В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 818733 человек которые просмотрели 16221119 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 67 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Курс лекций по теории вероятностей

Жанр: Учебники, лекции и словари

Рейтинг:

Просмотров: 1897

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |




Раздел 2. сложные события.

Теория  сложных  событий  позволяет  по  вероятностям  простых  событий  определять вероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.

1)         Суммой  (объединением) двух  событий  А  и  В  называется  новое  событие  А+В,

заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.

2)         Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ,

заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

3)         Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступления события А всякий раз наступает событие В. А⊂В

А=В: А⊂В, В⊂А

Два события называются  несовместными, если появление одного из них исключает

возможность появления другого.

Если события несовместны, то АВ=∅.

События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если они

являются несовместными и одно из них обязательно происходит:

AiAj=∅ (i≠j, i,j=1,2…n) A1+A2+…+An=Ω

А - событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.

А и А - полная группа событий, т.к. А+ А =Ω, А А =∅.

 

Теорема сложения вероятностей.

 

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:

Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие.  Если  события  A1+A2+…+An            -  полная  группа  событий,  то  сумма  их вероятностей равна 1.

A i A j  = ∅⎫

n          ⎬ ⇒ P( A1 + A2  + ... + An ) = 1

∑ Аi  = Ω ⎪

i =1

P(A+ А ) = P(A) + P( А ) = 1

Вероятность наступления двух  совместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

 

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

 

В2

А= В1

 

 

Теорема. Если А⊂В, то Р(А) ≤ Р(В).

В=В1+В2 (В1=А) Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)

 

 

Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.

 

Опыт  повторяется n  раз,  mB   раз  наступает  событие В,  mАВ   раз  наряду  с  событием В

наступает событие А.

 

hn(B) =

mB       hn(AB) = m AB

n          n

Рассмотрим  относительную  частоту  наступления  события  А,  когда  событие  В  уже наступило:

hn(A

)= m AB

B          mB

= m AB

n

÷ mB

n

= hn( AB)

hn(B)

P(A

)= P( AB)

B          P(B)

 

-  условная  вероятность  события  А  по  событию  В  –  вероятность

события А, когда событие В уже наступило.

 

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1.   0 ≤ Р(А/В) ≤ 1, т.к.

 

2.   Р(А/А)=1

)

 

(

 
3.   В⊂А, Î Р(А/В)=1

P(A

)= P( AB) ; АВ ⊂ В, Р(АВ) ≤ Р(В)

B          P(B)

P Ω      = 1

4.

 
B

BΩ = B

B

 
P(ο/      )= 0

Bο/ = ο/

5.   Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

 

P(AС

)= P(( A + С )В ) =  P(AВ + СВ ) =  P(AВ ) + P(СВ ) = P(A

)+ P(С )

B          P(B)

P(B)

P(B)

P(B)     B          B

 

А

 

)

 

В

 
Теорема.  Вероятность  произведения  двух  событий  равна  произведению  вероятности  одного события на условную вероятность другого.

Р(АВ) = Р(А)⋅ P(В

)= Р(В)⋅ P(А

⎛ A     ⎞         ⎛ A

⎞         ⎛ A     ⎞

2

 

N

 
Р(А1 А2 A3 ...AN ) = P(A1 )⋅ P⎜

A ⎟ ⋅ P⎜

3  A A ⎟ ⋅ ... ⋅ P⎜

A А A ...A       ⎟

⎝         1 ⎠      ⎝

1    2 ⎠

⎝         1    2    3

N −1 ⎠

Свойства независимых событий.

Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и  В ,  А  и В,

А и В .

Если события Н1, Н2, …Нn  независимы, то заменяя любые из них на противоположные,

вновь получаем независимые события.

 

Формула полной вероятности.

Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событий

Н1, Н2, …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:

N         ⎛         ⎞

Р( А) = ∑ P(H i )⋅ P⎜ A H  ⎟

i =1

События А1, А2, …Аn называют гипотезами.

⎝         i ⎠

 

Теорема гипотез (формула Байеса).

Если  до  опыта  вероятности  гипотез  были  Р(Н1),  Р(Н2)…Р(НN),  а  в  результате  опыта произошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:

Р

 

A  =

 

i

 
⎛ Н     ⎞

⎜         ⎟

⎝         ⎠         N

P(H i )P(A)

⎛         ⎞

∑ P(H i )Р⎜ A H  ⎟

i =1

⎝         i ⎠

Пример. На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1) вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того, что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.

№ линии

Количество

изготавливаемых микросхем

Вероятность брака

1

25%

5%;

2

35%

4%

3

40%

2%

Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливается

i линией; А{изделие с браком}.

3          ⎛         ⎞

Р(А) = ∑ P(H i )P⎜ A H  ⎟

i =1

P(H1 ) = 0.25

⎝         i ⎠

P(H 2 ) = 0.35

P(H 3 ) = 0.4

 

H       = 0.05

 

 
P⎛ A   ⎞

⎝         1 ⎠

P⎛ A   ⎞

 

H        = 0.04

 

 
⎝         2 ⎠

P⎛ A   ⎞

 

H        = 0.02

 

 
⎝         3 ⎠

1)  Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%

 
H

2)         P⎜       1

⎟ = 0.25 * 0.05 = 0.36 = 36%

 
⎝         A ⎠

0.0345

 

Схема последовательных испытаний Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти

событие А, с вероятностью q=1-р событие А .

Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.

Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется

схемой последовательных испытаний Бернулли.

Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие А .

С

 
k   =     n!

n          k!(n − k )!

 

 

- число различных комбинаций события А

 

Вероятность каждой отдельной комбинации:

p k q k −1

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р,

появится k раз:

P (k ) = C k p k q n −k

n          n

n

∑ Pn (k ) = 1 - условие нормировки.

k =0

Пример.  Вероятность  изготовления  нестандартной  детали  равна  р=0,25,  q=0.75.  Построить

 

0. 3

 

0. 2

 

P 8 (k )

многоугольник           распределения           вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8     p=0.25 q=0.75

Р (k ) = C k  ⋅ 0.25k  ⋅ 0.758−k

 

0. 1

8          8

 

k

2          4          6          8

Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q ≤ k0 ≤ np+q

Если число (np+q) нецелое, то k0 – единственное

Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.

P (k )

⎧> 1, k < np + p - ломанная линия на [k - 1, k]возрастает

p          n − k + 1 ⎪

P (k − 1) = q

 
n          =          ⎨< 1, k > np +

n          k          ⎪

p - ломанная линия на [k - 1, k] убывает

⎩= 1, k = np + p ломанная линия постоянна

 

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

1.   Предельная теорема Пуассона. При р≈0, n-велико, np= λ ≤ 10.

 

Pn(k)

k k

P

 

=

 

λ

 
n          k!

 

e −λ

+ Rn ,

λ2

R n  ≤

n

Формула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.

 

n          2.   Предельная теорема Муавра-Лапласа.

0 ≤ p ≤ 1, n –велико, np>10

 

 
1          ⎛ k − np ⎞

 

 

m

 
2

f (m) =  1          e −  2

Pn (k ) =

f

 
npq      ⎜

 
npq ⎟

- стандартное нормальное распределение

 

3.   Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k1 раз и не более k2 раз:

Pn (k1  ≤ k ≤ k 2 ) = Φ(x2 ) − Φ(x1 )

 

2

 
1  x     − t

 
Φ(x) =  e

2π 0

2 dt

- функция

 

0, 5

Ф ( х)

Лапласа          х

x  = k1 − np  x

= k 2  − np

1          ;  2

npq

 

npq

 

⎛         ε          ⎞

 

-0, 5

 

Следствие:

 
Pn (k − np ≤ ε ) = 2Φ⎜

 
npq ⎟

np − ε ≤ k ≤ np + ε

123

123

k1        k2

x1  =

− ε

npq

; x2  =

ε

npq

Пример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей. Выбранная деталь с вероятностью р=0,975 является стандартной.

1)  Найти наивероятнейшее число стандартных деталей: K0=np=975

 

2)  Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается от

k0 не более чем на 10.

 
P (k − np ≤ 10) = 2Φ⎜            10

⎟ = 2Φ(2,026) = 0,95 = 95%

 

 
n          ⎜         npq ⎟

 

3)  С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей среди проверенных.

n

 
P (k − np ≤ ε ) = 0,95

ε

 
⎛         ⎞

⎜         ⎟

⎛         ε          ⎞         ε

2Φ⎜

npq ⎟ = 0,95

2Φ⎜

⎟  = 0,475

= 1,96 → ε = 9,67

⎝         ⎠         ⎝ 4,937 ⎠

4,937

 

4)  Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартные детали составят не менее 95%.

0,95n ≤ k ≤ n

 
P(0,95n ≤ k ≤ n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) = 2Φ⎜  n

0.025 ⎞

⎟  = 0.9999

 
0.975 ⎟

 

x2  =

n − np =

npq

n (1 − p )

=

pq

n          0.025

0.975

1

 
x  = 0,95n − np = −   n npq

 

0.025

0.975

 

 
⎛         n ⎞

Φ⎜      ⎟  = 0,49995

 

n  = 3.9

 

n=3.92*39=594

⎝         39 ⎠    39

при р=0,9999  n=594 при р=0,999    n=428 при р=0,99      n=260




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010