В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 820727 человек которые просмотрели 16267275 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 67 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов

Автор: Ниворожкина Людмила Ивановна

Жанр: Учебники, лекции и словари

Рейтинг:

Просмотров: 2238

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |




1. элементы комбинаторики

 

Этот материал не относится непосредственно к теории вероятностей и математической статистике,

однако необходим в дальнейшем при расчетах вероятностей.

Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.

Группы, составленные из каких-либо предметов (безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), называются соединениями (комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.

Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.

1.1. Размещения

Размещениями из  п  элементов по  т  в  каждом называются такие  соединения, из  которых каждое содержит т элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т в каждом обычно обозначается символом Аnm и вычисляется

по следующей формуле*:

 

* Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении — для числа сочетаний, опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.

1.2. Понятие факториала

Произведение п натуральных чисел от 1 до n обозначается сокращенно п!, т. е. 1·2·3·...·(n -1)·n= n!

(читается: п факториал). Например:

 

5!=1·2·3·4·5=120.

 

Считается, что 0! = 1.

Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:

 

где 0    т          n.

Очевидно, что Аn1= п (при m = 1) и Аn0=n (при m= 0).

 

Пример 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как

 

группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.

е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3: N=А310=10·9·8=720

 

Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

1.3. Размещения с повторениями

 

Размещение с повторениями из n элементов по m(mn) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов будем обозначать символом

Аnm(c повт.) . Можно доказать, что оно равно nm:

 

Аnm(c повт.) =nm       (1.3)

 

Пример 2. Изменим условие примера 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на 3 различные должности. Предположим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в данном случае возможно комбинаций замещения 3 вакантных должностей?

Решение. Как и в предыдущей задаче, комбинации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать число размещений. Однако теперь вакантные должности могут замещаться одним и тем же претендентом, а значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторениями.

По условию задачи п = 10, т = 3. Следовательно, Аnm=103=1000.

 

Ответ. Можно составить 1000 комбинаций.

 

 

1.4. Сочетания

 

Сочетаниями из п элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа данных п элементов, и которые отличаются друг от

друга по крайней мере одним элементом.

 

 
Число сочетаний из п элементов по m в каждом обозначается символом Cnm и вычисляется так:

 

или

 

Пример 3. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Решение. Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи п = 10, т = 3. Подставив данные в формулу (1.5), получаем

 

Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.

 

Замечание. Надо уметь различать сочетания от размещений. Например: если в группе 25 студентов и 10 человек из них, выйдя из аудитории на перерыв, стоят вместе и беседуют, то порядок, в котором они стоят, несуществен. Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в данном случае — сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет или в кассу за стипендией, то тогда существенно, в каком, порядке они стали, т. е. кто из них первый, второй и т. д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо составлять размещения.

1.5. Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями из n элементов по m (n ∈  m) элементов может содержать любой

элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое

сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, два соединения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

m

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом (Cn

вычислять по формуле

 

Замечание, т может быть и больше n.

)c  повт  и

Пример 4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

 

 
Решение.

 

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

1.6. Перестановки

 

Перестановками из п элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все п элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число  перестановок  из  п  элементов  обозначается  символом  Pn,  это  то  же  самое,  что  число размещений из п элементов по n в каждом, поэтому

 

Пример  5.  Менеджер  ежедневно  просматривает  6  изданий  экономического  содержания.  Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?

Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи п = 6. Следовательно,

 

Рn  = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.

Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.

1.7. Перестановки с повторениями

 

Число перестановок с повторениями выражается формулой

 

Пример 6. Сколькими способами можно разделить т + п + s предметов на 3 группы, чтобы в одной группе было т предметов, в другой n предметов, в третьей — s предметов?

 

 
Решение.

 

Задачи к теме 1

 

1. Во многих странах водительское удостоверение (автомобильные права) имеет шифр, состоящий из

3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв русского алфавита, используемых для составления шифра, — 26, а буквы занимают первые

3 позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если: а) цифры в шифре не повторяются; б) повторяются?

 

2.  Сколько существует способов составления в  случайном порядке списка из  7  кандидатов для выбора на руководящую должность? Какова вероятность того, что кандидаты будут расставлены в списке по возрасту (от меньшего к большему)?*

 

3. Руководство фирмы выделило отделу рекламы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По расчетам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?*

 

4.  Менеджер  рассматривает  кандидатуры  8  человек,  подавших  заявления  о  приеме  на  работу.

Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке? Какова вероятность того, что они случайно будут приглашены на собеседование в зависимости от времени их прихода в офис?*

 

5. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава? Какова вероятность того, что составы случайно будут расставлены на путях в порядке возрастания их номеров?*

 

6. Покупая карточку лотереи «Спортлото», игрок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все 6 номеров?*

 

7.  Четыре  человека  случайно  отбираются  из  10  согласившихся  участвовать  в  интервью  для выяснения их отношения к продукции фирмы по производству продуктов питания. Эти 4 человека прикрепляются к 4 интервьюерам. Сколько существует различных способов составления таких групп? Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепления определенного человека к интервьюеру?*

 

8. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за круглым столом? Какова вероятность того, что гости случайно окажутся рассаженными по росту?*

 

9. Девять запечатанных пакетов с предложениями цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложениями цены? Какова вероятность того, что конверты случайно окажутся вскрытыми в зависимости от величины предлагаемой за аренду участков цены?*

 

10. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 4 помещения, расположенные в многоэтажных зданиях?*

 

11. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число отобранных войдут самые высокие рабочие?*

 

12. Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки? Какова вероятность  того,  что  заявки  получат  агентства  с  наибольшим  оборотом,  причем,  чем  крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?*

 

13. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля: а) если цифры в коде не повторяются; б) если повторяются? С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки?*

 

14. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом?

Какова вероятность того, что список окажется составленным в алфавитном порядке?*

 

15. На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно равными возможностями. Для апробации в своих филиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?*

 

16. Выделены крупные суммы на выполнение 4 крупных правительственных программ, сулящих

исполнителям высокую прибыль. Сколько существует способов случайного распределения этих 4 программ между 6 возможными исполнителями? Какова вероятность того, что средства на выполнение программ при таком распределении получат 4 исполнителя, имеющие наибольшую прибыль, причем величина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?*

 

17. Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей  среди имеющихся акций цене и обладают одинаковой доходностью. Клиент собирается приобрести акции 3 таких компаний — по 1 от каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких акций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число случайно отобранных попадут акции, рост цен на которые будет наибольшим в следующем году?*

 

18. Фирмы Fl, F2, F3, F4, F5 предлагают свои условия по выполнению 3 различных контрактов Cl, C2 и СЗ. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е. если фирма Fl получит контракт Cl, то это не то же самое, если она получит контракт C2. Сколько способов получения контрактов имеют фирмы? Если предположить равновозможность заключения контрактов, чему равна вероятность того, что фирма F3 получит контракт?*

 

19. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин  у  компании?  Какова  вероятность  того,  что  случайно  отобранные  для  бурения  участки окажутся, например, самыми северными?*

 

20. На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно комбинаций выбора 9 из 15 безработных?

 

* Для вычисления вероятностей здесь и далее ознакомьтесь с материалом гл. 2.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010