В нашей библиотеке: 321 книг 226 авторов 0 статей За всё время нас посетило 836872 человек которые просмотрели 16649925 страниц.
Читатели оставили 10 отзывов о писателях, 68 отзывов о книгах и 6 о сайте


Название: Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов

Автор: Ниворожкина Людмила Ивановна

Жанр: Учебники, лекции и словари

Рейтинг:

Просмотров: 2287

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |




5. непрерывные случайные величины

5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины

 

Нам уже известно, что такое функция распределения дискретной случайной величины. Эта форма задания закона распределения случайной величины является универсальной и используется для непрерывных случайных величин.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.

Рассмотрим свойства функции распределения.

1. Вероятность попадания случайной величины в промежуток от α до β равна приращению функции

распределения на концах этого промежутка

P(α<X<β)=F(β)-F(α),  (5.1)

так  как  вероятность любого  отдельного значения случайной величины равна  нулю,  если  функция

распределения непрерывна при этом значении

Р(Х = х1) = 0, когда F(x) непрерывна в точке х = х1.

 

2. Функция распределения удовлетворяет условиям

F(-∞)= 0, F(+∞) = 1.   (5.2)

Плотностью распределения (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины

называется функция

 

f(x) = F'(x).      (5.3)

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна f(x) ≥ 0.

 

 
Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1:

 

График  функции  у  =  f(x)  называется  кривой   распределения  или  графиком  плотности распределения. Кривая у = f(x) располагается над осью абсцисс.

Вероятность попадания случайной величины в  промежуток от  α  доβ  может быть вычислена по

 

 
формуле

 

Подынтегральное      выражение     f(x)dx   называется     элементом      вероятности.  Оно     выражает

вероятность попадания случайной точки в промежуток между точками х и х + Δх, где Δх — бесконечно

малая величина.

Функция распределения F(x), выражаемая через плотность f(x), имеет вид

 

 
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле

 

5.2. Нормальное распределение

 

 

 
Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется как

 

то  говорят,  что  Х  имеет  нормальное распределение с  параметрами а  и  σ2.  Вероятностный смысл параметров

 

а = М(Х), а σ2 = D(X),

где       Х ~ N(а; σ2).

Если задать параметры нормального распределения, взяв а=0 и  σ=1,то  получим так называемое

нормированное  (стандартное)  нормальное  распределение.  Плотность  нормированного  нормального

 

 
распределения описывается функцией

 

Значения этой функции табулированы (приложение 1).

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток

 

 
от α до β используется формула

 

где  - интеграл Лапласа.

 

Формула (5.10) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.

Функция Ф0(х) обладает свойствами:

 

Функция Ф0(х) табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка (а - Δ;

 

 
а + Δ) имеем

 

Формула (5.11) применима и к частоте т, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине т с

учетом ее числовых характеристик

 

формула (5.11) примет вид

М(т) = пр и σ2(m) = npq        (5.12)

Формула  (5.11)  может  быть  применена  и  к  относительной  частоте  т/п  с  числовыми характеристиками

С вероятностью, очень близкой к единице (равной 2Ф0(3) = 0,9973), нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству

а- Зσ<Х< а + Зσ.        (5.16)

В этом состоит правило 3 сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее

отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3σ.

Локальная теорема Муавра — Лапласа. При р≠0  и p≠1  и достаточно большом п биномиальное

распределение  близко  к  нормальному  закону  (причем  их  математические  ожидания  и  дисперсии

совпадают), т. е. имеет место равенство:

 

тогда

 

для достаточно больших п.

 

 
Здесь ϕ(х) (приложение 1) — плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины

 

Пример 1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и средним квадратическим отклонением σ = 150 кг.

1) Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажется больше 1 250 кг;

б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1 300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг; д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг.

2) Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило 3 сигм).

3) С вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши. Какова при этом условии максимальная величина отклонения веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания?

Решение. 1а) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг, можно понимать как вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 250 кг до

+∞..

Формула расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной

 

 
величины Х имеет вид

 

 

 
где Ф0(z) — функция Лапласа

 

Функция Ф0(z) является нечетной функцией, т. е.

 

Ф0(-z) = -Ф0(z).

Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг. По условию

α = 1 250, β = +∞, а = 950, σ = 150.

Используем    формулу          расчета           вероятности   попадания      в          заданный        интервал            нормально

распределенной случайной величины Х

 

Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)

Значения Ф0(+∞)  в  таблице нет. Однако известно, что Ф0(z)→  0,5  при  z→  +∞.  Уже при  z=5

Ф0 (z =5) = 0,49999997 ≈ 0,5. Очевидно, что Ф0(+∞)— величина, бесконечно близкая к 0,5 , Ф0(-∞.) —

величина, бесконечно близкая к -0,5.

По таблице функции Лапласа Ф0(2) = 0,47725.

Отсюда

 

Р(Х > 1 250) = 0,5 - 0,47725 = 0,02275.

Итак, вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 250 кг, составляет

0,02275.

 

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.1).

 

Итак, нам задана нормально распределенная случайная величина Х с математическим ожиданием а =

950 кг и средним квадратическим отклонением σ= 150 кг, т. е. Х ~ N (950; 1502). Мы хотим найти

вероятность того, что Х больше 1 250, т. е. определить Р(Х > 1 250). Преобразуем X в Z, и тогда искомая вероятность определится по таблице стандартного нормального распределения (приложение 2)

 

Точка z=0 соответствует математическому ожиданию, т. е. а = 950 кг.

1б) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг — это то же самое,

что и вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от -∞ до 850 кг. По условию α = -∞, β = 850, а = 950, σ= 150.

Для расчета искомой вероятности используем формулу расчета вероятности попадания в заданный

интервал нормально распределенной случайной величины Х

 

Согласно свойству функции Лапласа,

 

Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z).

Ф0(+∞)  ≈ 0,5; Ф0(0,67) = 0,24857.

 

Отсюда

 

 

Р(Х < 850) = 0,5 - 0,24857 = 0,25143.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется меньше 850 кг составляет 0,25143.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.2).

 

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,67) соответствует х = 850, т.е. весу, равному

850 кг. Заштрихованная на рис. 5.2 площадь представляет вероятность того, что вес наудачу выбранной

туши окажется меньше 850 кг, т. е. в интервале от -∞ до 850 кг.

1в) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 800 до

1 300 кг.

По условию α = 800, β=1 300, а = 950, σ = 150. Для расчета искомой вероятности используем формулу

расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х

 

Согласно свойству функции Лапласа,

 

-Ф0(-1) = Ф0(1).

Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)

Ф0(2,33) = 0,49010; Ф0(1) = 0,34134.

Отсюда

 

 

Р(800 < Х < 1 300) = 0,49010 + 0,34134 = 0,83144.

 

 

Вероятность  того,  что  вес  случайно  отобранной  туши  окажется  в  интервале  от  800  до  1300  кг,

составляет 0,83144.

 

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.3).

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -1) соответствует х = 800, т. е. весу, равному

800 кг, а точка (z = 2,33) — х = 1300, т. е. весу, равному 1 300 кг. Заштрихованная на рис. 5.3 площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до

1 300 кг.

 

На рис. 5.3 видно, что искомую вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интер- вале от 800 до 1 300 кг, можно было найти другим способом. Для этого необходимо было найти вероят- ность того, что вес наудачу выбранной туши окажется меньше 800 кг, а также больше 1 300 кг. Полу- ченные вероятности сложить и вычесть из 1.

Итак,  вероятность  того,  что  вес  наудачу  выбранной  туши  окажется  меньше  800  кг,  —  это

вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от —∞ до 850 кг.

Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1 300 кг — это вероятность

 

 
того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1 300 кг до +∞.

 

Отсюда искомая вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 800 до

1300 кг:

 

Р(800 < Х < 1 300) = 1 - (Р(Х < 800) + Р(Х > 1 300)) =  1 - (0,15866 + 0,0099) = 1 - 0,16856 = 0,83144.

1г) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг, т. е.

Р(|Х - 950| < 50) = ?

Что значит |Х - 950| < 50 ?

Это неравенство можно заменить двойным неравенством

-50 < Х - 950 < 50,

или

 

Следовательно,

 

950 - 50 < X < 950 + 50, 900 < X < 1 000.

 

Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < X < 1 000).

А это вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины

X. Отсюда

 

Согласно свойству функции Лапласа,

 

-Ф0(-0,33) = Ф0(0,33).

Найдем по таблице функции Лапласа (приложение 2) значения Ф0(z)

Ф0(0,33) = 0,1293.

Следовательно,

Р(|Х - 950| < 50) = Р(900 < Х < 1 000) =  2·0,1293 = 0,2586.

Вероятность того,  что вес случайно отобранной туши  отклонится от  математического ожидания меньше, чем на 50 кг, составляет 0,2586.

 

 
Эту задачу легче решить, используя формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания

 

где Δ — величина отклонения случайной величины Х от математического ожидания.

По условию Δ = 50; а = 950, σ= 150. Используя эту формулу, сразу получим

Р(|Х — 950| < 50) = 2Ф0(50/150) = 2Ф0(0,33) = 2 · 0,1293 = 0,2586.

Проиллюстрируем решение задачи графически (рис. 5.4).

 

По условию данной задачи точка на оси абсцисс (z = -0,33) соответствует х = 900, т. е. весу, равному

900 кг, а точка (z = 0,33) соответствует х = 1000, т. е. весу, равному 1 000 кг. Заштрихованная на рис. 5.4 площадь представляет собой вероятность того, что вес наудачу выбранной туши окажется в интервале от 900 до 1 000 кг, т. е. отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

1д) Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, т. е.

 

Р(|Х - 950| > 50) = ?

 

Это вероятность события, противоположного по отношению к событию, — вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг,

Следовательно,

Вероятность того,  что вес случайно отобранной туши  отклонится от  математического ожидания больше, чем на 50 кг, составляет 0,7414.

Можно использовать другой алгоритм решения.  Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг, — это вероятность того, что вес случайно отобранной туши будет или меньше (950 - 50 = 900) кг, или больше (950 + 50 = 1 000) кг.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Отсюда

 

2)         Найдем           границы,        в          которых          отклонение    веса     случайно        отобранной            туши    от        своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.

В  этом  задании  студентам  предлагается  проиллюстрировать  правило  3  сигм,  которое  можно сформулировать следующим образом:

Если    случайная       величина        распределена по        нормальному закону,            то        ее            отклонение    от

математического ожидания практически не превышает ±3σ.

Р(|Х - а| < 3σ) = 2Ф0(3) = 0,9973.

Вероятность того,  что  отклонение нормально распределенной случайной величины Х  от  своего

математического ожидания будет меньше 3σ или, другими словами, вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х попадет в интервал (а - 3σ; а + 3σ), равна 0,9973.

Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического

ожидания по  абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0,0027. Другими словами, лишь в 27 случаях из 10 000 случайная величина Х в результате

испытания может оказаться вне интервала (а - 3σ;а  + 3σ).  Такие события считаются практически

невозможными.

 

 
Формулу, описывающую правило 3 сигм, несложно получить из формулы вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания:

 

Если взять Δ = 3σ, то получим Δ/σ = 3.

Отсюда

Р(|Х - а|< 3σ) = 2Ф0(3) = 0,9973.

По условию задачи а = 950; σ = 150.

Правило 3 сигм можно представить так:

Р(а - 3σ < Х < а + 3σ) = 2Ф0(3) = 0,9973.

 

 
Интересующие нас границы — это границы интервала (а - 3σ; а + 3σ), т. е.

 

Учитывая, что вес отобранной туши — нормально распределенная случайная величина, можно быть практически уверенным, что вес случайно отобранной туши не выйдет за пределы от 500 до 1 400 кг.

3) Определим границы, в которых с вероятностью 0,899 будет находиться вес случайно отобранной туши.  Формулу вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания можно представить следующим образом:

 

 
или

 

где γ — вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания не превысит заданной величины Δ.

 

 
По условию задачи а = 950; σ = 150. Используя последнюю формулу, получим:

 

 
Из соотношения 2Ф0(Δ/150) = 0,899 найдем Δ :

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = Δ/150 функция Ф0(2) = 0,4495.

z = 1,64, т.е. Ф0(1,64) = 0,4495.

 

Отсюда

Δ/150 = 1,64, Δ = 1,64 · 150 = 246.

С вероятностью 0,899 можно ожидать, что отклонение веса случайно отобранной туши от своего

 

математического ожидания не превысит 246 кг.

 

Найдем границы интересующего нас интервала:

а-Δ<Х<а+Δ,

950 - 246 < X < 950 + 246,

 

704 < X < 1196.

 

С  вероятностью 0,899  можно  ожидать,  что  вес  случайно  отобранной туши  будет  находиться в пределах от 704 до 1 196 кг.

Ответ. 1. а) 0,02275, б) 0,25143, в) 0,83144, г) 0,2586, д) 0,7414; 2. (500, 1 400);

3. 246 (704, 1196).

Пример 2. Изменим условие предыдущей задачи.

На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,

подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и

средним квадратическим отклонением σ= 150 кг. Известно, что 37,07% туш имеют вес более 1 000 кг.

Определите ожидаемый вес случайно отобранной туши.

Решение. По условию задачи σ= 150; а = 1 000; β = +∞; Р(Х > 1 000) = 0,3707.

Ожидаемый вес случайно отобранной туши — это среднеожидаемый вес (математическое ожидание),

т. е. а = ?

 

 
Используем  формулу  (5.10)  расчета  вероятности  попадания  в  заданный  интервал  нормально распределенной случайной величины Х

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = (100 - а)/150 функция Ф0(z) =

0,1293.

 

Отсюда

z = 0,33, т.е. Ф0(0,33) = 0,1293.

1 000 - а = 0,33 · 150 = 50,

а = 1 000 - 50 = 950.

 

Ответ. Среднеожидаемый вес случайно отобранной туши составляет 950 кг.

 

Пример 3. Вновь изменим условие задачи.

На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг. Определите среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.

Решение. По условию задачи: а = 950; α = −∞; β= 800; Р(Х < 800) = 0,1587; σ = ?

Используем  формулу  (5.10)  расчета  вероятности  попадания  в  заданный  интервал  нормально

распределенной случайной величины Х

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = 150/ σ функция Ф0(z) = 0,3413.

 

z = 1, т. е. Ф0(1) = 0.3413.

 

Отсюда

 

 

Ответ. Среднее квадратическое отклонение веса туш составляет 150 кг.

 

Пример 4. Еще раз изменим условие задачи. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестными математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Известно, что 15,87% туш имеют вес менее 800 кг и 37,07% туш — более 1 000 кг. Определите средний ожидаемый вес и среднее квадратическое (стандартное) отклонение веса туш.

Решение. По условию задачи α = -∞; β = 800; Р(Х < 800) = 0,1587; Р(Х > 1000) = 0,3707; а = ?; σ= ?

Используем  формулу  (5.10)  расчета  вероятности  попадания  в  заданный  интервал  нормально

распределенной случайной величины Х

 

 

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = (а - 800)/σ функция Ф0(z) =

=0,3413.

 

 

 

Отсюда

 

С другой стороны,

z=1,т. e. Ф0(1) = 0,3413.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком

 

Отсюда

 

Решим систему линейных уравнений:

 

Среднеожидаемый  вес  случайно  отобранной  туши  составляет  950  кг.  Среднее  квадратическое отклонение веса туш — 150 кг.

Ответ. а = 950; σ= 150.

Пример 5. В очередной раз изменим условие задачи. На рынок поступила крупная партия говядины.

Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Каким должно быть среднее квадратическое (стандартное) отклонение, чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно отобранной туши от математического ожидания не превысит 200 кг?

Решение. По условию задачи а = 950; Δ = 200; Р(|Х - 950| < 200) = 0,81648; σ =?

Используем формулу (5.11) расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания.

 

 
Тогда получим

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком z = 200/σ функция Ф0(z) = 0,40824.

z = 1,33, т. е. Ф0(1.33) = 0,40824.

 

 
Отсюда

 

σ=200/1,33=150.

Чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно

отобранной  туши   от   математического  ожидания  не  превысит  200   кг,  среднее  квадратическое отклонение веса туш должно составлять 150 кг.

Ответ. 150.

 

Пример 6. Фирма собирается приобрести партию из 100 000 единиц некоторого товара. Из прошлого опыта известно, что 1 % товаров данного типа имеют дефекты. Какова вероятность того, что в данной партии окажется от 950 до 1 050 дефектных единиц товара?

Решение. В качестве случайной величины в  данной задаче выступает число дефектных единиц товара в общей партии из 100 000 единиц. Обозначим ее через X.

Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, ..., 99 999, 100 000.

Это — дискретная случайная величина, так как ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

По условию вероятность того, что единица товара окажется дефектной, — постоянна и составляет

0,01  (р  =  0,01).  Вероятность противоположного  события, т.  е.  того,  что  единица товара не  имеет дефекта, также постоянна и составляет 0,99:

 

q= 1 -p= 1 -0,01 =0,99.

Все 100 000 испытаний — независимы, т. е. вероятность того, что каждая единица товара окажется дефектной, не зависит от того, окажется дефектной или нет любая другая единица товара.

Значения случайной величины Х — это, в общем виде, число появлений интересующего нас события в 100 000 независимых испытаниях. Поэтому можно сделать вывод о том, что случайная величина Х — число дефектных единиц товара в общей партии из 100 000 единиц — подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами п = 100 000 и р = 0,01.

Итак, по условию задачи n = 100 000; р = 0,01; q = 0,99; X = т.

Необходимо найти вероятность того, что число дефектных единиц товара окажется в пределах от т1 = 950 до т2 =1 050, т. е. вероятность того, что случайная величина Х = т попадет в интервал от 950 до 1050:

 

Р(т1 < т < т2) = ?

Так как мы имеем дело со случайной величиной, подчиняющейся биномиальному распределению, вероятность появления события т раз в п независимых испытаниях необходимо вычислять по формуле Бернулли (4.10).

В  данном  случае  для  определения искомой  вероятности нам  необходимо с  помощью формулы

Бернулли найти P100000, 950         ,РР100000, 951 , РР100000, 952    ..., РР100000,1049

РР100000,1050 ,а затем сложить их, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий.

Очевидно, что такой способ определения искомой вероятности связан с громоздкими вычислениями.

Так,

Можно значительно облегчить расчеты, если аппроксимировать биномиальное распределение нормальным, т. е. выразить функции биномиального распределения через функции нормального.

Когда п — число испытаний в биномиальном эксперименте — возрастает, дискретное биномиальное распределение стремится к непрерывному нормальному распределению. Это означает, что для больших п   мы   можем   аппроксимировать   биномиальные   вероятности   вероятностями,   полученными   для нормально распределенной случайной величины, имеющей такое же математическое ожидание и такое же среднее квадратическое отклонение.

 

 
Подставим параметры биномиального распределения (5.15) в формулу (5.10) и получим формулу для приближенного расчета вероятности появления события от т1  до т2  раз в п независимых испытаниях Р(т1 < т < т2):

 

где Ф0(z) — функция Лапласа

Формулу для вычисления вероятности появления события от т1  до т2  раз в п независимых испытаниях Рn(m1 < т < т2) называют интегральной теоремой Лапласа.

Использование локальной и интегральной теорем Лапласа дает приближенные значения искомых вероятностей. Погрешность будет невелика при условии, что npq > 9.

Для решения данной задачи воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

 

 

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем Ф0(1,59).

 

Ф0(1,59) = 0,44408.

P100000 (950< т < 1 050) ≈ 2 · 0,44408 = 0,88816.

Вероятность того, что в партии из 100 000 единиц окажется от 950 до 1 050 дефектных единиц товара, составляет 0,88816.

Данную конкретную задачу можно было решить еще более просто.

Математическое ожидание числа дефектных единиц товара равно 1 000 единиц:

 

М(т) = пр= 100 000 · 0,01 = 1 000.

Абсолютное отклонение нижней и верхней границ интервала (т1, т2) от математического ожидания

М(т) = пр составляет 50 единиц:

|m1 - пр| = |950 - 100 000 · 0,0l| = 50;

 

|m2 - np| = 1 050 - 100 000 · 0,0l| = 50.

Следовательно, искомую вероятность можно рассматривать как вероятность заданного отклонения частоты от своего математического ожидания:

 

Р(|т – пр| < Δ).

Подставив параметры биномиального распределения в формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, получим формулу для приближенного расчета вероятности заданного отклонения частоты от своего математического ожидания:

 

 
При использовании этой формулы для решения задачи сразу получим

 

Ответ. 0,88816.

 

Пример 7. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что доля проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на 0,05.

Решение. В отличие от предыдущей задачи, в данном случае речь идет о расчете вероятности заданного отклонения частости (относительной частоты) появления события от вероятности его появления в отдельном независимом испытании, т. е.

При возрастании числа независимых испытаний распределение частости стремится к нормальному распределению точно так же, как и распределение частоты. Это означает, что при больших п мы можем аппроксимировать распределение  частости  нормальным  распределением  случайной  величины, имеющей такое же математическое ожидание и такое же среднее квадратическое отклонение.

Подставив параметры распределения частости в формулу расчета вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания, получим формулу для приближенного расчета вероятности заданного отклонения частости от своего математического ожидания (вероятности).

Параметры распределения частости:

Используя эти формулы, получим

 

Применим данную формулу для решения задачи.

 

По условию:  n = 400; р = 0,8; q = 1 - 0,8 = 0,2;

 

 

 

Вероятность того, что доля проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на 0,05, составляет 0,98758.

Ответ. 0,98758.

Задачи к теме 5

 

1. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т. Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от

750 до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.

 

2. Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из числа избирателей данной области, найдите вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться по абсолютной величине от истинной доли более, чем на 0,07.

 

3. Авиакомпания знает, что в среднем 5% людей, делающих предварительный заказ на определенный рейс, не будет его использовать. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь

155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

 

4. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.

 

5. Один из методов, позволяющих добиться успешных экономических прогнозов, состоит в применении согласованных подходов к решению конкретной проблемы. Обычно прогнозом занимается

большое число аналитиков. Средний результат таких индивидуальных прогнозов  представляет собой  общий  согласованный  прогноз.   Пусть  этот   прогноз   относительно  величины  банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со средним значением а = 9% и стандартным  отклонением  α=  2,6%.  Из  группы  аналитиков  случайным  образом  отбирается  один человек. Найдите вероятность того, что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки: а) превысит 11%; б) окажется менее 14%; в) будет в пределах от 12 до 15%.

 

6. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у. е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) более 60 у. е.; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 за акцию; г) между 40 и

50 у. е. за акцию.

 

7. Для поступления в некоторый университет необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем  их  выдерживают  лишь  25%  абитуриентов.  Предположим,  что  в  приемную  комиссию поступило 1 889 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих сдадут все экзамены (наберут проходной балл)?

 

8. Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением σ = 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей?

 

9. При производстве безалкогольных напитков специальный аппарат разливает определенное число унций (1 унция == 28,3 г) напитка в стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному закону с  математическим ожиданием, зависящим от  настройки аппарата. Количество

унций напитка, разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение σ = 0,4 унции. Пусть

емкости  объемом  в  8  унций  наполняются кока-колой.  Сколько  унций  напитка  должен  в  среднем

разливать аппарат, чтобы не более 5% емкостей оказалось переполненными?

 

10. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы.

Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим

отклонением σ = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных

заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

 

11. Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со  средним  значением, равным  134  786  ед.  продукции  в  неделю,  и  стандартным отклонением —

13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже 100 000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80 000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утверждает, что выпуск продукции находится в пределах

принятого уровня (±3σ). Можно ли доверять профсоюзу?

12. Почтовое отделение быстро оценивает объем переводов в рублях, взвешивая почту, полученную

утром каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объем переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объем переводов в рублях будет находиться в пределах: а) от 21 000 до 27 000 руб.; б) более 28 500 руб.; в) менее 22 000 руб.

 

13.  Менеджер ресторана по  опыту  знает,  что  70%  людей,  сделавших заказ  на  вечер,  придут  в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь  15  свободных столиков. Чему  равна  вероятность того,  что  более  15  посетителей придут на

заказанные места?

 

14. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина  с  математическим ожиданием 11,2%  и  стандартным отклонением 0,6%.  Производителям корма необходимо, чтобы в 99% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1 %, но не более х2%. Найдите х1 и х2.

 

15. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25% — имеют вес меньше чем 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

 

16. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина Х ~ (0; 12). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?

 

17. Компания А покупает у компании В детали к контрольным приборам. Каждая деталь имеет точно установленное значение размера. Деталь, размер которой отличается от установленного размера более чем на ±0,25 мм, считается дефектной. Компания А требует от компании В, чтобы доля брака не превышала 1% деталей. Если компания В выполняет требование компании А, то каким должно быть допустимое максимальное стандартное отклонение размеров деталей? Учесть, что размер деталей есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

 

18. Компьютерная система содержит 45 одинаковых микроэлементов. Вероятность того, что любой микроэлемент будет работать в заданное время, равна 0,80. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы по крайней мере 30 микроэлементов было в рабочем состоянии. Чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?

 

19. Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько экспериментальных партий покрышек и проверить степень их износа на тестирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количество каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стандартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет

2 500 миль ( σ  = 2 500). Если компания хочет, чтобы 80% выпускаемых автопокрышек имели срок

службы не менее 25 000 миль, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть

заложен          в          расчетах          технического  отдела?           Считать          срок     службы            автопокрышек            нормально распределенным.

 

20. Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некоторых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много времени на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6,6 дн., однако для выполнения 20% заказов потребовалось 15 дн. и более. Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклонение времени обслуживания клиентов.

 




Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Оцените книгу: 1 2 3 4 5

Добавление комментария:






Информацию в электронную библиотеку yourforexschool.com добавляют исключительно для ознакомления. Если вы являетесь автором книги или компанией которая имеет права распространения и вы хотите чтоб на сайте не было вашей книги, то напишите в обратную связь и мы незамедлительно удалим её.

Копирование материалов сайта разрешено только с использованием активной ссылки на yourforexschool.com Copyright © 2010