В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 887378 человек которые просмотрели 17499515 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 69 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов

Автор: Ниворожкина Людмила Ивановна

Жанр: Учебники, лекции и словари

Рейтинг:

Просмотров: 2398

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |




7. выборочный метод и статистическое оценивание

7.1. Основные понятия и определения выборочного метода

 

По одному из популярных определений, статистика — это наука, позволяющая распространять выводы,  сделанные  на  основе  изучения  части  совокупности  (случайной  выборки),  на  всю

совокупность (генеральную совокупность).           В          этом    определении  заключена      сущность выборочного метода и его ведущая роль в статистике.

 

Все единицы совокупности, обладающие интересующими исследователя признаками, составляют

генеральную совокупность.

 

Часть совокупности, случайным образом отобранная из генеральной совокупности, — выборочная совокупность — выборка.

 

Число единиц (элементов) статистической совокупности называется ее объемом*. Объем генеральной совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности — п. Если объем совокупности велик, то его полагают равным бесконечности.

 

*  В  учебниках  по  математической  статистике  вместо  термина  «статистическая  совокупность»  используется  термин

«набор данных», а вместо термина «единица совокупности» используется термин «элемент выборки».

 

Случайная выборка из  п  элементов —  это  такой отбор, при  котором элементы извлекаются по одному из всей генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным. Требование случайности обеспечивается отбором по таблицам случайных чисел или по жребию. Такая выборка называется собственно-случайной. Одним из примеров использования собственно-случайной выборки является проведение тиражей выигрышей денежно-вещевых лотерей, при которых обеспечивается равная возможность попадания в тираж любого номера лотерейного билета.

 

По способу отбора элементов различают два типа случайных выборок: собственно-случайная повторная (схема возвращенного шара); собственно-случайная бесповторная (схема невозвращенного шара).

 

Выбор схемы отбора зависит от характера изучаемого объекта. Напомним, что при повторном отборе единица наблюдения после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается в генеральную совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом. При бесповторном отборе элемент в выборку не возвращается. Следует отметить, что независимо от способа организации выборки она должна представлять собой уменьшенную копию генеральной совокупности, т. е. быть представительной (репрезентативной).

 

7.2. Статистическое оценивание

 

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объемом n, причем значение признака х1

наблюдается т1 раз, x2  т2 раз,..., хk наблюдается тk раз,

 

 

Мы можем сопоставить каждому значению хi относительную частоту mi/n.

 

Статистическим распределением выборки называется перечень возможных значений признака

хi и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) mi (ωi).

 

Числовые  характеристики  генеральной  совокупности,  как  правило,  неизвестные  (средняя,

дисперсия и др.), называются параметрами генеральной совокупности (обозначают, например, ⎯X

или      Xген  , σ2ген). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности,

называется генеральной долей и обозначается р.

 

По       данным           выборки         рассчитывают            числовые        характеристики,         которые            называют

cтатистиками (обозначают  X X, или X ген  ,σ2ген, выборочная доля обозначается ω). Статистики,

получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра —  определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные  характеристики.  Теоретическое  обоснование  возможности  использования  этих выборочных оценок для суждений о  характеристиках и  свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.

Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т. е.

 

 

Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: σ2выб — выборочная дисперсия; S2— исправленная выборочная дисперсия*. σ2выб  исчисляется при п > 30, a S2  — при n < 30. Причем в математической

 

 
статистике доказывается, что

 

При больших объемах выборки σ2выб и S2 практически совпадают.

Генеральное среднее квадратическое отклонение σген  также имеет 2 точечные оценки: σвыб  — выбо-

рочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое

отклонение. σвыб используется для оценивания σген при п > 30, а S для оценивания (σген при п < 30; при

этом

 

 

* Для того чтобы любые статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны обладать  рядом  свойств:  несмещенности,  эффективности,  состоятельности,  достаточности.  Всем  указанным  свойствам

выб

 
отвечает выборочная средняя, σ2

— смещенная оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка

п/п—1 (см. 7.1).

 

7.3. Ошибки выборки

 

Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными.   Ошибка   репрезентативности   может   быть   представлена   как   разность   между

генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: ε =  X -⎯X , либо е= р –ω.

 

Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной  дисперсии  генеральной  совокупности  разность  между  выборочной  средней  и генеральной средней будет сколь угодно мала.

 

где Х — средняя по совокупности выбранных единиц; ⎯X — средняя по генеральной совокупности.

σген — среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой

 

можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.

 

Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки, гарантируемым с некоторой вероятностью

Р, величиной t и средней ошибкой выборки

 

 

Согласно центральной предельной теореме Ляпунова, выборочные распределения статистик (при п ≥V≥ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно,

 

где Ф0(t) — функция Лапласа.

 

Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах:

 

при п > 30 — в таблице значений Ф0(t), а при n < 30 в таблице распределения t-Стьюдента. Неизвестное

значение σген при расчете ошибки выборки заменяется σвыб.

В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по-разному (табл. 7.1).

 

Таблица 7.1

 

 

 
Формулы расчета ошибки выборки для собственно-случайного отбора

 

Здесь σ2  — выборочная дисперсия значений признака; ω (1 - ω ) — выборочная дисперсия доли значений  признака;  n  —  объем  выборки;  N  —  объем  генеральной  совокупности;  n/N  —  доля

обследованной совокупности; (1- n/N) — поправка на конечность совокупности (в литературе (1 - n/N)

иногда называется «поправкой на бесповторность отбора»).

7.4. Определение численности (объема) выборки

 

Одной  из  важнейших  проблем  выборочного  метода  является  определение  необходимого  объема

выборки  (табл.  7.2).  От  объема  выборки  зависит  размер  средней  ошибки  (μ)  и  экономичность

проводимого выборочного наблюдения, так как чем больше объем выборки, тем больше затраты на

изучение элементов выборки, но  тем меньше при  этом ошибка выборки. Из  формулы предельной

ошибки Δ = tμ. и формул средних ошибок выборки определяются формулы необходимой численности

выборки для различных способов отбора.

 

 

 

Формулы, расчета необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора

 

 

7.5. Интервальное оценивание

Таблица 7.2

 

Пусть   ε = X - X . Если Δ  представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина |ε| < Δ, то |  Х -X | < Δ. Следовательно,

 

Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что

 

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется 2 числами — концами интервала,  который  с  определенной  вероятностью  накрывает  неизвестный  параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная

ошибка выборки Δ, позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью

(надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% — неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной  совокупности.  Статистической  надежности  в  95%  соответствует  доверительная вероятность — 0,95. В 5% случаев утверждение «параметр принадлежит доверительному интервалу»

будет неверным, т. е. 5% задает уровень значимости (α)  или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% (α < 0,05). Доверительная

вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность

статистического высказывания.

С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней)* нормально распределенного количественного  признака  Х  по  выборочной  средней  X  при  известном  среднем  квадратическом

отклонении σ генеральной совокупности (на практике — при большом объеме выборки, т. е. при п ≥ 30)

 

 
и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5) примет вид

 

где t определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения 2Ф0(t) = γ; σ— сред-

 

 
нее квадратическое отклонение; п — объем выборки (число обследованных единиц).

 

* Для нормально распределенной случайной величины М(X) = а ≈⎯X.  Поэтому справедливо Р(X- а| < Δ) ≈⎯X.

 

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного  признака  Х  по  выборочной  средней  X  при  известном  среднем  квадратическом

отклонении σ генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т. е. при п ≥ 30) и собственно-

случайном бесповторном отборе формула (7.6) примет вид

 

 

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Х при неизвестном среднем квадратическом отклонении (σ генеральной совокупности (на практике — при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.6) будет иметь вид

 

 

где t определяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости α = 1 — γ и числу степеней свободы k = п — 1; σ — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; п —

объем выборки.

 

 

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней X при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ- генеральной совокупности (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно- случайном бесповторном отборе формула (7.8) примет вид

 

 

Для   оценки   генеральной   доли   р   нормально   распределенного   количественного   признака   по

выборочной доле ω= т/п (при большом объеме выборки, т. е. при п ≥  30) и собственно-случайном

повторном отборе формула (7.5) будет иметь вид

где t определяется по таблицам функции Лапласа (приложение 2) из соотношения 2Ф0(t) = γ; ω      —

выборочная доля; п — объем выборки (число обследованных единиц);

 

Для оценки генеральной доли р  нормально распределенного количественного признака по  выбо-

рочной  доле  ω  =  т/п  (при  большом  объеме  выборки,  т.  е.  при  п  ≥   30)  и  собственно-случайном

бесповторном отборе формула (7.10) примет вид

 

 

Для   оценки   генеральной   доли   р   нормально   распределенного   количественного   признака   по выборочной доле ω = т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.10) примет вид

 

 

где t определяется по таблицам Стьюдента (приложение 5), по уровню значимости α = 1 - γ и числу степеней свободы k = п - 1.

 

 

Для   оценки   генеральной   доли   р   нормально   распределенного   количественного   признака   по выборочной доле ω = т/п (при малом объеме выборки, т. е. при п < 30) и собственно-случайном беспоторном отборе формула (7.12) будет иметь вид

 

Пример 1. С помощью собственно-случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж их работы в фирме равен 8,70 года, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение — 2,70 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы служащих фирмы распределенным по нормальному закону, определите: а) с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы; б) с вероятностью 0,90 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всем коллективе фирмы.

 

Решение.  По  условию  задачи  выборочное  обследование  проведено  с  помощью  собственно-

случайного повторного отбора. Объем выборки п = 900 единиц, т. е. выборка большая.

 

а) Найдем границы доверительного интервала среднего стажа работы всего коллектива фирмы, т. е.

границы доверительного интервала для генеральной средней.

 

 
По условию X = 8,70; σ= 2,70; п = 900; γ= 0,95. Используем формулу

Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ: 2Ф0(t) = 0,95; Ф0(t) = 0,95/2 = 0.475.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.

Следовательно, t = 1,96.

Найдем предельную ошибку выборки

 

С вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний стаж работы всего коллектива фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года.

 

б) Теперь оценим истинное значение доли женщин во всем коллективе фирмы.

 

По условию т = 270; п = 900; γ= 0,90.

 

Выборочная доля ω = 270/900 = 0,30.

Используем формулу

 

Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) определим, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45.

Следовательно, t = 1,64.

Предельная ошибка выборки определяется по формуле

 

 

Итак, с вероятностью 0,90 можно ожидать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

 

Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0,95 средний стаж работы всех служащих фирмы находится в интервале от 8,5236 до 8,8764 года. С вероятностью 0,90 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,2749 до 0,3251.

Пример 2. Изменим условие примера 1.

1) С помощью собственно-случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,95 можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0,50 года, если стандартное отклонение σ равно 2,70 года?

 

2) Каким должен быть объем собственно-случайной повторной выборки, чтобы с надежностью 0,90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли женщин в выборке от доли женщин во всем коллективе фирмы не превышало 0,05, если в прошлом аналогичном обследовании выборочная доля женщин оказалась равной 0,30?

 

Решение. В данной задаче нужно найти необходимую численность выборки. Ее расчет дает ответ на вопрос: «Сколько нужно обследовать единиц совокупности, чтобы с заранее заданной вероятностью не превысить заранее заданную ошибку?»

1) Дано: Δ = 0,50; σ= 2,70; γ= 0,95.

По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для средней при повторном

отборе.  Воспользуемся  формулой  расчета  необходимой  численности  выборки  для  средней  при

собственно-случайном повторном отборе: п = t2σ2/Δ2.

Неизвестное значение t найдем из соотношения 2Ф0(t) = γ 2Ф0(t) = 0,95; Ф0(t)= 0,95/2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.

Следовательно, t = 1,96.

 

 
Рассчитаем необходимую численность выборки

 

Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.

Следовательно, надо обследовать не менее 113 служащих.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и D = 0,50 года с помощью собственно-случайного повторного отбора определить средний стаж работы в фирме, необходимо обследовать не менее 113 служащих.

2) Дано: Δ = 0,05; ω = 0,30; γ= 0,90.

По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для доли при собственно-

случайном повторном отборе.

Воспользуемся формулой расчета  необходимой численности выборки для  доли  при  собственно-

 

 
случайном повторном отборе:

 

Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ. 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45.

Следовательно, t = 1,64.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

 

Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.

Следовательно, п ≈ 226.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,90 и ошибкой Δ=0,05 с помощью собственно-случайного повторного отбора определить долю женщин во всем коллективе фирмы, необходимо обследовать не менее 226

служащих.

 

Пример 3. Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих (охраны автостоянки). В течение года (365 дней) владельцем автостоянки проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 400 единиц, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение их числа — 10 автомобилей. Считая отбор собственно- случайным, с вероятностью 0,99 оцените с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Обоснованы ли опасения владельца автостоянки, если по отчетности охранников среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составляет 395 автомобилей?

 

Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно- случайного отбора. Очевидно, что отбор — бесповторный, так как не имеет смысла производить проверку более 1 раза в сутки. Объем выборки n = 40, что больше 30 единиц, т. е. выборка большая. Объем генеральной совокупности N = 365.

 

Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию

Х= 400; σ = 10; п = 40; γ= 0,99; N=365. Используем формулу

 

Найдем t из соотношения 2Ф (t) = γ. 2Ф0(t) = 0,99; Ф0(t) = 0,99/2 = 0,495.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,495. Ф0(2,58) = 0,495.

 

Следовательно, t = 2,58.

Найдем предельную ошибку выборки:

Ответ. С уверенностью в 99% можно ожидать, что среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, находится в интервале от 396 до 404. Таким образом, можно утверждать, что служащие автостоянки обманывают ее владельца.

 

Пример 4. В 24 из 40 проверок число автомобилей на автостоянке не превышало 400 единиц. С вероятностью 0,98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц.

 

Решение. Определим границы доверительного интервала для доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц.

По условию т = 24; п = 40; γ =.0,98.

 

 
Выборочная доля ω = 24/40 = 0,60. Так как

 

то найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ. 2Ф0(t) = 0,98; Ф0(t) = 0,98/2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,49. Ф0(2,33) = 0,49.

 

Следовательно, t = 2,33.

 

Найдем предельную ошибку выборки:

Ответ. С вероятностью 0,98 можно ожидать, что доля дней в течение года, когда число оставляемых на стоянке автомобилей не превышало 400 единиц, находится в интервале от 0,4297 до 0,7703.

 

Пример 5. Изменим условие примера 3.

 

С помощью собственно-случайного бесповторного отбора определяется среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Предполагается, что оно подчиняется нормальному закону. Каким должен  быть  объем  выборки,  чтобы  с  вероятностью  0,95  можно  было  утверждать,  что  когда принимается   полученное   среднее   число   автомобилей   по   выборке   за   истинное,   совершается

погрешность, не превышающая 3 автомобилей, если среднее квадратическое отклонение σ  равно 10

автомобилям?

Решение. Дано: Δ= 3; σ = 10; γ= 0,95; N=365. Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней при собственно-случайном бесповторном отборе;

 

 

 
Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = γ. 2Ф0(t) = 0,95; Ф0(t) = 0,95/2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,475. Ф0(1,96) = 0,475.

 

Следовательно, t = 1,96.

 

Рассчитаем объем выборки:

 

Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.

 

Следовательно, необходимо провести не менее 39 проверок.

 

Ответ.   Для   определения   среднего   числа   автомобилей,  оставляемых  на   ночь   на   охрану   с

вероятностью 0,95 и Δ = 3, необходимо провести не менее 39 проверок.

Пример 6. Изменим условие примера 4.

 

Каким должен быть объем собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли дней от доли дней в течение года  (когда  среднее  число  оставляемых  на  охрану  автомобилей  не  превышало  400  единиц)  не превышало 0,10, если по данным прошлых проверок выборочная доля таких дней составляла 0,60?

Решение.  Дано:  Δ  =  0,10;  ω  =  0,60;  γ=  0,90;  N=365.  Воспользуемся  формулой  расчета

необходимой численности выборки для доли при собственно-случайном бесповторном отборе

 

Найдем t из соотношения 2Ф0(t) = у. 2Ф0(t) = 0,90; Ф0(t) = 0,90/2 = 0,45.

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t Ф0(t) = 0,45. Ф0(1,64) = 0,45.

 

Следовательно, t = 1,64.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

 

Так как п — целое число, округлим полученный результат до большего целого, учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку.

Следовательно, n ≈ 55.

Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0,90 и предельной ошибкой 0,10 с помощью собственно-

случайного бесповторного отбора определить искомую долю дней в течение года, необходимо провести не менее 55 проверок.

 

Пример 7. Служба контроля энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт · ч): 125; 78; 102;

140; 90; 45; 50;125; 115;112.

 

С вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был: а) повторным; б) бесповторным.

 

Решение.  По  условию  задачи  выборочное  обследование  проведено  с  помощью  собственно-

случайного отбора. Объем выборки n = 10 единиц, т. е. выборка малая.

 

а) Считая отбор повторным, найдем доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, т. е. границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

 

 

 
Для этого используем формулы:

 

Для определения границ доверительного интервала необходимо рассчитать выборочные среднюю и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Рассчитаем выборочную среднюю арифметическую:

 

Найдем исправленную выборочную дисперсию:

Найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

Итак, дано: Х = 98,2; σ= 32,1448; п = 10; у= 0,95. По таблице Стьюдента (приложение 5) найдем t по уровню значимости α и числу степеней свободы k.

 

α = 1 - γ= 1 - 0,95 = 0,05; k=n-1=10-1=9; ta=0,05;k=9=2,26

Найдем предельную ошибку выборки

 

 

Ответ. При условии, что отбор квартир был повторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 75,2269 до

121,1731 кВт.ч.

 

б) Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего расхода электроэнергии на 1

квартиру во всем доме, считая отбор бесповторным.

 

 
Для этого используем формулы:

 

По условию Х = 98,2; s = 32,1448;п = 10; γ= 0,95;ta=0,05;k=9= 2,26; N = 70.

Найдем предельную ошибку выборки:

 

76,9311 <⎯X<119,4689.

Ответ. При условии, что отбор квартир был бесповторным, с вероятностью 0,95 можно ожидать, что

средний расход электроэнергии на 1  квартиру во  всем доме находится в  интервале от  76,9311  до

119,4689 кВт ч.

 

Задачи к теме 7

 

1. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена

10%-я случайная бесповторная выборка из 1 000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у. е.?

 

2. Фирма, торгующая автомобилями в небольшом городе, собирает информацию о состоянии местного автомобильного рынка в текущем году. С этой целью из 8 746 лиц в возрасте 18 лет и старше, проживающих в этом городе, отобрано 500 человек. Среди них оказалось 29 человек, планирующих приобрести новый автомобиль в  текущем году.  Оцените долю  лиц  в  генеральной совокупности в

возрасте 18 лет и старше, планирующих приобрести новый автомобиль в текущем году, если α = 0,05.

3. Для оценки числа безработных среди рабочих одного из районов города в порядке случайной

повторной выборки отобраны 400 человек рабочих специальностей. 25 из них оказались безработными. Используя 95%-й доверительный интервал, оцените истинные размеры безработицы среди рабочих этого района.

 

4. Туристическое бюро, рекламируя отдых на одном из морских курортов, утверждает, что для этого курорта характерна идеальная погода со среднегодовой температурой +20° С. Пусть случайно отобраны

35 дней в году. Какова в этом случае вероятность того, что отклонение средней температуры за отобранные дни от среднегодовой температуры не превысит по абсолютной величине 2° С, если температура воздуха распределена по нормальному закону, а стандартное отклонение дневной температуры составляет 4° С ?

 

5. Выборочные обследования малых предприятий города показали, что 95% малых предприятий в выборке относятся к негосударственной форме собственности. Приняв доверительную вероятность равной 0,954, определите, в каких границах находится доля негосударственных малых предприятий в генеральной совокупности, если в выборку попало 100 предприятий?

 

6.  В  целях  изучения  среднедушевого дохода  семей  города  в  1995  г.  была  произведена  1%  -я повторная выборка из 30 тыс. семей. По результатам обследования среднедушевой доход семьи в месяц составил 200 тыс. руб. со средним квадратическим отклонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью

0,95 найдите доверительный интервал, в котором находится величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону.

 

7. Для изучения различных демографических характеристик населения выборочно обследовано 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15% состоят из 2 человек. В каких пределах находится в генеральной совокупности доля семей, состоящих из 2 человек, если принять доверительную вероятность равной 0,95?

8. По данным выборочных обследований в 1995 г. прожиточный минимум населения Северо- Кавказского района составил в среднем на душу населения 87 тыс. руб. в месяц. Каким должен был быть минимально необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,997 можно было утверждать, что этот показатель уровня жизни населения в выборке отличается от своего значения в генеральной совокупности не более чем на 10 тыс. руб., если среднее квадратическое отклонение принять равным 30 тыс. руб.?

 

9. В 1995 г. выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому денежному доходу показало, что 40% обследованных в выборке имеют среднедушевой денежный доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной совокупности, если объем генеральной совокупности составляет 1 000 000 единиц, выборка не превышает 10% объема генеральной совокупности и осуществляется по методу собственно-случайного бесповторного отбора, а доверительная вероятность принимается равной 0,954?

 

10. Аудиторская фирма хочет проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50. отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение денежных средств в течение месяца.

 

11. Строительная компания хочет оценить возможности успешного бизнеса на рынке ремонтностроительных работ. Эта оценка базируется на случайной бесповторной выборке, в соответствии с которой из 1 000 домовладельцев, собирающихся ремонтировать или перестраивать свои дома, отобраны 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 5 000 у. е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в генеральной совокупности по абсолютной величине не более, чем на 100 у. е., если стандартное отклонение стоимости строительных работ в выборке составило 500 у. е.?

 

12. Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1 342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределенной по нормальному закону, найдите 95%-й доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.

 

13. Среднемесячный бюджет студентов в колледжах одного из штатов США оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0,954  найдите наименьший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 у. е., а предельная ошибка средней не должна превышать 20 у. е.

 

14. Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населению, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9 706 клиентов банка опрошено 1 000 человек. Среднее значение необходимого кредита в выборке составило 6 750 у. е. со стандартным отклонением 1 460 у. е. Найдите границы 95%-го доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности.

 

15. Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию товара А, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,90?

 

16. С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра

передач  составило  40  мин,  а  отклонение  выборочной  средней  от  генеральной  средней  по абсолютной величине не должно превышать 5 мин с вероятностью 0,99?

 

17. При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.

 

18.  Для оценки остаточных знаний по  общеэкономическим предметам были протестированы 25

студентов 2-го курса факультета. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110,

103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й доверительный интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 2-го курса факультета.

 

19. Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого населения региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0,997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более чем на 25%, если среднемесячная заработная плата в выборке составила 220 у. е. со средним квадратическим отклонением 120 у. е.?

 

20. Выборочное исследование деятельности коммерческих банков региона показало, что в среднем каждый банк имеет 10 филиалов в регионе (со стандартным отклонением, равным 5). Найдите объем выборки, позволивший сделать такую оценку, если предельная ошибка выборочной средней находится в пределах 20% от ее фактического значения, а доверительная вероятность составляет 0,95.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010