В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 818733 человек которые просмотрели 16221116 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 67 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Курс лекций по теории вероятностей

Жанр: Учебники, лекции и словари

Рейтинг:

Просмотров: 1897

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |




Раздел 3. случайные величины и распределение вероятностей.

Случайная  –  величина,  которая  в  ходе  опыта  принимает  то  или  иное  значение  из возможных своих значений, меняющееся от опыта к опыту и зависящее от множества непредсказуемых факторов.

Если случайные события характеризуют процесс качественно, то случайная величина –

количественно.

Случайная  величина  –  численная  функция,  задаваемая  на  множестве  элементарных событий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.

Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное или бесконечное) множество значений.

Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. (Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули в Нижнем Новгороде).

Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениям вероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Случайная величина может быть задана несколькими способами:

1. Табличный.

Х

a1

a2

аn

Р

p1

p2

pn

∑ рi  = 1

Значения случайных величин в таблице ранжируются, т.е. указываются в порядке

возрастания.

Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин,

принимающих небольшое количество значений.

 

2. Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения.

Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.

Х

a1

a2

a3

аn-1

Р

p1

p2

p3

pn-1

F(x)

p1

p1+p2

p1+p2+p3

p1+p2+…+pn-1

 

1

1          p +p +p

При увеличении значения случайной величины, количество

 

p1+p2+p3

1          2          n

ступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота и

p1+p2

p1

в  пределе  при

функцию F(х).

n → ∞

получаем  гладкую  непрерывную

 

a1        a2

 

a3        x

 

an-1     an

Свойства функции F(х).

1.   Неотрицательна. 0≤ F(х)≤1

2.   Неубывающая F(х2)> F(х1) при х2>х1

3.         lim F ( x) = 0

ч→−∞

lim F ( x) = 1

ч→+∞

4.   Р(a<x<b) = F(a) – F(b) Вероятность того, что значение х попадет в интервал (а,b) определяется разностью значений функции на концах интервала.

 

Наряду с F(х) вводится f(x) - функция плотности вероятности или дифференциальный закон распределения:

f ( x) = P ( x < X < x + Δx) = F ( x + Δx ) − F ( x ) = dF ( x)

Δx

F ( x ) =

Δx        dx

∫ f ( x )dx

−∞

Свойства функции f(x):

1.   Неотрицательна. (т.к. F(x) неубывающая, f(x)≥0)

2.   Площадь фигуры под кривой     на        интервале       (a,b)     равна:

b

Р(a < x < b) = ∫ f ( x )dx

a

f(x

 

x a        b

 

Р(−∞ < x < ∞) =

+∞

∫ f ( x)dx = 1 - условие нормировки функции f(x).

−∞

 

Основные дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины (ДСВ).

1.  Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}

n                          n

 
P (m) = C m

p m q

n −m

,  p+q=1, 0<p<1

 

2.  Пуассоновская случайная величина x{0,1,2,3…}

m

P (m) = λ

e −λ , λ > 0

n          m!

 

 
3.  Бернуллиевая случайная величина x⎧1

⎩0

p ⎫

⎬ p + q = 1

q⎭

n                         n

 
P (k ) = C k p k

q n −k

 

 

⎧a1 ,

 

 

a2 ,

 

 

...

 

 

, an       ⎫

p

 

 

 
4.  Равномерное распределение      ⎪         1 ⎪

⎪⎩ p1  = p2  = ... = pn  = n ⎪⎭

 

Непрерывные случайные величины (НСВ).

1.   Равномерное распределение

 
⎧    1   , x ∈ [a, b]

 

f(х)

f ( x) = ⎨b − a

⎪⎩0,

 

x ∉[a, b]

d

 

d − c

 

 

S=1

х

P(c < x < d ) = ∫ f (x)dx =

c

b − a

a          b

F(х)

1

⎧0,

x          ⎪

x < a

F (x) =

∫ f (t )dt = ⎪ x − a , x ∈[a, b]    a          b          х

 
−∞       ⎪b − a

⎪⎩1,

 

x > b

 

2.   Треугольное распределение Симпсона

 
⎧ 1 ⎛

f (x) = ⎪ a ⎜1 −

x ⎞

 
a ⎟,

x ∈ (- a, a )

 

f(x)

⎨      ⎝            ⎠

⎩0

 

x ∉ (- a, a )

 

-а         а

1

 

 

х

 

F(x)

 

0.5

х

-а         а          7

2

 
⎧1 ⎛   x ⎞

⎪    ⎜1 +         ⎟   ,

x ∈ (- a,0)

 

2

 
F (x) = ⎪ 2 ⎝  a ⎠

⎪         1 ⎛      x ⎞

⎪1 − 2 ⎜1 − a ⎟   ,

x ∈ (0, a )

⎩         ⎝         ⎠

 

3. Экспоненциальное (показательное) распределение. Имеет важное значение в теории массового обслуживания и теории надежности.

 
0,

f (x) = ⎨

x ≤ 0

λ          f(х)

 
λe -λx , x > 0

х

 
0,

F (x) = ⎨

x ≤ 0

F(х)

1

5/ λ

⎩1 - e -λx , x > 0

λ - интенсивность.    х

 

3.   Нормальный закон распределения.

(x −m )2

f (x) =

σ

1          e−  2σ 2

, σ>0

f(x)       σ1

σ2

σ=1,     m=0     –          нормальное    стандартное   распределение

(m-мат. ожидание)

t = x − m -        такой   подстановкой            любое

σ

распределение приводится к стандартному.

σ3

нормальное

m

При фиксированном σ и изменяющемся m, кривая двигается вдоль Ох, не изменяя формы.

При  фиксированном m  и  изменяющемся σ (σ1<σ2<σ3), кривая вытягивается вдоль  оси

ординат, но площадь фигуры под каждой кривой = 1.

b          ⎛ b − m ⎞

⎛ a − m ⎞

P(a < x < b) = ∫ f (x)dx = Φ⎜   σ

⎟ − Φ⎜           ⎟

σ

a          ⎝         ⎠         ⎝         ⎠

1          ⎛ x − m ⎞

Функция Лапласа:

F (x) =

+ Φ⎜   ⎟

2          ⎝         σ          ⎠

 

 

Операции со случайными величинами

Со случайными величинами, рассмотренными на одном и том же интервале исходов опыта,

можно обращаться как с обычными числами и функциями.

X:

 

a1

a2

an

p

p1

p2

pn

Y=ϕ(x)

Нужно найти закон распределения СВ Y. yk=ϕ(ak), где k=1,2,…,n.

P(y=yk)=P(x=ak)=Pk

Если все значения СВ Y различны, то их надо проранжировать и указать соответствующие

вероятности.

Если СВ Y принимает совпадающие значения, то их надо объединить под общей вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей, а после в ранжированном виде привести в таблице.

X={0,1,2,…,9}, P(x=k)=0.1, k=0,1,…,9, Y=x2, Z=(x-5)2.

 

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

Y

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Py

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

 

Z

25

16

9

4

1

0

1

4

9

16

Pz

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

 

Закон распределения СВ Z:

 

0

1

4

9

16

25

Pz

0.1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.1

 

Бинарные операции (с несколькими величинами)

СВ X,Y заданы в 1 опыте.

Исход опыта

E1

E2

En

Вероятность исхода

P1

P2

Pn

X

X1

X2

Xn

Y

Y1

Y2

Yn

Z=ϕ(XY)

Z1

Z2

Zn

Сложнее, если СВ задана только своим распределением:

 

a1

a2

an

Р

p1

p2

pn

 

 

b1

b2

bn

Р

g1

g2

Gn

 

 

и Y.

Z=X+Y

СВ Z принимает значения ak+bs, где ak=a1,a2,…,an; bs=b1,b2,…bm.

Общее количество возможных значений СВ = m⋅n.

P(Z=ak+bs)=P(X=ak, Y=bs)

Для нахождения такой вероятности необходимо знать закон совместного распределения СВ X

 

Набор точек (ak,bs) вместе с вероятностями P(X=ak, Y=bs) называется  совместным

распределением СВ X и Y. Обычно такое распределение задается таблицей.

Определение закона распределения суммы СВ по законам распределения слагаемых называется  композицией законов распределения.

 

X Y

b1

b12

bs

bm

Px

a1

P11      P12      …        P1s      …            P1m

P21      P22      …        P2s      …            P2m

…        …        …        …        …            …

Pk1      …        …        Pks      …            Pkm

…        …        …        …        …            …

Pn1      Pn2      …        Pns       …            Pnm

P1

a2

P2

ak




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010