В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 1002940 человек которые просмотрели 19284442 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 70 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Инвестиции и хеджирование

Автор: В. В. Капитоненко

Жанр: Управление капиталом и риском

Рейтинг:

Просмотров: 1338

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |




1,7, о хеджировании с учетом непрерывной эволюции иен

До сих пор кардинальные вопросы теории опционов: определение рациональной премии за опцион и определение хеджирующей стратегии эмитента - решались исходя из дискретных представлений эффективности оезрисковых и рисковых вложений ло vjuHKOBCKOMy счету и для акции

г _ В'+' - В-   0 „ S'^~S' (18) В,     '   ! S,

Здесь r( = г - неменяющаяся во времени безрисковая ставка процентов, а последовательность pi, р2, ... - независимые (в вероятностном смысле) случайные величины с двумя возможными значениями d и п.

Чтобы получить ответы на те же вопросы применительно к непрерывному времени, следует перейти от характеристик динамических рядов (18) к их дифференциальным аналогам, измеряющим темпы прироста на непрерывных траекториях.

Модель Блэка-Шоулза

,В теории фондового рынка рассмотрение подобных характеристик для

решения Проблемы Непрерывного Времени базируется На СЛеДуЮЩИХ ДИт

намических моделях их поведения:

а)         эффективность безрисковых вложений определяется постоянной

силой роста 5, так что величина вклада B(t) изменяется во времени со-

гласно уравнению:

09)

dt B(t)

Заметим, что непрерывное наращение процентов по правилу (19) яв-

ляется, о чем уже упоминалось в самом начале (ч. I п. 1 Л), достаточно

точным приближением дискретной капитализации (ч. I, формула 7). Эта

аппроксимация действует тем точнее, чем будет выше частота оборачи-

ваемости денег; в нашем случае - чем больше единичных периодов на-

числения уложится в сроке до исполнения контракта;     ' !

б)         эффективность вклада в акции (или любые ценные бумаги, на ко-

торые выпускается опцион) случайна и меняется согласно стохастиче-

скому уравнению

^4-^on(t), (20) dt Ь

ґде n(t) - случайный процесс с некоррелированными значениями, нулевым математическим ожиданием и бесконечной дисперсией, - так называемый "белый шум".

В основе этого термина лежат физические представления, связанные с быстро изменяющимися величинами, значения которых, разделенные очень малыми промежутками времени, практически независимы. При разложении таких случайных функций на элементарные гармонические колебания гармоники всех частот оказываются одинаковыми по интенсивности. Эта аналогия с белым цветом и послужила причиной того, что такие случайные функции называются белыми шумами.

Корреляционная функция подобных процессов представляется в виде произведения скаляра а, называемого интенсивностью, на о - функцию разности аргументов. В модели (20) фигурирует белый шум с единичной интенсивностью (а = 1), то есть

It [n(t) х n(t')] = 6(t - Ґ),

С

где 6(х) = 0, при х * 0, = оо, при х = 0, и JV>(x)dx     при любом є > О.

С помощью "белого шума" в соотношении (20) моделируется достаточно хаотичный характер поведения цен, который сказывается на неупорядоченности флуктуации относительной скорости их изменения вокруг ожидаемого значения ц.

Из уравнения (20) следует, что логарифм цены является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой увеличивается за время t на tut, а дисперсия - на o2t, так что ц есть скорость роста ожидаемого значения, а а2 - скорость роста дисперсии, предполагаемые постоянными.

Приняв модель (20), Блэк и Шоулз установили следующую формулу для оценки действительной стоимости опциона "ком ":

Ск = SN(d,) - Ke(-6T)N(d2), (21)

где

1п(%) + (а + 05а2)Т (22)

 

м„««)

 

Здесь приняты следующие обозначения:

S - текущая рыночная цена базисного актива;

К - цена исполнения опциона;

6 - безрисковая ставка непрерывных процентов в расчете на год (в виде десятичной дроби);

Т - время до истечения, представленное в долях в расчете на год;

о - риск базисной акции, измеренный стандартным отклонением ее доходности, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на гол (в виде десятичной дроби);

N(cf) - вероятность того, что при нормальном распределении с нулевым средним и единичной дисперсией результат будет меньше а.

Несмотря на кажущуюся сложность формулы (21), она достаточно широко используется на практике. Например, воспользовавшись ею, можно обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены (21). Опцион, который продается по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку; и, наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу.

Более того, при правильном прочтении запись (21) подсказывает, как алгоритмически провести хеджирование, согласуя его с наблюдаемым курсом акции. Чтобы это прояснить, сравним равенство (9) для синтетического однопериодного колл-опциона с обсуждаемой формулой (21). Мы видим, что величина N(d|) в соотношении (21) соответствует множителю 6 в (9). Так как 6 - это коэффициент хеджирования, то величину N(dj) в формуле Блэка-Шоулза можно объяснить аналогичным образом. То есть, она показывает количество акций, которое инвестору следует купить, чтобы получить такие же выплаты, как и по опциону "колл".

Аналогично величина KN(d2)/e(-fiT) соответствует В. При этом В - это сумма средств, которую хеджер занимает, осуществляя данную стратегию, то есть величина KN(dj) соответствует номиналу займа, поскольку его сумма должна быть возвращена кредитору в момент Т - дату истечения. Поэтому е(-бТ) - это дисконтирующий множитель, указывающий на то, что ставка процента по займу составляет б и он предоставляется на период Т.

Таким образом, сложная на первый взгляд формула Блэка-Шоулза получает простое объяснение. Она позволяет рассчитать начальную стоимость синтетического опциона, состоящую из средств на банковском счете и в акциях, а также хеджирующую стратегию, которая дает в момент Т те же выплаты, что и опцион "колл".

Доказательство Блэка-Шоулза базируется на теории случайных процессов и завершается интегрированием уравнения в частных производных. И то и другое перекрывает математические горизонты данной книги и выходит за рамки требований к ее читателю, ограниченных отчасти возможностями и вкусами ее автора.

Вместе с тем идея доказательства достаточно прозрачна: составляется безрисковый портфель (аналог (3)) из опциона на покупку и некоторого количества акций. Его конструкция подгоняется таким образом, чтобы из смеси опциона с акциями получить безрисковый актив (облигацию). Цена такого портфеля в любой момент времени не должна зависеть от курса акции, а определяется лишь эффективностью безрисковой компоненты.

Моделируя эти требования, авторы доказательства приходят к базовому дифференциальному соотношению относительно функции CK(S, t) (цены опциона) при очевидном краевом условии:

CK(S, Т) = max(S - К, 0). (25)

Это равенство, как легко понять, отражает стоимость опциона на момент его исполнения: ничего не стоит, если контрактная цена К больше курса S; при выгодной для покупателя контрактной цене (К < S) его справедливая стоимость определяется разницей S - К.

Формула (21) и является результатом интегрирования с заменой отсчета времени назад, от даты исполнения опциона.

Приложения формулы Блэка-Шоулза

Приведем цитату из известного учебника Р. Брейли, С. Майерса "Принципы корпоративных финансов", рекомендуемого для изучения во многих университетах, в котором выводится эта формула: "Насколько далека эта теория от практики и далеко ли теоретики оторвались от нужд биржевых спекулянтов? Оказывается, нет. Это одна из наиболее часто используемых формул. Брокеры и дилеры в течение дня много раз используют ее в своих практических расчетах".

Почему это так и как пользоваться формулой, вы сейчас увидите на простых иллюстрациях. Для этого нам потребуется таблица значений функции N(d), которая позволяет упростить процесс вычислений.

Оценка премии за опцион. Покажем на конкретных числах, как пользоваться данной таблицей и формулой (21) для рационального назначения премии за опцион.

Пример. Определим стоимость опциона "колл", который истекает через три месяца и имеет цену исполнения 40 долл. (таким образом, Т = 0,25 и К = 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно 36 долл. и 50%, а безрисковая ставка равна 5% (S = 36, а " 0,5, 6 = 0,05). Подставляя числовые данные в формулы (22) и (23), найдем значения di и А?.

d

- -0,25;

-0,25 -0,5-^25 =-0,50.

Таблица значений N(d) для отдельных значений d

 

d

N(d)

d

N(d)

d

N(d)

 

 

-1,00

0,1587

1,00

0,8413

-2,95

0.0016

-0,95

0,1711

1,05

0,8531

-2,90

0,0019

-0,90

0,1841

1,10

0,8643

-2,85

0,0022

-0,85

0,1977

1,15

0,8749

-2,80

0.0026

-0,80

0,2119

1 ?n

0.8849

-2,75

0,0030

-0,75

0,2266

1,25

0,8944

-2,70

0,0035

-0,70

0,2420

1.30

0,9032

-2,65

0,0040

-0,65

0.2578

1,35

0,9115

 

 

-0,60

G, 2743

і ,40

0,9192

т ее

 

n rr -J . _> J

0.2912

1,45

0 9265

-2,50

0.0062

-0,50

0,3085

1.50

0,9332

-2,45

0.0071

-0.45

0,3264

1.55

0,9394

-2,40

0.0082

-0,40

0,3446

1,60

0,9452

-2,35

0.0094

-0,35

0,3632

1,65

0,9505

-2,30

0,0107

-0.30

0,3821

1,70

0,9554

-2,25

0,0122

-0,25

0,4013

1,75

0,9599

-2,20

.0,0139

-0,20

0,4207

1,80

0,9641

-2,15

0.0158

-0,15

0,4404

1,85

0,9678

-2,10

0,0179

-0,10

0,4602

1,90

0,9713

-2,05

0,0202

-0,05

0,4801

1.9*

0,9744

-2 00

n 022S

0 00

/Л с глглг

V7 , JUUU

jc,j0

0,9773

-1,95

0,0256

0,05

0,5199

2,05 .

0,9798

-1,90

0,0287

0,10

0.S398

2,10

0,9821

-1,85

0,0322

0,15

0,5596

2,15

0,9842

-1,80

0,0359

0,20

0,5793

2,20

0,9861

-1,75

0.0401

0,25

0,5987

2,25

0,9878

-1,70

0.0446

0,30

0,6179

2,30

0,9893

-1,65

0,0495

0,35

0,6368

2,35

0,9906

-1,60

0,0548

0,40

0,6554

2,40

0,9918

-1,55

0.0606

0,45

0,6736

2,45

0,9929

-1,50

0,0668

0.50

0,6915

2,50

0,9938

-1,45

0,0735

0,55

0,7088

2,55

0,9946

-1,40

0.0808

0,60

0,7257

2,60

0,9953

-1,35

0.0885

0,65

0,7422

2,65

0,9960

-1,30

0,0968

0,70

0,7580

2,70

0,9965

-1.25

0,1057

0.75

0,7734

2,75

0.9970

-1,20

Qt1l51

0,80

0,7881

2,80

0,9974

-1.15

0,1251

0,85




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010