой по вкладу суммой С(1 + г) и выбирает уровень С, руководствуясь условием эквивалентности:

Е(Ф) - С(1 + г). (14)

То же относится и к владельцу синтетического опциона, который, пользуясь псевдовероятностями Ри и Pd, приравнивает ожидаемую доходность своих вложений в акцию к доходности безрискового депозита:

Puu + Pdd = r. (15)

Этим они оба отличаются от небезразличных к риску участников рынка ценных бумаг. Последние, оценивая курсовые стоимости акции, учитывают риск, например, с помощью приемов, изложенных ранее в первой части: либо корректируют ставку дисконтирования (формула 81 первой части), либо вносят поправку на риск в величину ожидаемого дохода (формула 82 первой части).

Непочтительному отношению к риску, которое обнаруживает наблюдаемый нами инвестоп, соответствуют нейтральные по данной характеристике функции полезности дохода и уровневая.

Действительно, если полезность денег измерять их количеством, то условие (14) будет означать, что при равенстве ожидаемых результатов полезность безрискового варианта совпадает с ожидаемой полезностью нестабильного дохода Ф. Отсюда понятно, что поведение инвестора, опирающегося на условие безразличия (14), может быть истолковано линейной функцией, нейтральной к риску: ее ординаты - полезность - совпадают с ее абсциссами - доходом. Аналогичное рассуждение и с тем же выводом можно провести и по отношению к равенству (15).

Вкладчик, использующий критерии'равновыгодности (14), (15), нацелен на ожидаемый доход и не обращает внимания на сопутствующий ему риск. Очевидно, что в терминах уровневой полезности такому "мировоззрению" также будет отвечать нейтральность к риску. Графически это изображается картой кривых безразличия, представленных на рис. 276 первой части.

Однопериодное хеджирование с помощью риск-нейтральной оценки

Не обсуждая далее содержательных аспектов, перейдем к применению данного метода для решения защитных задач. Хотя приводимые ниже расчеты носят простой арифметический характер, соответствующие вычисления становятся гораздо более сложными и трудоемкими в случае большого числа этапов (периодов) и более сложных моделей, описывающих эволюцию цен.

Пример. Биржевой брокер, выполняя поручение своего клиента купить валюту, продоет ему опцион "колл" но 100 единиц требуемой тому валюты (а). В качестве средства платежа выступает волюта р, и пусть So, S] -стоимости 100 ед. валюты а, измеряемые в единицах валюты р в начале и в конце периода. Текущее соотношение курсов таково, что Sq = 150 (Р) (то есть 100 (а) = 150 (Р)), и ожидается, что в момент n = 1 цена может стать равной 180 (повышение курса волюты а) или 90 (понижение курса валюты а). Предположим, что контрактная цена установлена на уровне текущего курса, то есть К = 150 0) и пусть для простоты процентная ставко банковского счета г - 0.

Очевидно, что с ростом курса эмитент лишится суммы: Фи=30(р),

в случае же удешевления - потерь не произойдет и, следовательно, Фа=0.

Желая гарантированно избежать возможного проигрыша q, = 30 (р), брокер обращается к методу синтетического опциона и применяет его для определения параметров хеджирования (6, В) и цены опциона С.

■ vluiI г»і   ljiyi v.«_ iv   v   vpwiwpvivi   v» w  оидип jf.   її unAvm   дилидгш^ і ri   Dtui     і nui yj

рынка;

и = -

150        5        150 5

Подстэвив эти знэчсния в урзвнснис (!5/ получим 47

1р.*(.-Р.)(-|)-о.

и найдем псевдовероятности:

рЛ.р'.Л

з  "и 3"

Согласно (13) величина премии для опциона

С = -х30 = 20 3

и по формулам (10)

30 (l-*

30        1   „ 5

(И)

зо-

.50|^?|   3 (ІЛ

Тогда начальный капитал (9) (начальная стоимость портфеля) может быть записан в виде:

^150-30 = 20. 3

Заметим, что величину заемного капитала В можно было получить и из соотношения (9), что, естественно, дает тот же результат:

В--150-20-30.

3

Следуя найденному решению, брокер (он же эмитент опциона) возьмет в кредит 30 ед. валюты р в нашем случае беспроцентно (г = 0), добавит к занятым деньгам выручку от продажи опциона (С = 20 (р)) и полученную сумму 50 (р) конвертирует (по курсу 100 (а) = 150 (р)) в валюту а. Это даст ему 100 : 3 = 33,33 (а) единиц этой валюты.

Если в конце срока произойдет поднятие валюты а, то 33,33 (а) будут (по курсу 100 (а) = 180 (Р)) давать 180 : 3 = 60 единиц валюты р, что в точности равно той сумме, которую эмитент должен вернуть на банковский счет (30 ((3)) и по условиям контракта выплатить покупателю (180 - 150 = 30 (р)).

Если же происходит понижение курса валюты а, то выплачивать покупателю ничего не надо ((pd = 0), но необходимо вернуть долг (30 (р)). Но 33,33 (а) по новому курсу 100 (а) = 90 (р) в точности дадут 30 (р), что эмитент и вернет на банковский счет.

Заметим, что в этом числовом примере надписзтель опциона остается при своих и в случае поднятия валюты а, и при ее снижении (ничего не выигрывает и ничего не проигрывает). Вместе с тем, будучи брокером, он получает от клиента, помимо платы за опцион С, еше и вознаграждение, скажем, комиссионные, за предоставленную возможность участия на рынке. Не проводя хеджирования, эмитент подвергал бы свой брокерский доход опасности валютного риска, который ему удается свести на нет с помощью синтетического опциона.

Пример. Изменим ставку г в условиях предыдущей задачи на ненулевую и для арифметических удобств положим г = 0,2.

Убедитесь, что при этой ставке премия за опцион увеличится и достигнет величины С = 25 (Р), заемный капитал снизится до В = 25 (р), а

а-валютное наполнение портфеля останется тем же (0_іЛ; проинтер-

претируйте хеджирующие свойства сформированного вами портфеля.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010