В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 972262 человек которые просмотрели 19025007 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1319

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




1.5. многопериодное хеджирование (динамический защитный портфель)

Биномиальная однопериодная модель сводит эволюцию цены к достижению ею одного из двух возможных значений. В реальности таких значений может быть бесконечно много, и окончательный выбор определяется характером изменения цены как случайной функции времени. Проблема моделирования ценовой динамики связана с естественным стремлением "угадать" будущее значение курса. Здесь наряду с упомянутыми ранее методами технического и фундаментального анализа достаточно широкое распространение получили вероятностные модели, которые используются для расчетов различных финансовых инструментов, в том числе при опционном хеджирований.

К этому семейству относится, в частности, рассмотренная выше элементарная модель биномиального ценообразования на период. Ее Можно расширить на любое число периодов. При этом коэффициенты и и d, а также ставка процента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом Шаге возможны только Два ценовых значения, при большом числе периодов это позволяет аппроксимировать достаточно плавно изменяющуюся цену с широким диапазоном возможных значений на дату окончания. Например, если опционы исполняются в конце торгового дня, "периодом" можно считать один час (соответственно подЬбрав величины и, d и г). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции в соответствии с многопериодной биномиальной моделью может иметь до 27 = 128 значений.

Формулы 6-хеджирования

Не вдаваясь в теоретическое многообразие применяемых в многопе-риодном случае методов, ограничимся примером двух периодов, который тем не менее сохраняет специфику динамического хеджирования и ценообразования, используемых в общем случае.

Добавим к рассмотренной ранее одноходовой модели еще один период и допустим, что в зависимости от реализованного в конце первого периода ценового значения дальнейшее движение цены происходит по тем же правилам и в тех же пропорциях и и d. Тогда возможные траектории цен будут выглядеть следующим образом (рис. 4).

1          ► Время

 

Здесь согласно сделанным допущениям:

su = Sq( 1 + u), Sd = So(l + d) - высокая и низкая цены в конце периода 1;

Suu = S0(l + и)*, sdd = So(I + d)2, slld = sdu = Sq(I + u)(l + d) - высокая, низкая и промежуточная цены в конце периода 2.

В общем случае, если тангенсы прямолинейных отрезков меняются в зависимости от промежуточных состояний, * sdu; в рассматриваемом упрощенном варианте эти тангенсы неизменны, и поэтому число различных возможных у финальной цены значений будет равно 22 - 1, то есть трем.

Решая задачу покрытия обязательств для двухпериодного опциона "колл", определим цены Си и Cd, воспроизводящих эти обязательства портфелей отдельно в каждом промежуточном состоянии Su и Sd, что при попятном движении к вершине дерева s0 дает, по аналогии с одно-периодным случаем, требуемый для хеджирования начальный капитал С, то есть цену опциона.

Сочетая выручку от продажи опциона по данной цене с заемными средствами, его надписатель проводит попериодное хеджирование (прямое движение от вершины S0), манипулируя с этой целью количеством акций и объемом заемных средств в составе защитного портфеля (синтетического опциона). В начальный момент он подгоняет число акций 6q таким образом, чтобы обеспечить приписываемые защитному портфелю стоимости Си и Cd на конец первого периода. Очевидно, что условия такой воспроизводимости имеют следующий вид:

60SU- В0(1 + r) = Cu,

S0Sd-B0(l +r) = Cd,

с -с.     _ _

и, значит, 60 - —-—, В0 = 6о S0 - С.

ьц - ьй

Аналогично в начале второго периода, когда обстановка прояснится, производится окончательная ревизия защитного портфеля с помощью все той же схемы, примененной к одному из реализованных состояний Su или Sd.

Для верхнего узла соответствующие условия запишутся в виде:

&iuSuu - Во(1 + Г)2 - Sgn(6,u - fio)B|(l + Г) = «ид,,

Sb,S,J(J - B„(l + г)2 - sgn(6J(, - 6o)B,(l + г) = <р1кЬ

где sgnx (= 1 при х > 0, = 0 при х = 0, = -1 при х < 0), a sgn(5iu - б0)В | -изменения банковского счета, обусловленные продажей или покупкой акций в зависимости от соотношения чисел 8|„ и бо-Отсюда требуемое число акций

*          Фш. - Фігі

 

Аналогично этому в нижнем состоянии

 

^ud Л<И

В случае многих периодов соответствующий коэффициент получается так же, как для рассмотренного двухъярусного варианта: делением "размаха" воспроизводимых стоимостей на величину ценового "расхождения" акции.

В литературе этот способ определения требуемого количества акций 6 известен как метод ^-хеджирования, а сам параметр 5 называется коэффициентом 6-хеджирования. Основанная на данном методе стратегия состоит в том, чтобы следить, в какой точке находишься, и держать в памяти показатели, благодаря которым можно покупать и продавать так, чтобы получалось заранее определенное (воспроизводимое)-число.

Пример на хеджирование двухпериодного опциона

В кочестве ситуационного "гарнира" рассмотрим торговую сессию, на которой первично размещается тысяча (1000) опционов на покупку акций некоторой фирмы. Действующему по поручению данной фирмы брокеру удалось реализовать эти опционы по цене, выше теоретической, и он заинтересован в том, чтобы защититься от риска возможного подъема акций и тем самым удержать полученную им. разницу и оплату своих услуг.

Используя данный пример, проделаем вес расчеты, необходимые для применения 6-хеджирования в двухпериодной биномиальной модели. В качестве отправной точки зададимся следующими числовыми характеристиками опциона: срок исполнения - два периода, цена исполнения -500 д. е. (К. = 500). Будем, кроме того, считать, что безрисковый процент г и возможные доходности d и и базовой акции не меняются и по каждому из периодов имеют следующие одни и те же значения: г = 10%, d = - 20%, и — 20%, Приступая к построению динамического портфеля, мы исходим из возможности продавать и покупать акции по действующим текущим ценам, причем цена на начало первого периода известна и равна 500 д. е. (S0 = 500).

Бинарное дерево иен. Вычисления начнем с определения возможных по периодам ценовых значений. После закрытия каждого периода рыночная цена акции может либо увеличиться, либо пойти вниз в зависимости от реализованного значения индекса цен: 1 + и = 1,2 или 1 + d = 0,8. Таким образом, переоценка курса акций происходит в ходе возможных перемещений по ценовым уровням первого и второго периодов:

Su = 1,2S0 = 600, Sd = 0,8S0 = 400 и соответственно (рис. 4)

Suu = 1,2SU = 720, Sue = 0,8SU = 480, Sdu = 1,2Sd = 480, SM = 0,8Sd = 320.

В результате будем иметь дерево цен с тремя конечными вершинами, где числа в узлах показывают возможные значения цены по каждому периоду (рис. 5).

Псевдовероятности. Чтобы воспользоваться методом риск-рейтральной оценки, найдем расчетные вероятности Ри и Pd, приписываемые возможным значениям случайной доходности базовой акции. По условию эти значения не зависят от номера периода; поэтому и соответствующие им вероятности переходов в верхнее (Р„) и нижнее (Pd) положения не меняются по каждому из указанных направлений. Б рассматриваемом случае уравнение (15) примет вид:

П ~? !>       .'і ~і гл              п і

",^«4, - ",^rd -где Р„ + Pd = 1. Решая, получим Ри = 0,75; Pd = 0,25.

Платежные обязательства по опииону. Рассчитаем возможные выплаты эмитента по опциону в зависимости от реализовавшегося ценового сценария на дату исполнения. Применяя формулы (6) для каждого концевого узла, найдем терминальные значения платежных обязательств эмитента или выступающего от его лица брокера. Двигаясь сверху вниз, получим:

<pllu = max(0; 720 - 500) = 220, <pud = max(0; 480 - 500) = 0, q>dd = max(0; 320 - 500) = 0.

Цена опциона. Для определения цены воспользуемся принципом воспроизводимости (9), (10), (13) последующих по отношению к каждому узлу ценового дерева (рис. 4) платежей. В рассматриваемом двухпериод-ном случае требуемые для этого вычисления сводятся к последовательному применению данного принципа с помощью трех однопериодных моделей. Две из них соответствуют движению от концевых вершин к промежуточным состояниям Su и Sd. Рассматривая вспомогательный (несуществующий) однопериодный опцион по верхнему из этих узлов, найдем справедливую премию (цену) (13):

0,75 * 200=150

1,1

Для нижнего узла расчетная по второй вилке цена (13) будет нулевой: Cd= 0.

Это, впрочем, понятно и без расчетов и объясняется отсутствием платежных обязательств, то есть риска потерь, по нижнему сценарию (ф^ = (pdu = 0).

Замыкая метод воспроизводимости промежуточных капиталов, в нашем случае Си = 150 и Cd = 0, на "текущую" вершину So получим по формуле дисконтирования средней стоимости (13) искомую цену двухпе-риодного опциона:

С и 0^5x150 _} 1,1

то есть величину необходимого для хеджирования начального капитала.

Коэффшшенты д-хеджшювания. Для двух и более периодных опционов двухмерности защитного портфеля (акция, банковский счет) не хватает, чтобы изначально обеспечить разовое покрытие всех обязательств. Это происходит из-за превышения размерности требующих воспроизведения платежей числа настраиваемых параметров (6, В) и поэтому неразрешимости соответствующей системы уравнений, у которой число неизвестных оказывается меньше числа условии. В этом случае, согласно общей теории, оптимальной будет стратегия синтетического опциона, меняющегося во времени в соответствии с расчетными коэффициентами 6-хеджирования.

Вычислим эти коэффициенты по данным рассматриваемого примера. Разделив разность стоимостей Си = 150 и Cd =? 0 на разность цен Su = 600 и Sd = 400, получим начальный коэффициент:

6„         ™        0,75.

'    600 - 400

Для определения коэффициентов следующего периода найдем аналогичные отношения по каждому промежуточному состоянию Su и Sd, где в качестве воспроизводимых стоимостей выступают "висячие" платежи ср,ш, ФисЬ ФсМ (конечные стоимости защитных портфелей). В результате будем иметь:

220

б,„        0,91(66), 8,н= 0.

1     720-480 ld

Оптимальная хеджирующая стратегия. Для того чтобы описать ее устройство, определим, какое количество акций надо держать в защитном портфеле в исходной (So) и промежуточных (Su, Sd) точках. Это можно подсчитать, если известно, какое количество колл-опционов продано в порядке первичного размещения. Для того чтобы закрыть короткую позицию (продажу) по колл-опционам (1000) длинной позицией (покупкой) по акциям, нужно умножить 1000 на вычисленные коэффициенты (&о> °im °id): в начальной позиции мы имеем 1000 х 0,75 — 750, дальше снизу вверх 0 и 916,(66) » 917.

Опираясь на найденные значения коэффициентов, опишем стратегию

динамического 6-хеджирОванйя. Требуемый для ее реализации капитал

изымается из вьґручки от продажи опционов в объеме, равном произве-

дению теоретически справедливой цены С на число размещенных кон-

трактов:'   '      ' '

С0= 102Д27) х 1000 = 102272,(72) - 102273.

В начальной позиции (п = 0) хеджеру, чтобы купить 750 акций, нужно иметь 375000 д. ед. (500 х 750). Располагая начальным капиталом Со = 102272,(72), он снимает недостающую ему сумму Во = 375000 - 102272,(72) = 272727,(27) с банковского счета под ставку г = 10% и приобретает требуемые ему акции в требуемом ему количестве.

Проследим, как производится перебалансировка защитного портфеля

(n = 1). Количество акций на начало первого периода - 750.

Если цена акции повысилась до 600 д. ед., то число акций надо дове-

~—..    СП    Г!                 ,   г-.т-.^т-.-.-а—■ rnv-;-iiTl   '£7 as,-    л"         ~— ™~Ч'Л ~..

i-in        sir. іл^іп -jik'i-> -.і"Дуе; ДОї^у і і ї" 1:>        ;v.• :;:j:c.     їїаг.;: ^г.

за счет дополнительного займа B!u = 100200 (600 x 167). Что будет дальше, то есть на дату истечения (п ~ 2)?

В конце срока хеджер распродает все имеющиеся в защитном портфеле акции, а выручку направляет на погашение своих обязательств - по опциону и долговых. Правила 5-хеджирования таковы, что поступления от продаж должны в точности соответствовать всем платежным поручениям. Убедимся в этом. Для этого подсчитаем деньги, заработанные на г-рпл^же ак!!ий пгї каждому вариант1/ ^S^..,. S,,,h): верхнему, для которого выручка

Мш= 720 х 917 = 660240,

и нижнему с поступлением

Mud = 480 x 917 = 440160.

Очевидно, что данные варианты тождественны по величине начисленной по займу суммы:

Z = В0(1 + г)2 + В,(1 + г) = 272727,(27) х 1,21 + 100200 х 1,1 - 440220, но различаются размерами выплат по опциону: наличием обязательства в объеме 220000 (1000 х 220) для верхнего положения и отсутствием обязательств, то есть нулевым платежом, внизу. Проверяемое условие сводится к выявлению наличия следующего баланса:

выручка = накопленный долг + обязательства по опциону.

В нашем случае из-за необходимости арифметических округлений данное тождество принимает вид двух приближенных равенств по верхнему (Suu) и соответственно нижнему (Slld) состояниям:

660240 - 440220 + 220000; 440160 - 440220,

что, впрочем, не влияет на существо дела.

Перейдем к составляющей стратегии хеджирования, которая включается в нижней точке Sd. На нисходящем отрезке траектдрии (S0-» $d) цена снизится до .400 д. ед., а соответствующий коэффициент хеджирования 6 id обнулится (6|d = 0). Согласно процедурам хеджирования это означает, что все содержащиеся в защитном портфеле акции (750 штук) следует продать, а выручку направить на обслуживание долга.

В этом случае (так же, как и для уже рассмотренных выше альтернатив) поступления от продажи акций

Md = 400 х 750 = 300000

в точности закроют наращенные на ту же дату обязательства по займу Z = В0(1 + г) = 272727,(27) у. 1,1 = 299999,(9).

Оос'у'Жиение. Независимо от варианта ценовой траектории орокер, применяющий технику синтетического опциона, полностью исключает

рпчГУ    IIVIIJIUlV/lvri    Г1    _/I4it-l Ul IJLlt, I W/l    L>    Ъ.и^ШЛГ1Г1П    D Dl 1 IUJ1 II HID   VliV^M UVflJaiUJID-

Сїйа при любим возможном сценарии развития рыночной конъюнктуры.

Так, если опционы проданы по теоретической цене С = 102,(27), он ничего не выигрывает и ничего не проигрывает как в случае поднятия курса акции, так и в случае его снижения, но сохраняет при этом свои "брокерские" комиссионные. Если же ему удалось разместить контракты по цене 112,5, то есть выше теоретической на 10%, то в расчете на 1000 проданных опционов, его чистый доход, помимо комиссионных, достигнет 10227 д. е. (10,2(27) х 1000).

"ї і її К.,  'її v/vJbi СиЛри!~ї гї і Ь І5ЬЇ1 ч/ДУ О»   »їрІуДілЖгі  і ІО JUbblLUCHHOti  ЦСгїС,  і ї сіДО

создать защитный портфель. Если этого не сделать, то при неудачном будущем можно проиграть. В нашем случае - это обязательство <р1Ш = 220, которое не покрывается наращенной суммой начального капитала:

112,5 х (1 + 0,1)2= 136,12 < 220.

V критически настроенного читателя в отношении действии хеджера может возникнуть целый ряд вопросов. В частности, если акция двухгодичная и выплата происходит в конце второго периода, надо ли что-то предпринимать в первый период. Может быть, лучше дождаться его окончания, определить по схеме, в какой точке мы оказались, и после этого по однопериодной модели, всегда дающей верный результат, найти коэффициент хеджирования S и составить правильный портфель?

Однако такая логика ожидания не дает желаемого результата. Следуя ей, "примерный" хеджер приходит в точку Su = 600 с все еще пустым портфелем. Заполняя его в соответствии с коэффициентом 6hl = 0,91(66), он Должен будет купить 917 акций по цене 600 д. ед., то есть заплатить 550200 д. ед. Между тем, последовательно хеджируясь, мы могли бы купить это же количество акций по частям и в итоге затратить значительно меньше средств.

Но если до конца первого периода мы ничего не предпринимали, то дальше хеджироваться бесполезно, так как полностью исключить риск непокрытия обязательств уже не удастся. Подтвердим это с помощью все того же примера/Начальный капитал Сп = 102272,(72) на конец первого периода возрастет до величины:

С0(1 + 0,1) = 112499,(9) - 112500,

что меньше стоимости требуемых нам 917 акций на 437700 д. ед. Заняв эту недостающую сумму, мы купим акции и одновременно примем на себя обязательства вернуть в конце второго периода "набежавший" долг в размере 437700(1 + 0,1) = 481470 д. ед.

В зависимости от реализованного на конечную дату варианта неопределенности к этому долгу в верхней точке (Suu) добавится платеж по опционам (ЮООфцц), равный 220000, в нижней же точке (Sud) не добавляется НИЧеГО imucJ — 0).

Таким образом при наименее благоприятном верхнем исходе итоговое обязательство составит 701470 денежных единицы (481470 + 220000), которые не покрываются выручкой от продажи акций, равной 660240 д, ед, (720 х 917), При этом недостача в 4.1230 д. ед. соответствует 5,9% от требуемой суммы и, следовательно, отсутствует необходимая натич-

В завершение примера обратим внимание на одну особенность хеджера, которая коренным образом отличает его от спекулянта. Последний, как мы уже неоднократно отмечали, стремится покупать акции тогда, когда они дешевле и ппо^звать их когдэ они подопожают. Хеджеп же делает все наоборот. Так, в нашем примере рн при подъеме в точку Su (удорожание) докупал к имеющимся 750 акциям еще 167 штук, а при скатывании в нижнюю точку Sh (удешевление) полностью распродавал имеющиеся у него 750 акций. Это Объясняется тем, что при Подъеме курса на завершающий срок обязательства по колл-опциону растут и, следовательно, растут требования к направляемым па их покрытие средствам; источником же этих средств служит выручка от распродажи содержащихся в защитном портфеле акций.

Обобщая, можно сказать, что "крылатый" совет спекулянтам от барона Ротшильда "Покупайте дешево и дорого продавайте" в назидание хеджерам оборачивается отрицающей его формулой "Покупайте дорого и продавайте, когда дешево".

Продемонстрированная в примере техника расчетов единообразно распространяется на многошаговый вариант, при этом, чем короче назначается шаг, тем развесистее получится дерево биномиальной модели и тем точнее она будет имитировать процесс ценовой эволюции. Процедуры, копирующие изложенные выше правила обратной разметки узловых цен и их прямого воспроизведения, легко алгоритмизируются и переносятся на ЭВМ. Это, в свою очередь, позволяет автоматизировать расчеты, связанные с поэтапным пересмотром защитного портфеля и переторговлей.

Отметим принципиальную разницу в подходах, используемых для установления рациональных курсов первичных ценных бумаг по сравнению с теоретическим ценообразованием опционов. Если в первом случае цена считается из условия воспроизводимости ожидаемых доходов, tq для опциона определяющими являются условия воспроизводимости, но уже ожидаемых платежей по обязательствам (11). Справедливости ріадй, заметим, что для покупателя опциона "колл" это будут* ожидаемые им поступления.

В случае n-периодного колл-опциона для однократного •расчета цены следует найти современную величину ожидаемого платежа, иначе говоря,

с  м(ф) ■

(1 + г)"

Несмотря на то что выручка С от продажи опциона покрывает ежи даемый платеж М(Ф), риск несоответствия, измеряемый среднеквадрати-ческим отклонением

о(Ф) = М[Ф - М(Ф)р = М[Ф - С(1 + г)»|2, будет сохраняться. Для того чтобы избавиться от этого риска, продавец опциона может воспользоваться представленными в данном разделе схемами и направить свой начальный капитал С на формирование защитного портфеля.

Пример. Согласно данным базового примера случайный платеж Ф имеет три возможных значения: фии " 220, фис| = 0, ф,^ = 0. Их вероятности

можно определить с помощью известной схемы Бернулли: каждый раз проис-'- ходит случайное испытание, и каждый роз может с вероятностью Ри = 0,75 произойти подъем или с вероятностью Pd = 0,25 - спуск.

В соответствии с решеткой случайных блужданий, изображенной на рис. 5, интересующие нас вероятности будут равны:

Puu = Pu2 = 0,5625; Plld = PuPd + PdPL, = 0,375; Pdd = Pd2 = 0,0625.

Отсюда ожидаемая эмитентом выплата получится как взвешенная по этим вероятностям сумма платежей фии, <pUd и ф^, из которых два последних равны нулю:

М(Ф) = 0,5625 х 220 = 123,75.

Дисконтируя эту величину по ставке г = 0,1 на начало, найдем цену опциона

123 75 С „l±±!f. Ю2,27,

(1,1)2

что совпадает с полученным ранее результатом пошаговых расчетов.

Оценим риск платежа Ф, который можно исключить с помощью хеджирования. В отличие от относительного измерителя, которым является процентная ставка, величина платежа абсолютна, и поэтому в качестве измерителя риска воспользуемся относительным, в отличие от СКО, показателем: коэффициентом вариации ае = о(Ф)/М(Ф). Найдем абсолютный риск, измеряемый дисперсией:

аЦФ) = М(Ф)2 - М2(Ф) = 0,5625 х 2202 - 123,752 = 11910,9375.

Подставляя это значение в формулу относительного измерителя, получим интересующее нас значение:

109,14 пее

ае         — - 0,88.

123,75 /. 6. ЗиЩЧтНЫе пОртфеДіі, вСНОвиКНЫе Ни ОНЦиОНИХ "tiyttl"

Синтетический пут-опцион Основанное на пут-опционах хеджирование проводится аналогично. Поэтому для изложения сути дела вполне достаточно уже разобранных приемов "самообороны" как от возможного в будущем обесценивания ваших акций (п. 3), так и от возможного зависания ваших будущих обязательств (п. 4).

Пример. Чтобы убедиться в схожести (с точностью до незначительных модификаций) используемых подходов, ограничимся простой арифметической иллюстрацией построения синтетического опциона. Напомним, что этот финансовый инструмент представляет собой такую смесь банковского счета (облигаций) и акций, которая прикрывает обязательства эмитента по опциону (исключает риск его неплатежеспособности). Для удобства сравнения защитные портфели по каждому типу опциона ("колл", "пут") будем конструировать . параллельно и при условии, что объектом подписания является один и тот же базовый актив - акции компании "Рога и копыта".

Расчеты будем вести, опираясь на биномиальную однопериодную модель, в которой текущая цена акции Sq = 100, а случайная величина будущей цены состоит из двух значений; высокого - Би = 160 и низкого - = 80. Допустим, что условия надтісания каждого из опционов ("пут" и "колл") предусматривают одну и ту же цену исполнения, равную текущему курсу акции, то есть К ■» 100. Зададимся, кроме того, безрисковой ставкой процента г = 10% независимо от того, ссужаются деньги или берутся взаймы.

Ниже в обозначениях одноименные характеристики колл- и пут-опционов будем различать соответствующими этим опционам индексами "К" и "П". Очевидно, что обязательства продавца колл-опциона в случае повышения цены акции и при ее понижении будут равны следующим величинам:

Фик = max {0, 160 - 100} = 60, фак= max {0, 80 - 100} = 0.

Аналогично, пользуясь правилами подсчета платежей для пут-опциона, придем в верхнем положении Su к нулевому обязательству:

Фи11 = max {0, 100 - 160} = 0,

а в нисходящей точке Sd получим ненулевое платежное поручение на сумму:

Ф<,п = max {0, 100 - 80} = 20. ;

Для наглядности данные о ценах и платежных обязательствах представим с помощью двух "рогаток", изображенных на рис. 6.

 

160:60

160:0

 

100 •

100 ■

 

80;0

80:20

а) опцион на покупку            б) опцион на продажу

Рис. 6. Цены и платежи для однопериодной срочности

Пусть 6 - число акций в защитном портфеле, а В - первоначальный размер средств на банковском счете. Капитал этого портфеля складывается из двух составляющих. В исходной точке его значение дает величину:

10 = 6S0 + В,

которая на дату истечения меняется до финальной стоимости портфеля I = SS + В(1 + г).

Для того чтобы портфель защищал обязательства, эта стоимость должна их воспроизводить. Если это так, то обменяв портфель на деньги, его владелец всегда рассчитается по долгам: и при подъеме цены до Su, и при ее снижении до Sd.

Исходя из этого, условия хеджирования можно записать двумя (по числу исходов) линейными соотношениями относительно идентифицирующих портфель переменных 6, В. Используя в этих соотношениях известные нам числовые данные, придем к следующим системам уравнений для определения синтетических опционов "колл" и "пут":

Подпись: 1606, + 1,1В к - 60, 806к-+1,1В. - 0.160бп+1,1ВП-0, 806п +1ДВП = 20.

Решая эти системы, найдем защитные по каждому из рассматриваемых опционов портфели:

*к= (К0,75; Вк* -54, (54)); кп = (6П » -0,25; Вп = 36, (36)).

Каждый такой портфель оплачивается капиталом, который эмитент опционов формирует за счет выручки от их продажи. Поэтому цена опциона должна равняться начальной стоимости портфеля:

С = 6So + Во-

Это тем более верно, что любой из выбранных нами портфелей порождает те же платежи, что и отвечающий ему опцион.

Подставляя в формулу ценообразования числовые параметры портфелей як и яп, определим интересующие нас цены опционов "колл" и "пут":

Ск = 0,75 х 100 - 54,(54) = 20,(46); Сп = - 0,25 х 100 + 36,(36) = 11,(36).

Проинтерпретируем полученные выше числовые характеристики. Начнем с опциона "ком". Чтобы его воспроизвести, следует занять 54,(54) д. е., добавить к ним премию за опцион Ск = 20,(46) и все средства инвестировать в отрасль, работающую на "нужды гребеночной и мундштучной промышленности", то есть купить 0,75 базовых акций.

Что касается опциона "пут", то для его защиты от риска следует провести "короткую" продажу 0,25 акций, а вырученные деньги вместе с доходом по опциону Сп = 11,(36) предоставить в кредит (то есть инвестировать в безрисковую облигацию 36,(36) д. е.). Напомним, что согласно правилам "short sale" продаваемые без покрытия акции берутся в долг, а затем на дату истечения покупаются и возвращаются их первоначальному владельцу, в нашем случае - через период и за счет накопленных на банковском счете средств (погашение облигации).

Несмотря на видимую равновыгодность, выбор объекта надписания ("колл" и "пут") может, помимо всего прочего, зависеть от складывающейся на рынке ценных бумаг обстановки. Например, при повышении спроса па опционы определенного направления создаются условия для их выигрышной (по завышенной цене) продажи с последующим сохранением полученной разницы с помощью хеджирования.

Взаимосвязь опционов "колл" и "пут"

Обратим внимание на следующие зависимости между коэффициентами хеджирования и размерами средств на банковских счетах, которые объединяют представленные выше "левую" и "правую" задачи:

6Х- 6П = 0,75 - (-0,25) = 1,

К = 1 ПО

В „ - В к = 36, (36) - (-54, (54)) -       - - 90, (90).

То, что это совпадение неслучайно, легко убедиться, перейдя к алгебре. В самом деле, аналитическое обобщение этих задач на любой набор выплат дает следующие пары условий воспроизводимости:

S,5, + fl + r)B,-Su - К

sd6K + о + г)Вк = о

s0an+a + r)B„-o,

SA + (1 + г)Вп =K-Sd.

D

Решая данные системы, например, по правилу Крамера, найдем параметры синтетического колл- и соответственно пут-опционов:

,     Su-K   n     Sd(Su-K) ,

(l + r)(Su-Sd)'

K-sd   B SU(K-Sd)

"      Su-Sd'   n    (l + r)(Su-Sd)' для которых (что проверяется непосредственно)

бк-5п=1, Вп-Вк=^-. (16)

Опираясь на эти свойства, выясним, как связаны цены разнонаправленных однопериодных опционов. Мы знаем, что цена опциона равна начальному капиталу 10, то есть

 

Откуда, с учетом (16),

Сп — С „ ш —S„ +   

"1 + г

и, следовательно, взаимосвязь "пут-колл" (put-call parity) имеет вид:

Se + Cn-CK-JjL. (17)

Это означает, что портфель, состоящий из акции, пут-опциона и короткой позиции по (проданному) колл-опциону, будет продаваться и покупаться по цене, равной цене исполнения, дисконтированной на безрисковый процент. Отсюда ясно, что специализированную по данному типу опциона систему уравнений можно использовать не только по прямому назначению, но также и для определения стратегии хеджирования по отношению к опциону противоположной направленности.

Заметим также, что если цена исполнения опционов совпадает с сегодняшней рыночной ценой актива (К - So), то, как видно из (17),

ск - сп - s() -    > о,

к    п     " 1+г

то есть опцион на покупку дороже опциона на продажу.

і Примарі Воспользуемся формулой (17) и нойдвм цену пут-опциона из і предыдущего примеро с условиями Sq " К - 100, Ск - 20,(46). Вычисляя, по-I пучим то же значение:

СП-20,(46)-100 + ^.11,37,

которое было рассчитано в предыдущем примере без использования соотношения дополнительности (17).

Установленные выше взаимосвязи между однопериодными опционами "колл" и "пут" носят общий характер и присутствуют также в более сложных случаях многошаговой и непрерывной эволюции цен. В связи с этим приемы пуі-опциинниі и хеджиривания аналогичны тому, что делается при рассмотрении колл-опционов.




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010